Teorema de Descartes

Cuando tres de los cuatro círculos son congruentes, sus centros forman un triángulo equilátero, al igual que sus puntos de tangencia. Las dos posibilidades para un cuarto círculo tangente a los tres son concéntricas, y la ecuación (2) se reduce a ^{[ 31 ].}

$${\displaystyle k_{4}=(3\pm 2{\sqrt {3}})k_{1}.}$$

Si uno de los tres círculos se reemplaza por una línea recta tangente a los círculos restantes , entonces su curvatura es cero y desaparece de la ecuación (1) . Por ejemplo, si${\displaystyle k_{3}=0}$, entonces la ecuación (1) se puede factorizar como ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}{\bigl (}{{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{1}}}}{\bigr )}\\[3mu]&\quad {}\cdot {\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{2}}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}-{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}=0,\end{aligned}}}$$

y la ecuación (2) se simplifica a ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.}$$

Tomar la raíz cuadrada de ambos lados conduce a otra formulación alternativa de este caso (con${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}}$),

$${\displaystyle {\sqrt {k_{4}}}={\sqrt {k_{1}}}\pm {\sqrt {k_{2}}},}$$

que ha sido descrito como "una especie de versión demente del teorema de Pitágoras ". ^{[ 26 ]}

Si dos círculos se reemplazan por líneas, la tangencia entre los dos círculos reemplazados se convierte en un paralelismo entre sus dos líneas de reemplazo. En este caso, con${\displaystyle k_{2}=k_{3}=0}$, la ecuación (2) se reduce a la trivial

$${\displaystyle \displaystyle k_{4}=k_{1}.}$$

Esto corresponde a la observación de que, para que las cuatro curvas permanezcan tangentes entre sí, los otros dos círculos deben ser congruentes. ^{[ 19 ] [ 27 ]}

Cuando cuatro círculos tangentes descritos por la ecuación (2) tienen curvaturas enteras, el cuarto círculo alternativo descrito por la segunda solución de la ecuación también debe tener una curvatura entera. Esto se debe a que ambas soluciones difieren de un entero en la raíz cuadrada de un entero, por lo que cualquiera de las soluciones solo puede ser un entero si esta raíz cuadrada, y por ende la otra solución, también es un entero. Cada cuatro enteros que satisfacen la ecuación del teorema de Descartes forman las curvaturas de cuatro círculos tangentes. ^{[ 34 ]} Las cuádruplas enteras de este tipo también están estrechamente relacionadas con los triángulos heronianos , triángulos con lados y área enteros. ^{[ 35 ]}

Partiendo de cuatro círculos tangentes entre sí y reemplazando repetidamente uno de ellos por su solución alternativa ( salto de Vieta ), de todas las maneras posibles, se obtiene un sistema de infinitos círculos tangentes denominado triángulo apolíneo . Cuando los cuatro círculos iniciales tienen curvaturas enteras, también las tiene cada reemplazo, y por lo tanto, todos los círculos del triángulo tienen curvaturas enteras. Cuatro círculos tangentes cualesquiera con curvaturas enteras pertenecen a un único triángulo de este tipo, descrito de forma unívoca por su cuádruple raíz de los cuatro círculos más grandes y las cuatro curvaturas más pequeñas. Este cuádruple se puede encontrar, partiendo de cualquier otro cuádruple del mismo triángulo, reemplazando repetidamente el círculo más pequeño por uno más grande que resuelva la misma ecuación de Descartes, hasta que no sea posible ninguna reducción. ^{[ 34 ]}

Se dice que una raíz cuádruple es primitiva si no tiene un divisor común no trivial . Toda raíz cuádruple primitiva se puede encontrar a partir de una factorización de una suma de dos cuadrados.${\displaystyle n^{2}+m^{2}=de}$, como el cuádruple${\displaystyle (-n,\,d+n,\,e+n,\,d+e+n-2m)}$Para ser primitivo, debe satisfacer las condiciones adicionales .${\displaystyle \gcd(n,d,e)=1}$, y${\displaystyle -n\leq 0\leq 2m\leq d\leq e}$. Las factorizaciones de sumas de dos cuadrados se pueden obtener utilizando el teorema de la suma de dos cuadrados . Cualquier otra junta apolínea entera se puede formar multiplicando una cuádrupla de raíz primitiva por un entero arbitrario, y cualquier cuádrupla en una de estas juntas (es decir, cualquier solución entera a la ecuación de Descartes) se puede formar invirtiendo el proceso de reemplazo utilizado para encontrar la cuádrupla de raíz. Por ejemplo, la junta con cuádrupla de raíz${\displaystyle (-10,18,23,27)}$, como se muestra en la figura, se genera de esta manera a partir de la suma factorizada de dos cuadrados.${\displaystyle 10^{2}+2^{2}=8\cdot 13}$. ^{[ 34 ]}

Los casos especiales de una línea recta y curvaturas enteras se combinan en los círculos de Ford . Estos son una familia infinita de círculos tangentes a la${\displaystyle x}$-eje del sistema de coordenadas cartesianas en sus puntos racionales. Cada fracción${\displaystyle p/q}$(en términos mínimos) tiene un círculo tangente a la línea en el punto${\displaystyle (p/q,0)}$con curvatura${\displaystyle 2q^{2}}$Tres de estas curvaturas, junto con la curvatura cero del eje, cumplen las condiciones del teorema de Descartes siempre que la suma de los denominadores de dos de las fracciones correspondientes sea igual al denominador de la tercera. Los dos círculos de Ford para fracciones${\displaystyle p/q}$y${\displaystyle r/s}$(ambos en términos mínimos) son tangentes cuando${\displaystyle |ps-qr|=1}$Cuando son tangentes, forman un cuádruple de círculos tangentes con el${\displaystyle x}$-eje y con el círculo como su mediante${\displaystyle (p+r)/(q+s)}$. ^{[ 36 ]}

Los círculos de Ford pertenecen a una junta apolínea especial con raíz cuádruple.${\displaystyle (0,0,1,1)}$, delimitado entre dos líneas paralelas, que pueden tomarse como la${\displaystyle x}$eje y la línea${\displaystyle y=1}$. Esta es la única junta apolínea que contiene una línea recta y no está delimitada por un círculo de curvatura negativa. Los círculos de Ford son los círculos en esta junta que son tangentes a la${\displaystyle x}$-eje . ^{[ 34 ]}

Cuando se supone que los cuatro radios de los círculos en el teorema de Descartes están en una progresión geométrica con razón${\displaystyle \rho }$, las curvaturas también están en la misma progresión (en sentido inverso). Sustituyendo esta razón en el teorema se obtiene la ecuación

$${\displaystyle 2(1+\rho ^{2}+\rho ^{4}+\rho ^{6})=(1+\rho +\rho ^{2}+\rho ^{3})^{2},}$$

que tiene solo una solución real mayor que uno, la razón

$${\displaystyle \rho =\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,}$$

dónde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea . Si se continúa la misma progresión en ambas direcciones, cada cuatro números consecutivos describen círculos que obedecen el teorema de Descartes. La progresión geométrica de círculos resultante, de doble extremo, puede organizarse en un único patrón espiral de círculos tangentes , llamado secuencia loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter . Fue descrita por primera vez, junto con construcciones análogas en dimensiones superiores, por HSM Coxeter en 1968. ^{[ 37 ] [ 38 ]}

El teorema de Descartes puede expresarse como una ecuación matricial y luego generalizarse a otras configuraciones de cuatro círculos orientados cambiando la matriz.${\displaystyle \mathbf {k} }$Sea un vector columna de las cuatro curvaturas del círculo y sea${\displaystyle \mathbf {Q} }$sea ​​una matriz simétrica cuyos coeficientes${\displaystyle q_{i,j}}$representar la orientación relativa entre los círculos orientados i y j en su punto de intersección:$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {Q} ^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}}.}$$

Entonces la ecuación (1) se puede reescribir como la ecuación matricial ^{[ 19 ] [ 43 ]}

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0.}$$

Como generalización del teorema de Descartes, una matriz simétrica modificada${\displaystyle \mathbf {Q} }$puede representar cualquier configuración deseada de cuatro círculos reemplazando cada coeficiente con la inclinación${\displaystyle q_{i,j}}$entre dos círculos, definidos como

$${\displaystyle q_{i,j}={\frac {r_{i}^{2}+r_{j}^{2}-d_{i,j}^{2}}{2r_{i}r_{j}}},}$$

dónde${\displaystyle r_{i},r_{j}}$son los radios respectivos de los círculos, y${\displaystyle d_{i,j}}$es la distancia euclidiana entre sus centros. ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]} Cuando los círculos se intersecan,${\displaystyle q_{i,j}=\cos(\theta _{i,j})}$, el coseno del ángulo de intersección entre los círculos. La inclinación, a veces llamada distancia inversa , es${\displaystyle 1}$cuando los círculos son tangentes y están orientados de la misma manera en su punto de tangencia,${\displaystyle -1}$cuando los dos círculos son tangentes y están orientados en sentido opuesto en el punto de tangencia,${\displaystyle 0}$para círculos ortogonales , fuera del intervalo${\displaystyle [-1,1]}$para círculos que no se intersecan, y${\displaystyle \infty }$en el límite cuando un círculo degenera en un punto. ^{[ 43 ] [ 38 ]}

La ecuación${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0}$se satisface para cualquier configuración arbitraria de cuatro círculos en el plano, siempre que${\displaystyle \mathbf {Q} }$es la matriz apropiada de inclinaciones por pares. ^{[ 43 ]}

El teorema de Descartes se generaliza a círculos mayores o menores mutuamente tangentes en geometría esférica si la curvatura de la${\displaystyle j}$El círculo se define como${\textstyle k_{j}=\cot \rho _ {j},}$la curvatura geodésica del círculo con respecto a la esfera, que es igual a la cotangente del radio intrínseco orientado${\displaystyle \rho _{j}.}$Entonces: ^{[ 19 ] [ 45 ]}

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})+4.}$$

Resolviendo para una de las curvaturas en términos de las otras tres,

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}-1}}.}$$

Como ecuación matricial,

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =-1.}$$

La cantidad${\displaystyle 1/k_{j}=\tan \rho _{j}}$es el "diámetro estereográfico" de un círculo pequeño. Esta es la longitud euclidiana del diámetro en el plano de proyección estereográfica cuando un punto del círculo se proyecta sobre el origen. Para un círculo máximo, dicha proyección estereográfica es una línea recta que pasa por el origen, por lo que${\displaystyle k_{j}=0}$. ^{[ 47 ]}

Asimismo, el teorema se generaliza a círculos mutuamente tangentes en geometría hiperbólica si la curvatura de la${\displaystyle j}$El ciclo se define como${\textstyle k_{j}=\coth \rho _ {j},}$la curvatura geodésica del círculo con respecto al plano hiperbólico, la cotangente hiperbólica del radio intrínseco orientado${\displaystyle \rho _{j}.}$Entonces: ^{[ 19 ] [ 45 ]}

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})-4.}$$

Resolviendo para una de las curvaturas en términos de las otras tres,

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+1}}.}$$

Como ecuación matricial,

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =1.}$$

Esta fórmula también es válida para configuraciones mutuamente tangentes en geometría hiperbólica, incluyendo hiperciclos y horociclos , si${\displaystyle k_{j}}$es la curvatura geodésica del ciclo con respecto al plano hiperbólico, el recíproco del diámetro estereográfico del ciclo. Este es el diámetro bajo proyección estereográfica (el modelo del disco de Poincaré ) cuando un extremo del diámetro se proyecta al origen. ^{[ 48 ]} Los hiperciclos no tienen un centro o radio intrínseco bien definidos y los horociclos tienen un punto ideal para un centro y un radio intrínseco infinito, pero${\displaystyle |k_{j}|>1}$para un círculo hiperbólico,${\displaystyle |k_{j}|=1}$para un horóscopo,${\displaystyle |k_{j}|<1}$para un hiperciclo, y${\displaystyle k_{j}=0}$para una geodésica . ^{[ 49 ]}

En${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión , el número máximo de hiperesferas mutuamente tangentes es${\displaystyle n+2}$Por ejemplo, en el espacio tridimensional, cinco esferas pueden ser tangentes entre sí. Las curvaturas de las hiperesferas satisfacen

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2}}$$

con el caso${\displaystyle k_{i}=0}$correspondiente a un hiperplano plano , generalizando la versión bidimensional del teorema. ^{[ 19 ] [ 45 ]} Aunque no existe un análogo tridimensional de los números complejos, la relación entre las posiciones de los centros puede expresarse nuevamente como una ecuación matricial , que también se generaliza a${\displaystyle n}$dimensiones. ^{[ 19 ]}

En tres dimensiones, supongamos que tres esferas mutuamente tangentes están fijas, y una cuarta esfera${\displaystyle S_{1}}$Se da, tangente a las tres esferas fijas. La versión tridimensional del teorema de Descartes se puede aplicar para encontrar una esfera.${\displaystyle S_{2}}$tangente a${\displaystyle S_{1}}$y las esferas fijas, luego se aplicaron nuevamente para encontrar una nueva esfera.${\displaystyle S_{3}}$tangente a${\displaystyle S_{2}}$y las esferas fijas, y así sucesivamente. El resultado es una secuencia cíclica de seis esferas, cada una tangente a sus vecinas en la secuencia y a las tres esferas fijas, una configuración llamada hexlet de Soddy , en honor a su descubrimiento y publicación en forma de otro poema en 1936. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Las configuraciones de dimensiones superiores de hiperesferas mutuamente tangentes en geometría esférica o hiperbólica, con curvaturas definidas como se indicó anteriormente , satisfacen

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=nC+n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2},}$$

dónde${\displaystyle C=2}$en geometría esférica y${\displaystyle C=-2}$en geometría hiperbólica. ^{[ 45 ] [ 19 ]}