Distancia inversa

En geometría inversa , la distancia inversa es una forma de medir la "distancia" entre dos círculos , independientemente de si los círculos se cruzan, son tangentes entre sí o están disjuntos entre sí. ^[1]

La distancia inversa permanece inalterada si los círculos se invierten o se transforman mediante una transformación de Möbius . ^{[1] [2] [3]} Un par de círculos se puede transformar en otro par mediante una transformación de Möbius si y solo si ambos pares tienen la misma distancia inversa. ^[1]

Un análogo del teorema de Beckman-Quarles es válido para la distancia inversa: si una biyección del conjunto de círculos en el plano inverso preserva la distancia inversa entre pares de círculos a una distancia fija elegida , entonces debe ser una transformación de Möbius que preserva todas las distancias inversas. ^[3]${\estilo de visualización \delta}$

Para dos círculos en el plano euclidiano con radios y , y distancia entre sus centros, la distancia inversa se puede definir mediante la fórmula ^[1]${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización d}$

${\displaystyle I={\frac {d^{2}-r^{2}-R^{2}}{2rR}}.}$

Esta fórmula da:

• un valor mayor que 1 para dos círculos disjuntos,
• un valor de 1 para dos círculos que son tangentes entre sí y ambos exteriores entre sí,
• un valor entre −1 y 1 para dos círculos que se intersecan,
  • un valor de 0 para dos círculos que se intersecan entre sí en ángulos rectos ,
• un valor de −1 para dos círculos que son tangentes entre sí, uno dentro del otro,
• y un valor menor que −1 cuando un círculo contiene al otro.

(Algunos autores definen la distancia inversa absoluta como el valor absoluto de la distancia inversa.)

Algunos autores modifican esta fórmula tomando el coseno hiperbólico inverso del valor dado anteriormente, en lugar del valor en sí. ^{[2] [4] [5]} Es decir, en lugar de utilizar el número como la distancia inversa, la distancia se define como el número que obedece a la ecuación. ${\displaystyle I}$${\estilo de visualización \delta}$

${\displaystyle \delta =\operatorname {arcosh} (I).}$

Aunque transformar la distancia inversa de esta manera hace que la fórmula de la distancia sea más complicada y evita su aplicación a pares de círculos que se cruzan, tiene la ventaja de que (como la distancia habitual para los puntos de una línea) la distancia se vuelve aditiva para los círculos en un lápiz de círculos . Es decir, si tres círculos pertenecen a un lápiz común, entonces (usando en lugar de como la distancia inversa) una de sus tres distancias por pares será la suma de las otras dos. ^[2]${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle I}$

También es posible definir la distancia inversa para círculos en una esfera , o para círculos en el plano hiperbólico . ^[1]

Una cadena de Steiner para dos círculos disjuntos es una secuencia cíclica finita de círculos adicionales, cada uno de los cuales es tangente a los dos círculos dados y a sus dos vecinos en la cadena. El porismo de Steiner establece que si dos círculos tienen una cadena de Steiner, tienen infinitas cadenas de ese tipo. Se permite que la cadena se enrolle más de una vez alrededor de los dos círculos, y se puede caracterizar por un número racional cuyo numerador es el número de círculos en la cadena y cuyo denominador es el número de veces que se enrolla. Todas las cadenas para los mismos dos círculos tienen el mismo valor de . Si la distancia inversa entre los dos círculos (después de tomar el coseno hiperbólico inverso) es , entonces se puede encontrar mediante la fórmula ${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle p={\frac {\pi }{\sin ^{-1}\tanh(\delta /2)}}.}$

Por el contrario, cada dos círculos disjuntos para los que esta fórmula da un número racional admitirán una cadena de Steiner. En términos más generales, un par arbitrario de círculos disjuntos puede aproximarse de forma arbitraria mediante pares de círculos que admitan cadenas de Steiner cuyos valores sean aproximaciones racionales al valor de esta fórmula para los dos círculos dados. ^[2]${\estilo de visualización p}$

La distancia inversa se ha utilizado para definir el concepto de un empaquetamiento de círculos de distancia inversa : una colección de círculos tales que un subconjunto especificado de pares de círculos (que corresponden a los bordes de un grafo plano ) tienen una distancia inversa dada entre sí. Este concepto generaliza los empaquetamientos de círculos descritos por el teorema de empaquetamiento de círculos , en el que pares especificados de círculos son tangentes entre sí. ^{[1] [6]} Aunque se sabe menos sobre la existencia de empaquetamientos de círculos de distancia inversa que para empaquetamientos de círculos tangentes, se sabe que, cuando existen, pueden especificarse de forma única (hasta transformaciones de Möbius) por un grafo plano maximalista dado y un conjunto de distancias inversas euclidianas o hiperbólicas. Esta propiedad de rigidez se puede generalizar ampliamente, a métricas euclidianas o hiperbólicas en variedades trianguladas con defectos angulares en sus vértices. ^[7] Sin embargo, para variedades con geometría esférica, estos empaquetamientos ya no son únicos. ^[8] A su vez, los empaquetamientos circulares de distancia inversa se han utilizado para construir aproximaciones a mapeos conformes . ^[1]

• Weisstein, Eric W. , "Distancia inversa", MathWorld