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Cadena de Pappus

Una cadena de Pappus En geometría , la cadena de Pappus es un anillo de círculos entre dos círculos tangentes investigado por Pappus de Alejandría en el siglo III d.C. Construcc...

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Una cadena de Pappus

En geometría , la cadena de Pappus es un anillo de círculos entre dos círculos tangentes investigado por Pappus de Alejandría en el siglo III d.C.

Construcción

Dados dos círculos C U y C V , sea el círculo interior C U el círculo exterior C V , y sean los dos círculos tangentes entre sí en el punto A. Sean los radios de estos dos círculos r U y r V , respectivamente, y sean sus centros respectivos los puntos U y V. La cadena de Pappus está formada por los círculos en la región sombreada en gris, que son externamente tangentes a C U (el círculo interior) e internamente tangentes a C V (el círculo exterior). Sean el radio, el diámetro y el centro del n -ésimo círculo de la cadena de Pappus r n , d n , P n , respectivamente.

La cadena de Pappus se suele considerar con respecto a un arbelos , un triángulo circular cuyos tres lados son semicírculos de los dos círculos tangentes dados y del círculo de la cadena cuyo centro es colineal con los dos círculos dados.

Propiedades

Centros de los círculos

Elipse

Todos los centros de los círculos en la cadena de Pappus se encuentran en una elipse común , por la siguiente razón: la suma de las distancias desde el n -ésimo círculo de la cadena de Pappus a los dos centros U, V de los círculos arbelos es igual a una constante.

PAGnorteU¯+PAGnorteV¯=(rU+rnorte)+(rV−rnorte)=rU+rV{\displaystyle {\overline {P_{n}U}}+{\overline {P_{n}V}}=(r_{U}+r_{n})+(r_{V}-r_{n})=r_{U}+r_{V}}

Así, los focos de esta elipse son U y V , los centros de los dos círculos que definen el arbelos; estos puntos corresponden a los puntos medios de los segmentos de línea AB y AC , respectivamente.

Coordenadas

Sir=Ado¯AB¯,{\displaystyle r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},}Entonces, el centro del enésimo círculo de la cadena es:

(incógnitanorte,ynorte)=(r(1+r)2[norte2(1−r)2+r] , norter(1−r)norte2(1−r)2+r){\displaystyle (x_{n},y_{n})=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)}

Radios de los círculos

Sir=Ado¯AB¯,{\displaystyle r={\tfrac {\overline {AC}}{\overline {AB}}},}Entonces, el radio del enésimo círculo de la cadena es: rnorte=(1−r)r2[norte2(1−r)2+r]{\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}

Inversión de círculo

Bajo una inversión particular centrada en A , los cuatro círculos iniciales de la cadena de Pappus se transforman en una pila de cuatro círculos de igual tamaño, intercalados entre dos líneas paralelas. Esto explica la fórmula de altura h n = nd n y el hecho de que los puntos de tangencia originales se encuentren en un círculo común.

La altura h n del centro del n th círculo sobre el diámetro de la base ACB es igual a n veces d n . [ 1 ] Esto se puede demostrar invirtiendo en un círculo centrado en el punto de tangencia A . El círculo de inversión se elige para intersecar el n th círculo perpendicularmente, de modo que el n th círculo se transforma en sí mismo. Los dos círculos arbelos, C U y C V , se transforman en líneas paralelas tangentes al n th círculo y lo rodean; por lo tanto, los otros círculos de la cadena de Pappus se transforman en círculos similares rodeados del mismo diámetro. El círculo inicial C 0 y el círculo final C n contribuyen cada uno con ⁠ 1 / 2 ⁠ d n a la altura h n , mientras que los círculos C 1 a C n − 1 contribuyen cada uno con d n . Sumando estas contribuciones se obtiene la ecuación h n = nd n .

La misma inversión puede utilizarse para demostrar que los puntos donde los círculos de la cadena de Pappus son tangentes entre sí se encuentran sobre un círculo común. Como se indicó anteriormente, la inversión centrada en el punto A transforma los círculos del arbelos C U y C V en dos líneas paralelas, y los círculos de la cadena de Pappus en una pila de círculos de igual tamaño intercalados entre las dos líneas paralelas. Por lo tanto, los puntos de tangencia entre los círculos transformados se encuentran sobre una línea que se sitúa a medio camino entre las dos líneas paralelas. Al deshacer la inversión en el círculo, esta línea de puntos de tangencia se transforma de nuevo en un círculo.

Cadena Steiner

En estas propiedades de tener centros en una elipse y tangencias en un círculo, la cadena de Pappus es análoga a la cadena de Steiner , en la que un número finito de círculos son tangentes a dos círculos.

Referencias

  1. ↑ Ogilvy, págs. 54-55 .

Bibliografía

  • Ogilvy, CS (1990). Excursiones en geometría . Dover. págs. 54–55 . ISBN  0-486-26530-7.
  • Bankoff, L. (1981). "¿Cómo lo hizo Pappus?". En Klarner, DA (ed.). El jardinero matemático . Boston: Prindle, Weber y Schmidt. pp. 112–118 . 
  • Johnson, RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: Un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin  ed.). Nueva York: Dover Publications. pp. 116–117 . ISBN  978-0-486-46237-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Nueva York: Penguin Books. págs. 5–6 . ISBN  0-14-011813-6.
  • Floer van Lamoen y Eric W. Weisstein. "Cadena de Pappus" . MathWorld .
  • Tan, Stephen. "Arbelos" .