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Articulo de referencia

Propagación de la incertidumbre

En estadística , la propagación de la incertidumbre es el efecto de las incertidumbres de las variables sobre la incertidumbre de una función basada en ellas. Cuando las variabl...

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En estadística , la propagación de la incertidumbre es el efecto de las incertidumbres de las variables sobre la incertidumbre de una función basada en ellas. Cuando las variables son valores de mediciones experimentales, presentan incertidumbres debidas a limitaciones de medición (por ejemplo, precisión del instrumento ), las cuales se propagan debido a la combinación de variables en la función.

La incertidumbre u puede expresarse de diversas maneras. Puede definirse mediante el error absoluto Δx . Las incertidumbres también pueden definirse mediante el error relativo (Δx ) / x , que generalmente se expresa como un porcentaje. Lo más común es cuantificar la incertidumbre de una magnitud en términos de la desviación estándar σ , que es la raíz cuadrada positiva de la varianza . El valor de una magnitud y su error se expresan entonces como un intervalo x ± u . Sin embargo, la forma más general de caracterizar la incertidumbre es especificando su distribución de probabilidad . Si se conoce o se puede asumir la distribución de probabilidad de la variable, en teoría es posible obtener cualquiera de sus estadísticas. En particular, es posible derivar límites de confianza para describir la región dentro de la cual se puede encontrar el verdadero valor de la variable. Por ejemplo, los límites de confianza del 68% para una variable unidimensional perteneciente a una distribución normal son aproximadamente ± una desviación estándar σ del valor central x , lo que significa que la región x ± σ cubrirá el valor verdadero en aproximadamente el 68% de los casos.

Si las incertidumbres están correlacionadas , entonces debe tenerse en cuenta la covarianza . La correlación puede surgir de dos fuentes diferentes. Primero, los errores de medición pueden estar correlacionados. Segundo, cuando los valores subyacentes están correlacionados en una población, las incertidumbres en los promedios del grupo estarán correlacionadas. [ 1 ]

En un contexto general donde una función no lineal modifica los parámetros inciertos (correlacionados o no), las herramientas estándar para propagar la incertidumbre e inferir la distribución de probabilidad/estadísticas de la cantidad resultante son las técnicas de muestreo de la familia del método de Monte Carlo . [ 2 ] Para conjuntos de datos muy grandes o funciones complejas, el cálculo de la propagación del error puede ser muy costoso, por lo que puede ser necesario un modelo sustituto [ 3 ] o una estrategia de computación paralela [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] .

En algunos casos particulares, el cálculo de la propagación de la incertidumbre puede realizarse mediante procedimientos algebraicos sencillos. Algunos de estos escenarios se describen a continuación.

Combinaciones lineales

Dejar{Fk(incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte)}{\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}sea ​​un conjunto de m funciones, que son combinaciones lineales denorte{\displaystyle n}variablesincógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}con coeficientes de combinaciónAk1,Ak2,…,Aknorte,(k=1,…,metro){\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}: Fk=∑i=1norteAkiincógnitai,{\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},} o en notación matricial, F=Aincógnita.{\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}

Además, sea la matriz de varianza-covarianza de x = ( x 1 , ..., x n ) denotada porΣincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}y sea el valor medio denotado porμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}: Σincógnita=mi⁡[(incógnita−μ)⊗(incógnita−μ)]=(σ12σ12σ13⋯σ21σ22σ23⋯σ31σ32σ32⋯⋮⋮⋮⋱)=(Σ11incógnitaΣ12incógnitaΣ13incógnita⋯Σ21incógnitaΣ22incógnitaΣ23incógnita⋯Σ31incógnitaΣ32incógnitaΣ33incógnita⋯⋮⋮⋮⋱).{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=\operatorname {E} [(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]&={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}⊗{\displaystyle \otimes }es el producto exterior .

Luego, la matriz de varianza-covarianzaΣF{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}de f viene dado por ΣF=mi⁡[(F−mi⁡[F])⊗(F−mi⁡[F])]=mi⁡[A(incógnita−μ)⊗A(incógnita−μ)]=Ami⁡[(incógnita−μ)⊗(incógnita−μ)]AT=AΣincógnitaAT.{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{f}&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\\[1ex]&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}

En notación de componentes, la ecuación ΣF=AΣincógnitaAT{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }} lecturas ΣijF=∑knorte∑lnorteAikΣklincógnitaAjl.{\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}

Esta es la expresión más general para la propagación de errores de un conjunto de variables a otro. Cuando los errores en x no están correlacionados, la expresión general se simplifica a ΣijF=∑knorteAikΣkincógnitaAjk,{\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},} dóndeΣkincógnita=σincógnitak2{\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}es la varianza del k -ésimo elemento del vector x . Nótese que, aunque los errores en x pueden no estar correlacionados, los errores en f están generalmente correlacionados; en otras palabras, incluso siΣincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}es una matriz diagonal ,ΣF{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}En general, es una matriz completa.

Las expresiones generales para una función escalar f son un poco más sencillas (aquí a es un vector fila ): F=∑inorteaiincógnitai=aincógnita,{\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}σF2=∑inorte∑jnorteaiΣijincógnitaaj=aΣincógnitaaT.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}

Cada término de covarianzaσij{\displaystyle \sigma _{ij}}puede expresarse en términos del coeficiente de correlaciónρij{\displaystyle \rho _{ij}}porσij=ρijσiσj{\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}, de modo que una expresión alternativa para la varianza de f es σF2=∑inorteai2σi2+∑inorte∑j(j≠i)norteaiajρijσiσj.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}

En el caso de que las variables en x no estén correlacionadas, esto se simplifica aún más a σF2=∑inorteai2σi2.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}

En el caso simple de coeficientes y varianzas idénticos, encontramos σF=norte|a|σ.{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}

Para la media aritmética,a=1/norte{\displaystyle a=1/n}, el resultado es el error estándar de la media : σF=σnorte.{\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}

Combinaciones no lineales

Cuando f es un conjunto de combinaciones no lineales de las variables x , se puede realizar una propagación de intervalos para calcular intervalos que contengan todos los valores consistentes de las variables. En un enfoque probabilístico, la función f generalmente debe linealizarse mediante una aproximación a una expansión en serie de Taylor de primer orden , aunque en algunos casos se pueden derivar fórmulas exactas que no dependen de la expansión, como es el caso de la varianza exacta de los productos. [ 7 ] La expansión de Taylor sería: Fk≈Fk0+∑inorte∂Fk∂incógnitaiincógnitai{\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}} dónde∂Fk/∂incógnitai{\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}denota la derivada parcial de f k con respecto a la i -ésima variable, evaluada en el valor medio de todos los componentes del vector x . O en notación matricial , F≈F0+Jincógnita{\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,} donde J es la matriz jacobiana . Dado que f 0 es una constante, no contribuye al error en f. Por lo tanto, la propagación del error sigue el caso lineal, arriba, pero reemplazando los coeficientes lineales, A ki y A kj por las derivadas parciales,∂Fk∂incógnitai{\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}y∂Fk∂incógnitaj{\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}. En notación matricial, [ 8 ]ΣF=JΣincógnitaJ⊤.{\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}

Es decir, el jacobiano de la función se utiliza para transformar las filas y columnas de la matriz de varianza-covarianza del argumento. Nótese que esto es equivalente a la expresión matricial para el caso lineal conJ=A{\displaystyle \mathrm {J=A} }.

Simplificación

Ignorar las correlaciones o asumir variables independientes produce una fórmula común entre ingenieros y científicos experimentales para calcular la propagación de errores, la fórmula de la varianza: [ 9 ]sF=(∂F∂incógnita)2sincógnita2+(∂F∂y)2sy2+(∂F∂z)2sz2+⋯{\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}} dóndesF{\displaystyle s_{f}}representa la desviación estándar de la funciónF{\displaystyle f},sincógnita{\displaystyle s_{x}}representa la desviación estándar deincógnita{\displaystyle x},sy{\displaystyle s_{y}}representa la desviación estándar dey{\displaystyle y}y así sucesivamente.

Esta fórmula se basa en las características lineales del gradiente deF{\displaystyle f}y por lo tanto es una buena estimación para la desviación estándar deF{\displaystyle f}mientrassincógnita,sy,sz,…{\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }son suficientemente pequeños. Específicamente, la aproximación lineal deF{\displaystyle f}tiene que estar cerca deF{\displaystyle f}dentro de un vecindario de radiosincógnita,sy,sz,…{\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }. [ 10 ]

Ejemplo

Cualquier función diferenciable no lineal ,F(a,b){\displaystyle f(a,b)}, de dos variables,a{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}, puede expandirse como F≈F0+∂F∂aa+∂F∂bb.{\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.} Si tomamos la varianza en ambos lados y usamos la fórmula [ 11 ] para la varianza de una combinación lineal de variables Var⁡(aincógnita+bY)=a2Var⁡(incógnita)+b2Var⁡(Y)+2abCov⁡(incógnita,Y),{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),} entonces obtenemos σF2≈|∂F∂a|2σa2+|∂F∂b|2σb2+2∂F∂a∂F∂bσab,{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},} dóndeσF{\displaystyle \sigma _{f}}es la desviación estándar de la funciónF{\displaystyle f},σa{\displaystyle \sigma _{a}}es la desviación estándar dea{\displaystyle a},σb{\displaystyle \sigma _{b}}es la desviación estándar deb{\displaystyle b}yσab=σaσbρab{\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}es la covarianza entrea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}.

En el caso particular queF=ab{\displaystyle f=ab},∂F∂a=b{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b},∂F∂b=a{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}. Entonces σF2≈b2σa2+a2σb2+2abσab{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}} o (σFF)2≈(σaa)2+(σbb)2+2(σaa)(σbb)ρab{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}} dóndeρab{\displaystyle \rho _{ab}}es la correlación entrea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}.

Cuando las variablesa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}no están correlacionados,ρab=0{\displaystyle \rho _{ab}=0}. Entonces (σFF)2≈(σaa)2+(σbb)2.{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}

Advertencias y precauciones

Las estimaciones de error para funciones no lineales presentan sesgos debido al uso de un desarrollo en serie truncado. La magnitud de este sesgo depende de la naturaleza de la función. Por ejemplo, el sesgo en el error calculado para log(1+ x ) aumenta a medida que x aumenta, ya que el desarrollo en serie hasta x es una buena aproximación solo cuando x está cerca de cero.

Para funciones altamente no lineales, existen cinco categorías de enfoques probabilísticos para la propagación de la incertidumbre; [ 12 ] véase Cuantificación de la incertidumbre para más detalles.

Recíproco y recíproco desplazado

En el caso especial del inverso o recíproco1/B{\displaystyle 1/B}, dóndeB=norte(0,1){\displaystyle B=N(0,1)}sigue una distribución normal estándar , la distribución resultante es una distribución normal estándar recíproca y no hay varianza definible. [ 13 ]

Sin embargo, en el caso ligeramente más general de una función recíproca desplazada1/(pag−B){\displaystyle 1/(p-B)}paraB=norte(μ,σ){\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}siguiendo una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polopag{\displaystyle p}y la mediaμ{\displaystyle \mu }es de valor real. [ 14 ]

Relaciones

Las proporciones también son problemáticas; existen aproximaciones normales bajo ciertas condiciones.

Fórmulas de ejemplo

Esta tabla muestra las varianzas y desviaciones estándar de funciones simples de las variables reales.A,B{\displaystyle A,B}con desviaciones estándarσA,σB,{\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}covarianzaσAB=ρABσAσB,{\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}y correlaciónρAB.{\displaystyle \rho _{AB}.}Los coeficientes de valor reala{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}se supone que se conocen exactamente (deterministas), es decir,σa=σb=0.{\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}

En las columnas de la derecha de la tabla,A{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}son valores esperados yF{\displaystyle f}es el valor de la función calculado en esos valores.

Para variables no correlacionadas (ρAB=0{\displaystyle \rho _{AB}=0},σAB=0{\displaystyle \sigma _{AB}=0}Las expresiones para funciones más complejas se pueden derivar combinando funciones más simples. Por ejemplo, la multiplicación repetida, suponiendo que no hay correlación, da como resultado: F=ABdo;(σFF)2≈(σAA)2+(σBB)2+(σdodo)2.{\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}

Para el casoF=AB{\displaystyle f=AB}También tenemos la expresión de Goodman [ 7 ] para la varianza exacta: para el caso no correlacionado es V⁡[incógnitaY]=mi⁡[incógnita]2V⁡[Y]+mi⁡[Y]2V⁡[incógnita]+V⁡[incógnita]V⁡[Y],{\displaystyle \operatorname {V} [XY]=\operatorname {E} [X]^{2}\operatorname {V} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [X]\operatorname {V} [Y],} y por lo tanto tenemos σF2=A2σB2+B2σA2+σA2σB2.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.} El último término representa una pequeña corrección a la fórmula habitual, como se puede observar dividiendo ambos lados porF2=A2B2{\displaystyle f^{2}=A^{2}B^{2}}. (σFF)2=(σAA)2+(σBB)2+(σAσBAB)2.{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{A}\sigma _{B}}{AB}}\right)^{2}.}

Efecto de la correlación en las diferencias

Si A y B no están correlacionados, su diferencia A − B tendrá más varianza que cualquiera de ellos. Una correlación positiva creciente (ρAB→1{\displaystyle \rho _{AB}\to 1}) disminuirá la varianza de la diferencia, convergiendo a varianza cero para variables perfectamente correlacionadas con la misma varianza . Por otro lado, una correlación negativa (ρAB→−1{\displaystyle \rho _{AB}\to -1}) aumentará aún más la varianza de la diferencia, en comparación con el caso no correlacionado.

Por ejemplo, la auto-resta f = A − A tiene varianza cero.σF2=0{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}solo si la variable está perfectamente autocorrelacionada (ρA=1{\displaystyle \rho _{A}=1}). Si A no está correlacionado,ρA=0,{\displaystyle \rho _{A}=0,}entonces la varianza de la salida es el doble de la varianza de la entrada,σF2=2σA2.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}Y si A está perfectamente anticorrelacionado,ρA=−1,{\displaystyle \rho _{A}=-1,}entonces la varianza de entrada se cuadruplica en la salida,σF2=4σA2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}(aviso1−ρA=2{\displaystyle 1-\rho _{A}=2}para f = aA − aA en la tabla anterior).

Cálculos de ejemplo

Función tangente inversa

Podemos calcular la propagación de la incertidumbre para la función tangente inversa como ejemplo del uso de derivadas parciales para propagar el error.

Definir F(incógnita)=arctan⁡(incógnita),{\displaystyle f(x)=\arctan(x),} dóndeΔincógnita{\displaystyle \Delta _{x}}es la incertidumbre absoluta en nuestra medición de x . La derivada de f ( x ) con respecto a x es dFdincógnita=11+incógnita2.{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}

Por lo tanto, nuestra incertidumbre propagada es ΔF≈Δincógnita1+incógnita2,{\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},} dóndeΔF{\displaystyle \Delta _{f}}es la incertidumbre propagada absoluta.

Medición de resistencia

Una aplicación práctica es un experimento en el que se mide la corriente , I , y el voltaje , V , en una resistencia para determinar la resistencia , R , utilizando la ley de Ohm , R = V / I.

Dadas las variables medidas con incertidumbres, I ± σ I y V ± σ V , y despreciando su posible correlación, la incertidumbre en la cantidad calculada, σ R , es:

σR≈σV2(1I)2+σI2(−VI2)2=R(σVV)2+(σII)2.{\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}

Véase también

Referencias

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  6. ↑ Lin, Y.; Wang, F.; Liu, B. (2018). "Generadores de números aleatorios para simulaciones Monte Carlo paralelas a gran escala en FPGA". Journal of Computational Physics . 360 : 93–103 . Bibcode : 2018JCoPh.360...93L . doi : 10.1016/j.jcp.2018.01.029 .
  7. 1 2 Goodman, Leo (1960). "Sobre la varianza exacta de los productos". Journal of the American Statistical Association . 55 (292): 708– 713. doi : 10.2307/2281592 . JSTOR 2281592 . 
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Lecturas adicionales

  • Bevington, Philip R.; Robinson, D. Keith (2002), Reducción de datos y análisis de errores para las ciencias físicas (3.ª  ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
  • Fornasini, Paolo (2008), La incertidumbre en las mediciones físicas: una introducción al análisis de datos en el laboratorio de física , Springer, pág.  161, ISBN 978-0-387-78649-0
  • Meyer, Stuart L. (1975), Análisis de datos para científicos e ingenieros , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
  • Peralta, M. (2012), Propagación de errores: cómo predecir matemáticamente los errores de medición , CreateSpace
  • Rouaud, M. (2013), Probabilidad, estadística y estimación: propagación de incertidumbres en la medición experimental (PDF) (  edición corta)
  • Taylor, JR (1997), Introducción al análisis de errores: El estudio de las incertidumbres en las mediciones físicas (2.ª  ed.), University Science Books
  • Wang, CM; Iyer, Hari K. (2005-09-07). "Sobre correcciones de orden superior para incertidumbres propagantes". Metrologia . 42 (5): 406– 410. Bibcode : 2005Metro..42..406W . doi : 10.1088/0026-1394/42/5/011 . ISSN 0026-1394 . S2CID 122841691 .  
  • Calculadora de incertidumbre : Cree presupuestos de incertidumbre compatibles con la norma ISO 17025 sin hojas de cálculo ni sistemas complejos.
  • Una discusión detallada de las mediciones y la propagación de la incertidumbre que explica los beneficios de usar fórmulas de propagación de errores y simulaciones de Monte Carlo en lugar de la aritmética de significancia simple.
  • GUM , Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición
  • EPFL Introducción a la propagación de errores , derivación, significado y ejemplos de Cy = Fx Cx Fx'
  • paquete de incertidumbres , un programa/biblioteca para realizar cálculos con incertidumbres (y correlaciones de errores) de forma transparente.
  • soerp package , un programa/biblioteca de Python para realizar de forma transparente cálculos de *segundo orden* con incertidumbres (y correlaciones de error).
  • Comité Conjunto para Guías en Metrología (2011). JCGM 102: Evaluación de datos de medición - Suplemento 2 de la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" - Extensión a cualquier número de magnitudes de salida (PDF) (Informe técnico). JCGM . Consultado el 13 de febrero de 2013 .