Teoría de la representación de grupos finitos

La teoría de la representación de grupos es una rama de las matemáticas que examina cómo actúan los grupos sobre estructuras dadas.

Aquí nos centramos especialmente en las operaciones de grupos sobre espacios vectoriales . No obstante, también se consideran grupos que actúan sobre otros grupos o sobre conjuntos . Para más detalles, consulte la sección sobre representaciones de permutaciones .

Salvo algunas excepciones notables, en este artículo solo se considerarán grupos finitos. También nos restringiremos a espacios vectoriales sobre cuerpos de característica cero. Dado que la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero es completa , una teoría válida para un cuerpo algebraicamente cerrado especial de característica cero también es válida para cualquier otro cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad , podemos estudiar espacios vectoriales sobre $\mathbb {C} .$

La teoría de la representación se utiliza en muchas ramas de las matemáticas, así como en la química y la física cuánticas. Entre otras cosas, se emplea en álgebra para analizar la estructura de los grupos. También tiene aplicaciones en el análisis armónico y la teoría de números . Por ejemplo, en el enfoque moderno se utiliza para obtener nuevos resultados sobre las formas automórficas.

Definición

Representaciones lineales

Dejar $V$ ser un $K$ –espacio vectorial y $G$ un grupo finito. Una representación lineal de $G$ es un homomorfismo de grupo $\rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).$ Aquí ${\text{GL}}(V)$ es la notación para un grupo lineal general , y ${\text{Aut}}(V)$ para un grupo de automorfismos . Esto significa que una representación lineal es un mapa. $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ lo cual satisface $\rho (st)=\rho (s)\rho (t)$ a pesar de $s,t\in G.$ El espacio vectorial $V$ se denomina espacio de representación de $G.$ A menudo el término "representación de $G$ " también se utiliza para el espacio de representación $V.$

La representación de un grupo en un módulo en lugar de un espacio vectorial también se denomina representación lineal.

Escribimos $(\rho ,V_{\rho })$ para la representación $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ de $G.$ A veces utilizamos la notación $(\rho ,V)$ si está claro a qué representación corresponde el espacio $V$ pertenece.

En este artículo nos limitaremos al estudio de espacios de representación de dimensión finita, excepto en el último capítulo. Como en la mayoría de los casos solo un número finito de vectores en $V$ Si de interés se trata de estudiar la subrepresentación generada por estos vectores, basta con hacerlo. El espacio de representación de esta subrepresentación es entonces de dimensión finita.

El grado de una representación es la dimensión de su espacio de representación. $V.$ La notación $\dim(\rho )$ a veces se utiliza para denotar el grado de una representación $\rho .$

Ejemplos

La representación trivial viene dada por $\rho (s)={\text{Id}}$ a pesar de $s\in G.$

Una representación de grado $1$ de un grupo $G$ es un homomorfismo en el grupo multiplicativo $\rho :G\to {\text{GL}}_{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}.$ Como cada elemento de $G$ es de orden finito, los valores de $\rho (s)$ son raíces de unidad . Por ejemplo, dejemos $\rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }$ sea una representación lineal no trivial. Dado que $\rho$ es un homomorfismo de grupo, tiene que satisfacer $\rho ({0})=1.$ Porque $1$ genera $G,\rho$ está determinado por su valor en $\rho (1).$ Y como $\rho$ no es trivial, $\rho ({1})\in \{i,-1,-i\}.$ De esta manera, logramos el resultado de que la imagen de $G$ bajo $\rho$ tiene que ser un subgrupo no trivial del grupo que consta de las raíces cuartas de la unidad. En otras palabras, $\rho$ Debe ser uno de los siguientes tres mapas:

{\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}

Dejar $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ y dejar $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ Sea el homomorfismo de grupo definido por:

\rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

En este caso $\rho$ es una representación lineal de $G$ de grado $2.$

Representación de permutación

Dejar $X$ Sea un conjunto finito y sea $G$ ser un grupo que actúa en $X.$ Denotemos por ${\text{Aut}}(X)$ el grupo de todas las permutaciones en $X$ con la composición como multiplicación de grupo.

A veces se considera suficiente un grupo que actúa sobre un conjunto finito para la definición de la representación de permutación. Sin embargo, dado que queremos construir ejemplos para representaciones lineales, donde los grupos actúan sobre espacios vectoriales en lugar de sobre conjuntos finitos arbitrarios, tenemos que proceder de una manera diferente. Para construir la representación de permutación, necesitamos un espacio vectorial. $V$ con $\dim(V)=|X|.$ Una base de $V$ puede ser indexado por los elementos de $X.$ La representación de permutación es el homomorfismo de grupo. $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ dado por $\rho (s)e_{x}=e_{s.x}$ a pesar de $s\in G,x\in X.$ Todos los mapas lineales $\rho (s)$ se definen de forma única por esta propiedad.

Ejemplo. Dejemos $X=\{1,2,3\}$ y $G={\text{Sym}}(3).$ Entonces $G$ actúa en $X$ a través de ${\text{Aut}}(X)=G.$ La representación lineal asociada es $\rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ con $\rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}$ para $\sigma \in G,x\in X.$

Representación regular izquierda y derecha

Dejar $G$ ser un grupo y $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $|G|$ con una base $(e_{t})_{t\in G}$ indexado por los elementos de $G.$ La representación regular izquierda es un caso especial de la representación de permutación al elegir $X=G.$ Esto significa $\rho (s)e_{t}=e_{st}$ a pesar de $s,t\in G.$ Así, la familia $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ de imágenes de $e_{1}$ son una base de $V.$ El grado de la representación regular izquierda es igual al orden del grupo.

La representación regular por la derecha se define en el mismo espacio vectorial con un homomorfismo similar: $\rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.$ De la misma manera que antes $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ es una base de $V.$ Al igual que en el caso de la representación regular izquierda, el grado de la representación regular derecha es igual al orden de $G.$

Ambas representaciones son isomorfas mediante $e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}.$ Por esta razón, no siempre se las distingue y a menudo se las denomina "la" representación regular.

Un análisis más detallado proporciona el siguiente resultado: Una representación lineal dada $\rho :G\to {\text{GL}}(W)$ es isomorfo a la representación regular izquierda si y solo si existe un $w\in W,$ de tal manera que $(\rho (s)w)_{s\in G}$ es una base de $W.$

Ejemplo. Dejemos $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ y $V=\mathbb {R} ^{5}$ con la base $\{e_{0},\ldots ,e_{4}\}.$ Luego, la representación regular por la izquierda $L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)$ se define por $L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}$ para $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$ La representación regular derecha se define de forma análoga por $R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}$ para $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$

Representaciones, módulos y álgebra de convolución

Dejar $G$ Sea un grupo finito, sea $K$ Sea un anillo conmutativo y sea $K[G]$ sea el álgebra de grupo de $G$ encima $K.$ Esta álgebra es libre y una base puede ser indexada por los elementos de $G.$ Con mayor frecuencia, la base se identifica con $G$ Cada elemento $f\in K[G]$ entonces puede expresarse de forma única como

f=\sum _{s\in G}a_{s}s

con

a_{s}\in K

.

La multiplicación en $K[G]$ extiende eso en $G$ de forma distributiva.

Ahora dejemos $V$ ser un $K$ – módulo y dejar $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ ser una representación lineal de $G$ en $V.$ Nosotros definimos $sv=\rho (s)v$ a pesar de $s\in G$ y $v\in V$ Por extensión lineal $V$ está dotado de la estructura de un izquierdo- $K[G]$ –módulo. Recíprocamente obtenemos una representación lineal de $G$ comenzando desde un $K[G]$ -módulo $V$ . Además, los homomorfismos de representaciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos de álgebra de grupos. Por lo tanto, estos términos pueden usarse indistintamente. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Este es un ejemplo de un isomorfismo de categorías .

Suponer $K=\mathbb {C} .$ En este caso la izquierda $\mathbb {C} [G]$ –módulo dado por $\mathbb {C} [G]$ en sí mismo corresponde a la representación regular izquierda. De la misma manera $\mathbb {C} [G]$ como un derecho $\mathbb {C} [G]$ –el módulo corresponde a la representación regular derecha.

A continuación definiremos el álgebra de convolución : Sea $G$ ser un grupo, el conjunto $L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}$ es un $\mathbb {C}$ –espacio vectorial con las operaciones suma y multiplicación escalar entonces este espacio vectorial es isomorfo a $\mathbb {C} ^{|G|}.$ La convolución de dos elementos $f,h\in L^{1}(G)$ definido por

f*h(s):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)

marcas $L^{1}(G)$ un álgebra . El álgebra $L^{1}(G)$ se denomina álgebra de convolución .

El álgebra de convolución es libre y tiene una base indexada por los elementos del grupo: $(\delta _{s})_{s\in G},$ dónde

\delta _{s}(t)={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Utilizando las propiedades de la convolución obtenemos: $\delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.$

Definimos un mapa entre $L^{1}(G)$ y $\mathbb {C} [G],$ definiendo $\delta _{s}\mapsto e_{s}$ sobre la base $(\delta _{s})_{s\in G}$ y extendiéndolo linealmente. Obviamente, el mapa previo es biyectivo . Una inspección más detallada de la convolución de dos elementos base como se muestra en la ecuación anterior revela que la multiplicación en $L^{1}(G)$ corresponde a eso en $\mathbb {C} [G].$ Por lo tanto, el álgebra de convolución y el álgebra de grupo son isomorfas como álgebras.

La involución

f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}

giros $L^{1}(G)$ en un $^{*}$ –álgebra . Tenemos $\delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.$

Una representación $(\pi ,V_{\pi })$ de un grupo $G$ se extiende a un $^{*}$ –homomorfismo de álgebra $\pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })$ por $\pi (\delta _{s})=\pi (s).$ Dado que la multiplicatividad es una propiedad característica de los homomorfismos algebraicos, $\pi$ Satisface $\pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).$ Si $\pi$ es unitario, también obtenemos $\pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).$ Para la definición de una representación unitaria, consulte el capítulo sobre propiedades . En ese capítulo veremos que (sin pérdida de generalidad) toda representación lineal puede considerarse unitaria.

Utilizando el álgebra de convolución podemos implementar una transformada de Fourier en un grupo $G.$ En el área del análisis armónico se demuestra que la siguiente definición es consistente con la definición de la transformada de Fourier en $\mathbb {R} .$

Dejar $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ ser una representación y dejar $f\in L^{1}(G)$ ser un $\mathbb {C}$ función valorada en $G$ La transformada de Fourier ${\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })$ de $f$ se define como

{\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).

Esta transformación satisface ${\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).$

Mapas entre representaciones

Un mapa entre dos representaciones $(\rho ,V_{\rho }),\,(\tau ,V_{\tau })$ del mismo grupo $G$ es un mapa lineal $T:V_{\rho }\to V_{\tau },$ con la propiedad que $\tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)$ se aplica a todos $s\in G.$ En otras palabras, el siguiente diagrama es conmutativo para todos $s\in G$ :

Este tipo de mapa también se llama $G$ –lineal , o un mapa equivariante . El núcleo , la imagen y el co-núcleo de $T$ están definidos por defecto. La composición de mapas equivariantes es de nuevo un mapa equivariante. Hay una categoría de representaciones con mapas equivariantes como sus morfismos . Son de nuevo $G$ –módulos. Por lo tanto, proporcionan representaciones de $G$ debido a la correlación descrita en la sección anterior.

Representaciones irreducibles y el lema de Schur

Dejar $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ ser una representación lineal de $G.$ Dejar $W$ ser un $G$ -subespacio invariante de $V,$ eso es, $\rho (s)w\in W$ a pesar de $s\in G$ y $w\in W$ La restricción $\rho (s)|_{W}$ es un isomorfismo de $W$ sobre sí mismo. Porque $\rho (s)|_{W}\circ \rho (t)|_{W}=\rho (st)|_{W}$ se aplica a todos $s,t\in G,$ Esta construcción es una representación de $G$ en $W.$ Se llama subrepresentación de $V.$ Cualquier representación V tiene al menos dos subrepresentaciones, a saber, una que consiste solo en 0 y otra que consiste en V misma. La representación se llama representación irreducible si estas dos son las únicas subrepresentaciones. Algunos autores también llaman a estas representaciones simples, dado que son precisamente los módulos simples sobre el álgebra de grupo. $\mathbb {C} [G]$ .

El lema de Schur impone una fuerte restricción a las aplicaciones entre representaciones irreducibles. Si $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1})$ y $\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ son ambos irreductibles y $F:V_{1}\to V_{2}$ es una aplicación lineal tal que $\rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)$ a pesar de $s\in G.$ Existe la siguiente dicotomía:

Si $V_{1}=V_{2}$ y $\rho _{1}=\rho _{2},$ $F$ es una homotecia (es decir, $F=\lambda {\text{Id}}$ por un $\lambda \in \mathbb {C}$ ). En términos más generales, si $\rho _{1}$ y $\rho _{2}$ Si son isomorfos, el espacio de aplicaciones G -lineales es unidimensional.
De lo contrario, si las dos representaciones no son isomorfas, F debe ser 0. ^{[ 3 ]}

Propiedades

Dos representaciones $(\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })$ se denominan equivalentes o isomorfos , si existe un $G$ – isomorfismo de espacios vectoriales lineales entre los espacios de representación. En otras palabras, son isomorfos si existe una aplicación lineal biyectiva. $T:V_{\rho }\to V_{\pi },$ de tal manera que $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ a pesar de $s\in G.$ En particular, las representaciones equivalentes tienen el mismo grado.

Una representación $(\pi ,V_{\pi })$ se le llama fiel cuando $\pi$ es inyectivo . En este caso $\pi$ induce un isomorfismo entre $G$ y la imagen $\pi (G).$ Como este último es un subgrupo de ${\text{GL}}(V_{\pi }),$ podemos considerar $G$ a través de $\pi$ como subgrupo de ${\text{Aut}}(V_{\pi }).$

Podemos restringir tanto el rango como el dominio:

Dejar $H$ ser un subgrupo de $G.$ Dejar $\rho$ ser una representación lineal de $G.$ Denotamos por ${\text{Res}}_{H}(\rho )$ la restricción de $\rho$ al subgrupo $H.$

Si no hay peligro de confusión, podríamos usar solo ${\text{Res}}(\rho )$ o en resumen ${\text{Res}}\rho .$

La notación ${\text{Res}}_{H}(V)$ o en resumen ${\text{Res}}(V)$ También se utiliza para denotar la restricción de la representación. $V$ de $G$ sobre $H.$

Dejar $f$ ser una función en $G.$ Escribimos ${\text{Res}}_{H}(f)$ o en breve ${\text{Res}}(f)$ para la restricción al subgrupo $H.$

Se puede demostrar que el número de representaciones irreducibles de un grupo $G$ (o, en consecuencia, el número de simples $\mathbb {C} [G]$ –módulos) es igual al número de clases de conjugación de $G.$

Una representación se denomina semisimple o completamente reducible si puede escribirse como una suma directa de representaciones irreducibles. Esto es análogo a la definición correspondiente para un álgebra semisimple.

Para la definición de suma directa de representaciones, consulte la sección sobre sumas directas de representaciones .

Una representación se denomina isotípica si es una suma directa de representaciones irreducibles isomorfas por pares.

Dejar $(\rho ,V_{\rho })$ ser una representación dada de un grupo $G.$ Dejar $\tau$ ser una representación irreducible de $G.$ El $\tau$ – isotipo $V_{\rho }(\tau )$ de $G$ se define como la suma de todas las subrepresentaciones irreducibles de $V$ isomorfo a $\tau .$

Cada espacio vectorial sobre $\mathbb {C}$ puede proporcionarse con un producto interior . Una representación $\rho$ de un grupo $G$ en un espacio vectorial dotado de un producto interno se denomina unitario si $\rho (s)$ es unitario para cada $s\in G.$ Esto significa que en particular cada $\rho (s)$ es diagonalizable . Para más detalles, consulte el artículo sobre representaciones unitarias .

Una representación es unitaria con respecto a un producto interno dado si y solo si el producto interno es invariante con respecto a la operación inducida de $G,$ es decir, si y solo si $(v|u)=(\rho (s)v|\rho (s)u)$ se aplica a todos $v,u\in V_{\rho },s\in G.$

Un producto interno dado $(\cdot |\cdot )$ puede ser reemplazado por un producto interno invariante mediante intercambio $(v|u)$ con

\sum _{t\in G}(\rho (t)v|\rho (t)u).

Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que cualquier representación posterior considerada es unitaria.

Ejemplo. Dejemos $G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}$ sea el grupo diedral de orden $6$ generado por $\mu ,\nu$ que cumplen las propiedades ${\text{ord}}(\nu )=2,{\text{ord}}(\mu )=3$ y $\nu \mu \nu =\mu ^{2}.$ Dejar $\rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ ser una representación lineal de $D_{6}$ definido en los generadores por:

\rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).

Esta representación es fiel. El subespacio $\mathbb {C} e_{2}$ es un $D_{6}$ –subespacio invariante. Por lo tanto, existe una subrepresentación no trivial. $\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }$ con $\nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.$ Por lo tanto, la representación no es irreducible. La subrepresentación mencionada es de grado uno e irreducible. El subespacio complementario de $\mathbb {C} e_{2}$ es $D_{6}$ –invariante también. Por lo tanto, obtenemos la subrepresentación $\rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}$ con

\nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.

Esta subrepresentación también es irreducible. Eso significa que la representación original es completamente reducible:

\rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.

Ambas subrepresentaciones son isotípicas y son los dos únicos isotipos distintos de cero de $\rho .$

La representación $\rho$ es unitario con respecto al producto interno estándar en $\mathbb {C} ^{3},$ porque $\rho (\mu )$ y $\rho (\nu )$ son unitarios.

Dejar $T:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ Sea cualquier isomorfismo de espacio vectorial. Entonces $\eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),$ que se define mediante la ecuación $\eta (s):=T\circ \rho (s)\circ T^{-1}$ a pesar de $s\in D_{6},$ es una representación isomorfa a $\rho .$

Al restringir el dominio de la representación a un subgrupo, por ejemplo $H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},$ obtenemos la representación ${\text{Res}}_{H}(\rho ).$ Esta representación está definida por la imagen $\rho (\mu ),$ cuya forma explícita se muestra arriba.

Construcciones

La doble representación

Dejar $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ ser una representación dada. La representación dual o representación contragrediente $\rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})$ es una representación de $G$ en el espacio vectorial dual de $V.$ Se define por la propiedad

\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*}(s)\alpha \right)(v)=\alpha \left(\rho \left(s^{-1}\right)v\right).

Con respecto al emparejamiento natural ${\displaystyle \langle \alpha ,v\rangle$ entre $V^{*}$ y $V$ La definición anterior proporciona la ecuación:

\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*}(s)(\alpha ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \alpha ,v\rangle .

Para ver un ejemplo, consulte la página principal sobre este tema: Representación dual .

Suma directa de representaciones

Dejar $(\rho _{1},V_{1})$ y $(\rho _{2},V_{2})$ ser una representación de $G_{1}$ y $G_{2},$ respectivamente. La suma directa de estas representaciones es una representación lineal y se define como

\forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2},v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}\end{cases}}

Dejar $\rho _{1},\rho _{2}$ ser representaciones del mismo grupo $G.$ Para simplificar, la suma directa de estas representaciones se define como una representación de $G,$ es decir, se da como $\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),$ al ver $G$ como el subgrupo diagonal de $G\times G.$

Ejemplo. Dejemos (aquí) $i$ y $\omega$ son la unidad imaginaria y la raíz cúbica primitiva de la unidad, respectivamente):

{\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}

Entonces

{\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}\left(\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}\right)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}

Como basta con considerar la imagen del elemento generador, encontramos que

(\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}

Producto tensorial de representaciones

Dejar $\rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(V_{2})$ sean representaciones lineales. Definimos la representación lineal. $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ en el producto tensorial de $V_{1}$ y $V_{2}$ por $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),$ en el cual $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.$ Esta representación se denomina producto tensorial externo de las representaciones. $\rho _{1}$ y $\rho _{2}.$ La existencia y unicidad es consecuencia de las propiedades del producto tensorial .

Ejemplo. Volvemos a examinar el ejemplo proporcionado para la suma directa :

{\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}

El producto tensorial exterior

{\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}

Utilizando la base estándar de $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$ Tenemos lo siguiente para el elemento generador:

\rho _{1}\otimes \rho _{2}(1,1)=\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}0&0&0&-i&0&-i\omega \\0&0&0&0&-i\omega &0\\0&0&0&0&0&-i\omega ^{2}\\i&0&i\omega &0&0&0\\0&i\omega &0&0&0&0\\0&0&i\omega ^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}

Nota: Tenga en cuenta que la suma directa y los productos tensoriales tienen grados diferentes y, por lo tanto, son representaciones diferentes.

Dejar $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ Sean dos representaciones lineales del mismo grupo. $s$ ser un elemento de $G.$ Entonces $\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ se define por $\rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},$ para $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},$ y escribimos $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ Luego el mapa $s\mapsto \rho (s)$ define una representación lineal de $G,$ que también se denomina producto tensorial de las representaciones dadas.

Estos dos casos deben distinguirse estrictamente. El primer caso es una representación del producto de grupo en el producto tensorial de los espacios de representación correspondientes. El segundo caso es una representación del grupo $G$ en el producto tensorial de dos espacios de representación de este grupo. Pero este último caso puede verse como un caso especial del primero centrándonos en el subgrupo diagonal. $G\times G.$ Esta definición puede repetirse un número finito de veces.

Dejar $V$ y $W$ ser representaciones del grupo $G.$ Entonces ${\text{Hom}}(V,W)$ es una representación en virtud de la siguiente identidad: ${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W$ . Dejar $B\in {\text{Hom}}(V,W)$ y dejar $\rho$ ser la representación en ${\text{Hom}}(V,W).$ Dejar $\rho _{V}$ ser la representación en $V$ y $\rho _{W}$ la representación en $W.$ Entonces, la identidad anterior conduce al siguiente resultado:

\rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s^{-1})v

a pesar de

s\in G,v\in V.

Teorema. Las representaciones irreducibles de

G_{1}\times G_{2}

salvo isomorfismo, son exactamente las representaciones

\rho _{1}\otimes \rho _{2}

en el cual

\rho _{1}

y

\rho _{2}

son representaciones irreducibles de

G_{1}

y

G_{2},

respectivamente.

Cuadrado simétrico y alterno

Dejar $\rho :G\to V\otimes V$ ser una representación lineal de $G.$ Dejar $(e_{k})$ ser una base de $V.$ Definir $\vartheta :V\otimes V\to V\otimes V$ extendiendo $\vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}$ linealmente. Entonces sostiene que $\vartheta ^{2}=1$ y por lo tanto $V\otimes V$ se divide en $V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$ en el cual

{\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=z\}

{\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.

Estos subespacios son $G$ –invariante y por esto se definen subrepresentaciones que se denominan cuadrado simétrico y cuadrado alternado , respectivamente. Estas subrepresentaciones también se definen en $V^{\otimes m},$ aunque en este caso se denominan producto cuña $\bigwedge ^{m}V$ y producto simétrico ${\text{Sym}}^{m}(V).$ En caso de eso $m>2,$ el espacio vectorial $V^{\otimes m}$ En general, no es igual a la suma directa de estos dos productos.

Descomposiciones

Para comprender mejor las representaciones, sería conveniente descomponer el espacio de representaciones en la suma directa de subrepresentaciones más simples. Esto se puede lograr para grupos finitos, como veremos en los siguientes resultados. Explicaciones y demostraciones más detalladas se pueden encontrar en ^{[ 4 ]} y ^{[ 5 ]} .

Teorema. ( Maschke ) Sea

\rho :G\to {\text{GL}}(V)

sea una representación lineal donde

V

es un espacio vectorial sobre un cuerpo de característica cero.

W

ser un

G

-subespacio invariante de

V.

Luego el complemento

W^{0}

de

W

existe en

V

y es

G

-invariante.

Una subrepresentación y su complemento determinan una representación de forma única.

El siguiente teorema se presentará de forma más general, ya que proporciona un resultado muy bello sobre las representaciones de grupos compactos y, por lo tanto, también de grupos finitos:

Teorema. Toda representación lineal de un grupo compacto sobre un cuerpo de característica cero es una suma directa de representaciones irreducibles.

O en el idioma de $K[G]$ -módulos: Si ${\text{char}}(K)=0,$ el álgebra de grupo $K[G]$ es semisimple, es decir, es la suma directa de álgebras simples.

Cabe señalar que esta descomposición no es única. Sin embargo, la cantidad de veces que aparece una subrepresentación isomorfa a una representación irreducible dada en esta descomposición es independiente de la descomposición elegida.

La descomposición canónica

Para lograr una descomposición única, es necesario combinar todas las subrepresentaciones irreducibles que sean isomorfas entre sí. Esto significa que el espacio de representación se descompone en una suma directa de sus isotipos. Esta descomposición está determinada de forma única y se denomina descomposición canónica .

Dejar $(\tau _{j})_{j\in I}$ sea el conjunto de todas las representaciones irreducibles de un grupo $G$ salvo isomorfismo. Sea $V$ ser una representación de $G$ y dejar $\{V(\tau _{j})|j\in I\}$ sea el conjunto de todos los isotipos de $V.$ La proyección $p_{j}:V\to V(\tau _{j})$ La descomposición canónica correspondiente viene dada por

p_{j}={\frac {n_{j}}{g}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{j}}(t)}}\rho (t),

dónde $n_{j}=\dim(\tau _{j}),$ $g={\text{ord}}(G)$ y $\chi _{\tau _{j}}$ es el personaje perteneciente a $\tau _{j}.$

A continuación, mostramos cómo determinar el isotipo de la representación trivial:

Definición (Fórmula de proyección). Para cada representación $(\rho ,V)$ de un grupo $G$ definimos

V^{G}:=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\forall \,s\in G\}.

En general, $\rho (s):V\to V$ no lo es $G$ -lineal. Definimos

P:={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\rho (s)\in {\text{End}}(V).

Entonces $P$ es un $G$ -mapa lineal, porque

\forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho (s)=\sum _{s\in G}\rho (tst^{-1}).

Proposición. El mapa

P

es una proyección de

V

a

V^{G}.

Esta proposición nos permite determinar explícitamente el isotipo de la subrepresentación trivial de una representación dada.

Con qué frecuencia aparece la representación trivial en $V$ es dado por ${\text{Tr}}(P).$ Este resultado es consecuencia del hecho de que los valores propios de una proyección son solo $0$ o $1$ y que el espacio propio correspondiente al valor propio $1$ es la imagen de la proyección. Dado que la traza de la proyección es la suma de todos los autovalores, obtenemos el siguiente resultado.

\dim(V(1))=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\chi _{V}(s),

en el cual $V(1)$ denota el isotipo de la representación trivial.

Dejar $V_{\pi }$ ser una representación irreducible no trivial de $G.$ Luego el isotipo a la representación trivial de $\pi$ es el espacio nulo. Eso significa que se cumple la siguiente ecuación.

P={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\pi (s)=0.

Dejar $e_{1},...,e_{n}$ ser una base ortonormal de $V_{\pi }.$ Entonces tenemos:

\sum _{s\in G}{\text{Tr}}(\pi (s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j},e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}\left\langle \sum _{s\in G}\pi (s)e_{j},e_{j}\right\rangle =0.

Por lo tanto, lo siguiente es válido para una representación irreducible no trivial. $V$ :

\sum _{s\in G}\chi _{V}(s)=0.

Ejemplo. Dejemos $G={\text{Per}}(3)$ Sean los grupos de permutaciones en tres elementos. ${\displaystyle \rho$ sea una representación lineal de ${\text{Per}}(3)$ definidos en los elementos generadores de la siguiente manera:

\rho (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \rho (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Esta representación puede descomponerse a primera vista en la representación regular izquierda de ${\text{Per}}(3),$ que se denota por $\pi$ en lo siguiente, y la representación ${\displaystyle \eta$ con

\eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.

Con la ayuda del criterio de irreductibilidad tomado del siguiente capítulo, pudimos darnos cuenta de que $\eta$ es irreductible pero $\pi$ No lo es. Esto se debe a que (en términos del producto interno de "Producto interno y caracteres" a continuación) tenemos $(\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2.$

El subespacio $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ de $\mathbb {C} ^{3}$ es invariante con respecto a la representación regular izquierda. Restringidos a este subespacio obtenemos la representación trivial.

El complemento ortogonal de $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ es $\mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).$ Restringido a este subespacio, que también es $G$ –invariante como hemos visto anteriormente, obtenemos la representación $\tau$ dado por

\tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.

Nuevamente, podemos usar el criterio de irreducibilidad del próximo capítulo para demostrar que $\tau$ es irreductible. Ahora, $\eta$ y $\tau$ son isomorfos porque $\eta (s)=B\circ \tau (s)\circ B^{-1}$ a pesar de $s\in {\text{Per}}(3),$ en el cual $B:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ viene dada por la matriz

M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.

Una descomposición de $(\rho ,\mathbb {C} ^{5})$ en subrepresentaciones irreducibles es: $\rho =\tau \oplus \eta \oplus 1$ dónde $1$ denota la representación trivial y

\mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})

es la descomposición correspondiente del espacio de representación.

Obtenemos la descomposición canónica combinando todas las subrepresentaciones irreducibles isomorfas: $\rho _{1}:=\eta \oplus \tau$ es el $\tau$ -isotipo de $\rho$ y, en consecuencia, la descomposición canónica viene dada por

\rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).

Los teoremas anteriores no son válidos en general para grupos infinitos. Esto se demostrará con el siguiente ejemplo: sea

G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ is an upper triangular matrix}}\}.

Junto con la multiplicación de matrices $G$ es un grupo infinito. $G$ actúa en $\mathbb {C} ^{2}$ mediante la multiplicación matriz-vector. Consideramos la representación $\rho (A)=A$ a pesar de $A\in G.$ El subespacio $\mathbb {C} e_{1}$ es un $G$ subespacio invariante. Sin embargo, no existe $G$ Complemento invariante a este subespacio. La suposición de que tal complemento existe implicaría que toda matriz es diagonalizable sobre $\mathbb {C} .$ Se sabe que esto es erróneo y, por lo tanto, produce una contradicción.

La moraleja de la historia es que, si consideramos grupos infinitos, es posible que una representación, incluso una que no sea irreducible, no pueda descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles.

Teoría de los personajes

Definiciones

El carácter de una representación $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ se define como el mapa

\chi _{\rho }:G\to \mathbb {C} ,\chi _{\rho }(s):={\text{Tr}}(\rho (s)),

en el cual

{\text{Tr}}(\rho (s))

denota la traza del mapa lineal

\rho (s).

^{[ 6 ]}

Aunque el carácter es una correspondencia entre dos grupos, en general no es un homomorfismo de grupos , como muestra el siguiente ejemplo.

Dejar ${\displaystyle \rho$ sea la representación definida por:

\rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

El personaje $\chi _{\rho }$ es dado por

\chi _{\rho }(0,0)=2,\quad \chi _{\rho }(1,0)=-2,\quad \chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0.

Los caracteres de las representaciones de permutación son particularmente fáciles de calcular. Si V es la G -representación correspondiente a la acción izquierda de $G$ en un conjunto finito $X$ , entonces

\chi _{V}(s)=|\{x\in X|s\cdot x=x\}|.

Por ejemplo, ^{[ 7 ]} el carácter de la representación regular $R$ es dado por

\chi _{R}(s)={\begin{cases}0&s\neq e\\|G|&s=e\end{cases}},

dónde $e$ denota el elemento neutro de $G.$

Propiedades

Una propiedad crucial de los caracteres es la fórmula

\chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.

Esta fórmula se deduce del hecho de que la traza de un producto AB de dos matrices cuadradas es la misma que la traza de BA . Funciones $G\to \mathbb {C}$ Las funciones que satisfacen dicha fórmula se denominan funciones de clase . Dicho de otro modo, las funciones de clase y, en particular, los caracteres, son constantes en cada clase de conjugación. $C_{s}=\{tst^{-1}|t\in G\}.$ También se deduce de las propiedades elementales de la traza que $\chi (s)$ es la suma de los valores propios de $\rho (s)$ con multiplicidad. Si el grado de la representación es n , entonces la suma tiene longitud n . Si s tiene orden m , estos autovalores son todos raíces m - ésimas de la unidad . Este hecho puede usarse para demostrar que $\chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G$ y también implica $|\chi (s)|\leqslant n.$

Dado que la traza de la matriz identidad es el número de filas, $\chi (e)=n,$ dónde $e$ es el elemento neutral de $G$ y n es la dimensión de la representación. En general, $\{s\in G|\chi (s)=n\}$ es un subgrupo normal en $G.$ La siguiente tabla muestra cómo los caracteres $\chi _{1},\chi _{2}$ de dos representaciones dadas $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ dan lugar a personajes de representaciones relacionadas.

Por construcción, existe una descomposición en suma directa de $V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V$ . En los caracteres, esto corresponde al hecho de que la suma de las dos últimas expresiones en la tabla es $\chi (s)^{2}$ , el carácter de $V\otimes V$ .

Producto interno y personajes

Para mostrar algunos resultados particularmente interesantes sobre los caracteres, resulta útil considerar un tipo de funciones más general sobre grupos:

Definición (Funciones de clase). Una función $\varphi :G\to \mathbb {C}$ se denomina función de clase si es constante en las clases de conjugación de $G$ , es decir

\forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t).

Cabe destacar que cada carácter es una función de clase, ya que la traza de una matriz se conserva bajo conjugación.

El conjunto de todas las funciones de clase es un $\mathbb {C}$ –álgebra y se denota por $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ Su dimensión es igual al número de clases de conjugación de $G.$

Las demostraciones de los siguientes resultados de este capítulo se pueden encontrar en ^{[ 8 ]} , ^{[ 9 ]} y ^{[ 10 ]} .

Se puede definir un producto interno sobre el conjunto de todas las funciones de clase en un grupo finito:

(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}

Propiedad ortonormal. Si $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ son los caracteres distintos e irreductibles de $G$ , forman una base ortonormal para el espacio vectorial de todas las funciones de clase con respecto al producto interno definido anteriormente, es decir

$(\chi _{i}|\chi _{j})={\begin{cases}1{\text{ if }}i=j\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}.$
Cada función de clase $f$ puede expresarse como una combinación lineal única de los caracteres irreducibles $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ .

Se podría verificar que los caracteres irreducibles generan $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ demostrando que no existe ninguna función de clase no nula que sea ortogonal a todos los caracteres irreducibles. $\rho$ una representación y $f$ una función de clase, denote $\rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho (g).$ Entonces para $\rho$ irreductible, tenemos $\rho _{f}={\frac {|G|}{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)$ del lema de Schur . Supongamos $f$ es una función de clase que es ortogonal a todos los caracteres. Entonces, por lo anterior tenemos $\rho _{f}=0$ cuando sea $\rho$ es irreductible. Pero entonces se deduce que $\rho _{f}=0$ a pesar de $\rho$ , por descomponibilidad. Tomar $\rho$ ser la representación regular. Aplicar $\rho _{f}$ a algún elemento base particular $g$ , obtenemos $f(g)=0$ . Dado que esto es cierto para todos $g$ , tenemos $f=0.$

De la propiedad ortonormal se deduce que el número de representaciones irreducibles no isomorfas de un grupo $G$ es igual al número de clases de conjugación de $G.$

Además, una función de clase en $G$ es un personaje de $G$ si y solo si se puede escribir como una combinación lineal de los caracteres irreducibles distintos $\chi _{j}$ con coeficientes enteros no negativos: si $\varphi$ es una función de clase en $G$ de tal manera que $\varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}$ dónde $c_{j}$ enteros no negativos, entonces $\varphi$ es el carácter de la suma directa $c_{1}\tau _{1}\oplus \cdots \oplus c_{k}\tau _{k}$ de las representaciones $\tau _{j}$ correspondiente a $\chi _{j}.$ Por el contrario, siempre es posible escribir cualquier carácter como una suma de caracteres irreducibles.

El producto interno definido anteriormente se puede extender al conjunto de todos $\mathbb {C}$ funciones con valor $L^{1}(G)$ en un grupo finito:

(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}

También se puede definir una forma bilineal simétrica en $L^{1}(G):$

\langle f,h\rangle _{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1})

Estas dos formas coinciden en el conjunto de caracteres. Si no hay peligro de confusión, el índice de ambas formas $(\cdot |\cdot )_{G}$ y $\langle \cdot |\cdot \rangle _{G}$ será omitido.

Dejar $V_{1},V_{2}$ ser dos $\mathbb {C} [G]$ –módulos. Tenga en cuenta que $\mathbb {C} [G]$ –los módulos son simplemente representaciones de $G$ . Dado que la propiedad ortonormal produce el número de representaciones irreducibles de $G$ es exactamente el número de sus clases de conjugación, entonces hay exactamente la misma cantidad de simples $\mathbb {C} [G]$ –módulos (salvo isomorfismo) ya que existen clases de conjugación de $G.$

Nosotros definimos $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:=\dim({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})),$ en el cual ${\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})$ es el espacio vectorial de todos $G$ –mapas lineales. Esta forma es bilineal con respecto a la suma directa.

A continuación, estas formas bilineales nos permitirán obtener algunos resultados importantes con respecto a la descomposición e irreductibilidad de las representaciones.

Por ejemplo, dejemos $\chi _{1}$ y $\chi _{2}$ ser los personajes de $V_{1}$ y $V_{2},$ respectivamente. Entonces $\langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1}|\chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.$

A partir de los resultados anteriores, es posible derivar el siguiente teorema, junto con el lema de Schur y la reducibilidad completa de las representaciones.

Teorema. Sea

V

ser una representación lineal de

G

con carácter

\xi .

Dejar

V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},

dónde

W_{j}

son irreducibles. Sea

(\tau ,W)

ser una representación irreducible de

G

con carácter

\chi .

Entonces el número de subrepresentaciones

W_{j}

que son isomorfos a

W

es independiente de la descomposición dada y es igual al producto interno

(\xi |\chi ),

es decir el

\tau

–isotipo

V(\tau )

de

V

es independiente de la elección de la descomposición. También obtenemos:

(\xi |\chi )={\frac {\dim(V(\tau ))}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle

y por lo tanto

\dim(V(\tau ))=\dim(\tau )(\xi |\chi ).

Corolario. Dos representaciones con el mismo carácter son isomorfas. Esto significa que toda representación está determinada por su carácter.

Con esto obtenemos un resultado muy útil para analizar representaciones:

Criterio de irreductibilidad. Sea $\chi$ ser el carácter de la representación $V,$ entonces tenemos $(\chi |\chi )\in \mathbb {N} _{0}.$ El caso $(\chi |\chi )=1$ se cumple si y solo si $V$ es irreductible.

Por lo tanto, utilizando el primer teorema, los caracteres de las representaciones irreducibles de $G$ formen un conjunto ortonormal en $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ con respecto a este producto interno.

Corolario. Dejemos

V

sea un espacio vectorial con

\dim(V)=n.

Una representación irreducible dada

V

de

G

está contenido

n

–veces en la representación regular . En otras palabras, si

R

denota la representación regular de

G

Entonces tenemos:

R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},

en el cual

\{W_{j}|j\in I\}

es el conjunto de todas las representaciones irreducibles de

G

que no son isomorfos entre sí por pares.

En términos del álgebra de grupos, esto significa que $\mathbb {C} [G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})$ como álgebras.

Como resultado numérico obtenemos:

|G|=\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}}|\chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}}|\chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},

en el cual $R$ es la representación regular y $\chi _{W_{j}}$ y $\chi _{R}$ son caracteres correspondientes a $W_{j}$ y $R,$ respectivamente. Recordemos que $e$ denota el elemento neutral del grupo.

Esta fórmula constituye una condición necesaria y suficiente para el problema de clasificar las representaciones irreducibles de un grupo salvo isomorfismo. Nos proporciona los medios para comprobar si hemos encontrado todas las clases de isomorfismo de las representaciones irreducibles de un grupo.

De manera similar, utilizando el carácter de la representación regular evaluada en $s\neq e,$ obtenemos la ecuación:

0=\chi _{R}(s)=\sum _{j}\dim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}(s).

Utilizando la descripción de representaciones a través del álgebra de convolución, obtenemos una formulación equivalente de estas ecuaciones:

La fórmula de inversión de Fourier :

f(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irr. rep. of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (s^{-1})\cdot {\hat {f}}(\rho )).

Además, se cumple la fórmula de Plancherel :

\sum _{s\in G}f(s^{-1})h(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho \,\,{\text{ irred.}}{\text{ rep.}}{\text{ of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {f}}(\rho ){\hat {h}}(\rho )).

En ambas fórmulas $(\rho ,V_{\rho })$ es una representación lineal de un grupo $G,s\in G$ y $f,h\in L^{1}(G).$

El corolario anterior tiene una consecuencia adicional:

Lema. Dejemos

G

ser un grupo. Entonces lo siguiente es equivalente:

$G$ es abeliano .
Cada función en $G$ es una función de clase.
Todas las representaciones irreducibles de $G$ tener título $1.$

La representación inducida

Como se demostró en la sección sobre propiedades de las representaciones lineales , podemos —por restricción— obtener la representación de un subgrupo a partir de la representación de un grupo. Naturalmente, nos interesa el proceso inverso: ¿Es posible obtener la representación de un grupo a partir de la representación de un subgrupo? Veremos que la representación inducida que se define a continuación nos proporciona el concepto necesario. Cabe mencionar que esta construcción no es inversa, sino adjunta a la restricción.

Definiciones

Dejar $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ ser una representación lineal de $G.$ Dejar $H$ ser un subgrupo y $\rho |_{H}$ la restricción. Deje $W$ ser una subrepresentación de $\rho _{H}.$ Escribimos $\theta :H\to {\text{GL}}(W)$ para denotar esta representación. Sea $s\in G.$ El espacio vectorial $\rho (s)(W)$ depende únicamente de la clase lateral izquierda $sH$ de $s.$ Dejar $R$ ser un sistema representativo de $G/H,$ entonces

\sum _{r\in R}\rho (r)(W)

es una subrepresentación de $V_{\rho }.$

Una representación $\rho$ de $G$ en $V_{\rho }$ se denomina inducido por la representación $\theta$ de $H$ en $W,$ si

V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.

Aquí $W_{r}=\rho (s)(W)$ a pesar de $s\in rH$ y para todos $r\in R.$ En otras palabras: la representación $(\rho ,V_{\rho })$ es inducido por $(\theta ,W),$ si cada $v\in V_{\rho }$ puede escribirse de forma única como

\sum _{r\in R}w_{r},

dónde $w_{r}\in W_{r}$ por cada $r\in R.$

Denotamos la representación $\rho$ de $G$ que es inducido por la representación $\theta$ de $H$ como $\rho ={\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta ),$ o en resumen $\rho ={\text{Ind}}(\theta ),$ si no hay peligro de confusión. El espacio de representación en sí mismo se usa frecuentemente en lugar del mapa de representación, es decir $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W),$ o $V={\text{Ind}}(W),$ si la representación $V$ es inducido por $W.$

Descripción alternativa de la representación inducida

Mediante el uso del álgebra de grupos obtenemos una descripción alternativa de la representación inducida:

Dejar $G$ ser un grupo, $V$ a $\mathbb {C} [G]$ –módulo y $W$ a $\mathbb {C} [H]$ –submódulo de $V$ correspondiente al subgrupo $H$ de $G.$ Decimos que $V$ es inducido por $W$ si $V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,$ en el cual $G$ actúa sobre el primer factor: $s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w$ a pesar de $s,t\in G,w\in W.$

Propiedades

Los resultados introducidos en esta sección se presentarán sin demostración. Estos se pueden encontrar en ^{[ 11 ]} y ^{[ 12 ]} .

Unicidad y existencia de la representación inducida.

(\theta ,W_{\theta })

ser una representación lineal de un subgrupo

H

de

G.

Entonces existe una representación lineal

(\rho ,V_{\rho })

de

G,

que es inducido por

(\theta ,W_{\theta }).

Cabe señalar que esta representación es única salvo isomorfismo.

Transitividad de la inducción. Sea

W

ser una representación de

H

y dejar

H\leq G\leq K

ser una serie ascendente de grupos. Entonces tenemos

{\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).

Lema. Dejemos

(\rho ,V_{\rho })

ser inducido por

(\theta ,W_{\theta })

y dejar

\rho ':G\to {\text{GL}}(V')

ser una representación lineal de

G.

Ahora dejemos

F:W_{\theta }\to V'

sea una aplicación lineal que satisfaga la propiedad de que

F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F

a pesar de

t\in G.

Entonces existe un mapa lineal determinado de forma única.

F':V_{\rho }\to V',

que se extiende

F

y para qué

F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'

es válido para todos

s\in G.

Esto significa que si interpretamos $V'$ como un $\mathbb {C} [G]$ –módulo, tenemos ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),$ dónde ${\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')$ es el espacio vectorial de todos $\mathbb {C} [G]$ –homomorfismos de $V_{\rho }$ a $V'.$ Lo mismo es válido para ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').$

Inducción sobre funciones de clase. De la misma manera que se hizo con las representaciones, podemos —por inducción— obtener una función de clase en el grupo a partir de una función de clase en un subgrupo. Sea $\varphi$ ser una función de clase en $H.$ Definimos una función $\varphi '$ en $G$ por

\varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).

Decimos $\varphi '$ es inducido por $\varphi$ y escribir ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '$ o ${\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.$

Proposición. La función

{\text{Ind}}(\varphi )

es una función de clase en

G.

Si

\varphi

es el carácter de una representación

W

de

H,

entonces

{\text{Ind}}(\varphi )

es el carácter de la representación inducida

{\text{Ind}}(W)

de

G.

Lema. Si

\psi

es una función de clase en

H

y

\varphi

es una función de clase en

G,

Entonces tenemos:

{\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .

Teorema. Sea

(\rho ,V_{\rho })

ser la representación de

G

inducido por la representación

(\theta ,W_{\theta })

del subgrupo

H.

Dejar

\chi _{\rho }

y

\chi _{\theta }

sean los caracteres correspondientes.

R

ser un sistema representativo de

G/H.

El carácter inducido viene dado por

\forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).

Reciprocidad de Frobenius

Como resumen preventivo, la lección que se puede extraer de la reciprocidad de Frobenius es que los mapas ${\text{Res}}$ y ${\text{Ind}}$ son contiguos entre sí.

Dejar $W$ ser una representación irreducible de $H$ y dejar $V$ ser una representación irreducible de $G,$ Entonces, la reciprocidad de Frobenius nos dice que $W$ está contenido en ${\text{Res}}(V)$ tan a menudo como ${\text{Ind}}(W)$ está contenido en $V.$

Reciprocidad de Frobenius. Si

\psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)

y

\varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)

tenemos

\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}.

Esta afirmación también es válida para el producto interno .

Criterio de irreductibilidad de Mackey

George Mackey estableció un criterio para verificar la irreductibilidad de las representaciones inducidas. Para ello, primero necesitaremos algunas definiciones y especificaciones con respecto a la notación.

Dos representaciones $V_{1}$ y $V_{2}$ de un grupo $G$ se denominan disjuntos , si no tienen ningún componente irreducible en común, es decir, si $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.$

Dejar $G$ ser un grupo y dejar $H$ ser un subgrupo. Definimos $H_{s}=sHs^{-1}\cap H$ para $s\in G.$ Dejar $(\rho ,W)$ ser una representación del subgrupo $H.$ Esto define por restricción una representación ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )$ de $H_{s}.$ Escribimos ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ para ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).$ También definimos otra representación $\rho ^{s}$ de $H_{s}$ por $\rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).$ Estas dos representaciones no deben confundirse.

Criterio de irreducibilidad de Mackey. La representación inducida .

V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)

es irreducible si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

$W$ es irreductible
Para cada $s\in G\setminus H$ las dos representaciones $\rho ^{s}$ y ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ de $H_{s}$ son disjuntos. Una demostración de este teorema se puede encontrar en ^{[ 13 ]} .

En el caso de $H$ normal, tenemos $H_{s}=H$ y ${\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho$ . De este modo obtenemos lo siguiente:

Corolario. Dejemos

H

ser un subgrupo normal de

G.

Entonces

{\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )

es irreducible si y solo si

\rho

es irreducible y no isomorfo a los conjugados

\rho ^{s}

para

s\notin H.

Solicitudes para grupos especiales

En esta sección presentamos algunas aplicaciones de la teoría presentada hasta ahora a subgrupos normales y a un grupo especial, el producto semidirecto de un subgrupo con un subgrupo normal abeliano.

Proposición. Sea

A

ser un subgrupo normal del grupo

G

y dejar

\rho :G\to {\text{GL}}(V)

ser una representación irreducible de

G.

Entonces, una de las siguientes afirmaciones debe ser válida:

o bien existe un subgrupo adecuado $H$ de $G$ que contiene $A$ y una representación irreducible $\eta$ de $H$ lo cual induce $\rho$ ,
o $V$ es un isotípico $\mathbb {C} A$ -módulo.

Prueba. Consideremos

V

como un

\mathbb {C} A

-módulo, y descomponerlo en isotipos como

V=\bigoplus _{j}{V_{j}}

. Si esta descomposición es trivial, estamos en el segundo caso. De lo contrario, el mayor

G

-la acción permuta estos módulos isotípicos; porque

V

es irreductible como un

\mathbb {C} G

-módulo, la acción de permutación es transitiva (de hecho primitiva ). Corrija cualquier

j

; el estabilizador en

G

de

V_{j}

Se observa elementalmente que exhibe las propiedades reivindicadas.

\Box

Tenga en cuenta que si $A$ es abeliano, entonces los módulos isotípicos de $A$ son irreducibles, de grado uno, y todas las homotecias.

También obtenemos lo siguiente

Corolario. Dejemos

A

ser un subgrupo normal abeliano de

G

y dejar

\tau

sea cualquier representación irreducible de

G.

Denotamos con

(G:A)

el índice de

A

en

G.

Entonces

\deg(\tau )|(G:A).

^{[ 14 ]}

Si $A$ es un subgrupo abeliano de $G$ (no necesariamente normal), generalmente $\deg(\tau )|(G:A)$ no está satisfecho, pero aun así $\deg(\tau )\leq (G:A)$ sigue siendo válido.

Clasificación de las representaciones de un producto semidirecto

A continuación, dejemos $G=A\rtimes H$ sea un producto semidirecto tal que el factor semidirecto normal, $A$ , es abeliano. Las representaciones irreducibles de tal grupo $G,$ pueden clasificarse mostrando que todas las representaciones irreducibles de $G$ se puede construir a partir de ciertos subgrupos de $H$ Este es el llamado método de los “pequeños grupos” de Wigner y Mackey.

Desde $A$ es abeliano , los caracteres irreductibles de $A$ tienen un grado y forman el grupo $\mathrm {X} ={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).$ El grupo $G$ actúa en $\mathrm {X}$ por $(s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)$ para $s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.$

Dejar $(\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}$ ser un sistema representativo de la órbita de $H$ en $\mathrm {X} .$ Por cada $j\in \mathrm {X} /H$ dejar $H_{j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.$ Este es un subgrupo de $H.$ Dejar $G_{j}=A\cdot H_{j}$ ser el subgrupo correspondiente de $G.$ Ahora extendemos la función $\chi _{j}$ sobre $G_{j}$ por $\chi _{j}(at)=\chi _{j}(a)$ para $a\in A,t\in H_{j}.$ De este modo, $\chi _{j}$ es una función de clase en $G_{j}.$ Además, dado que $t\chi _{j}=\chi _{j}$ a pesar de $t\in H_{j},$ Se puede demostrar que $\chi _{j}$ es un homomorfismo de grupo de $G_{j}$ a $\mathbb {C} ^{\times }.$ Por lo tanto, tenemos una representación de $G_{j}$ de grado uno que es igual a su propio carácter.

Dejemos que ahora $\rho$ ser una representación irreducible de $H_{j}.$ Entonces obtenemos una representación irreducible ${\tilde {\rho }}$ de $G_{j},$ mediante la combinación $\rho$ con la proyección canónica $G_{j}\to H_{j}.$ Finalmente, construimos el producto tensorial de $\chi _{j}$ y ${\tilde {\rho }}.$ De este modo, obtenemos una representación irreducible. $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}$ de $G_{j}.$

Para finalmente obtener la clasificación de las representaciones irreducibles de $G$ utilizamos la representación $\theta _{j,\rho }$ de $G,$ que es inducido por el producto tensorial $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.$ De este modo, obtenemos el siguiente resultado:

Proposición.

$\theta _{j,\rho }$ es irreductible.
Si $\theta _{j,\rho }$ y $\theta _{j',\rho '}$ son isomorfos, entonces $j=j'$ y además $\rho$ es isomorfo a $\rho '.$
Toda representación irreductible de $G$ es isomorfo a uno de los $\theta _{j,\rho }.$

Entre otros, se necesitan el criterio de Mackey y una conclusión basada en la reciprocidad de Frobenius para la demostración de la proposición. Se pueden encontrar más detalles en ^{[ 15 ]} .

En otras palabras, clasificamos todas las representaciones irreducibles de $G=A\rtimes H.$

Anillo de representación

El anillo de representación de $G$ se define como el grupo abeliano

R(G)=\left\{\left.\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}\right|\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}{\text{ all irreducible representations of }}G{\text{ up to isomorphism}},a_{j}\in \mathbb {Z} \right\}.

Con la multiplicación proporcionada por el producto tensorial , $R(G)$ se convierte en un anillo. Los elementos de $R(G)$ se denominan representaciones virtuales .

El carácter define un homomorfismo de anillo en el conjunto de todas las funciones de clase en $G$ con valores complejos

{\begin{cases}\chi :R(G)\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\end{cases}}

en el cual el $\chi _{j}$ son los caracteres irreducibles correspondientes a la $\tau _{j}.$

Porque una representación está determinada por su carácter, $\chi$ es inyectivo . Las imágenes de $\chi$ se denominan personajes virtuales .

Como los caracteres irreducibles forman una base ortonormal de $\mathbb {C} _{\text{class}},\chi$ induce un isomorfismo

\chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \to \mathbb {C} _{\text{class}}(G).

Este isomorfismo se define sobre una base de tensores elementales. $(\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}$ por $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}$ respectivamente $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},$ y se extendió bilinealmente .

Escribimos ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ para el conjunto de todos los caracteres de $G$ y ${\mathcal {R}}(G)$ para denotar el grupo generado por ${\mathcal {R}}^{+}(G),$ es decir, el conjunto de todas las diferencias de dos caracteres. Entonces se cumple que ${\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}$ y ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).$ Por lo tanto, tenemos $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G)$ y los personajes virtuales se corresponden con las representaciones virtuales de manera óptima.

Desde ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )$ sostiene, ${\mathcal {R}}(G)$ es el conjunto de todos los caracteres virtuales. Como el producto de dos caracteres proporciona otro carácter, ${\mathcal {R}}(G)$ es un subanillo del anillo $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ de todas las funciones de clase en $G.$ Porque el $\chi _{i}$ formar una base de $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ obtenemos, al igual que en el caso de $R(G),$ un isomorfismo $\mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

Dejar $H$ ser un subgrupo de $G.$ La restricción define así un homomorfismo de anillos. ${\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi |_{H},$ que se denotará por ${\text{Res}}_{H}^{G}$ o ${\text{Res}}.$ Asimismo, la inducción sobre funciones de clase define un homomorfismo de grupos abelianos. ${\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),$ que se escribirá como ${\text{Ind}}_{H}^{G}$ o en resumen ${\text{Ind}}.$

Según la reciprocidad de Frobenius , estos dos homomorfismos son adjuntos con respecto a las formas bilineales. $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}$ y $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.$ Además, la fórmula ${\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi$ muestra que la imagen de ${\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ es un ideal del anillo ${\mathcal {R}}(G).$

Por la restricción de las representaciones, el mapa ${\text{Res}}$ puede definirse de forma análoga para $R(G),$ y por inducción obtenemos el mapa ${\text{Ind}}$ para $R(G).$ Debido a la reciprocidad de Frobenius, obtenemos el resultado de que estos mapas son adjuntos entre sí y que la imagen ${\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))$ es un ideal del anillo $R(G).$

Si $A$ es un anillo conmutativo, los homomorfismos ${\text{Res}}$ y ${\text{Ind}}$ puede extenderse a $A$ –mapas lineales:

{\begin{cases}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})\right)\end{cases}}

en el cual $\eta _{j}$ son todas las representaciones irreducibles de $H$ hasta el isomorfismo.

Con $A=\mathbb {C}$ obtenemos en particular que ${\text{Ind}}$ y ${\text{Res}}$ homomorfismos de suministro entre $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ y $\mathbb {C} _{\text{class}}(H).$

Dejar $G_{1}$ y $G_{2}$ ser dos grupos con representaciones respectivas $(\rho _{1},V_{1})$ y $(\rho _{2},V_{2}).$ Entonces, $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ es la representación del producto directo $G_{1}\times G_{2}$ como se mostró en una sección anterior . Otro resultado de esa sección fue que todas las representaciones irreducibles de $G_{1}\times G_{2}$ son exactamente las representaciones $\eta _{1}\otimes \eta _{2},$ dónde $\eta _{1}$ y $\eta _{2}$ son representaciones irreducibles de $G_{1}$ y $G_{2},$ respectivamente. Esto pasa al anillo de representación como la identidad $R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),$ en el cual $R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})$ es el producto tensorial de los anillos de representación como $\mathbb {Z}$ –módulos.

Teoremas de inducción

Los teoremas de inducción relacionan el anillo de representación de un grupo finito G dado con los anillos de representación de una familia X que consta de algunos subconjuntos H de G. Más precisamente, para dicha colección de subgrupos, el functor de inducción produce una aplicación

{\displaystyle \varphi

; los teoremas de inducción dan criterios para la sobreyectividad de esta aplicación o de otras estrechamente relacionadas.

El teorema de inducción de Artin es el teorema más elemental de este grupo de resultados. Afirma que las siguientes proposiciones son equivalentes:

El co-núcleo de $\varphi$ es finito.
$G$ es la unión de los conjugados de los subgrupos pertenecientes a $X,$ es decir $G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.$

Desde ${\mathcal {R}}(G)$ Si se genera un grupo finito, el primer punto puede reformularse de la siguiente manera:

Para cada personaje $\chi$ de $G,$ existen personajes virtuales $\chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X$ y un número entero $d\geq 1,$ de tal manera que $d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).$

Serre (1977) da dos demostraciones de este teorema. Por ejemplo, dado que G es la unión de sus subgrupos cíclicos, cada carácter de $G$ es una combinación lineal con coeficientes racionales de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos cíclicos de $G.$ Dado que las representaciones de los grupos cíclicos se comprenden bien, en particular las representaciones irreducibles son unidimensionales, esto proporciona cierto control sobre las representaciones de G.

En las circunstancias anteriores, no es cierto en general que $\varphi$ es sobreyectiva. El teorema de inducción de Brauer afirma que $\varphi$ es sobreyectiva, siempre que X sea la familia de todos los subgrupos elementales . Aquí un grupo H es elemental si existe algún primo p tal que H es el producto directo de un grupo cíclico de orden primo a $p$ y un $p$ –grupo . En otras palabras, cada carácter de $G$ es una combinación lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos elementales. Los subgrupos elementales H que surgen en el teorema de Brauer tienen una teoría de representación más rica que los grupos cíclicos; al menos tienen la propiedad de que cualquier representación irreducible para tales H es inducida por una representación unidimensional de un subgrupo (necesariamente también elemental). $K\subset H$ (Esta última propiedad puede demostrarse que se cumple para cualquier grupo supersoluble , lo que incluye grupos nilpotentes y, en particular, grupos elementales). Esta capacidad de inducir representaciones a partir de representaciones de grado 1 tiene algunas consecuencias adicionales en la teoría de representaciones de grupos finitos.

Representaciones reales

Para demostraciones y más información sobre representaciones sobre subcampos generales de $\mathbb {C}$ Consulte ^{[ 16 ]} .

Si un grupo $G$ actúa sobre un espacio vectorial real $V_{0},$ la representación correspondiente en el espacio vectorial complejo $V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ se llama real ( $V$ se denomina complejización de $V_{0}$ ). La representación correspondiente mencionada anteriormente viene dada por $s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z$ a pesar de $s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .$

Dejar $\rho$ ser una representación real. El mapa lineal $\rho (s)$ es $\mathbb {R}$ -valorado para todos $s\in G.$ Así, podemos concluir que el carácter de una representación real siempre es de valor real. Pero no toda representación con un carácter de valor real es real. Para aclarar esto, consideremos lo siguiente: $G$ ser un subgrupo finito y no abeliano del grupo

{\displaystyle {\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}\

Entonces $G\subset {\text{SU}}(2)$ actúa en $V=\mathbb {C} ^{2}.$ Dado que la traza de cualquier matriz en ${\text{SU}}(2)$ es real, el carácter de la representación es de valor real. Supongamos $\rho$ es una representación real, entonces $\rho (G)$ consistiría únicamente en matrices de valor real. Por lo tanto, $G\subset {\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1}.$ Sin embargo, el grupo del círculo es abeliano pero $G$ fue elegido como un grupo no abeliano. Ahora solo necesitamos demostrar la existencia de un subgrupo finito no abeliano de ${\text{SU}}(2).$ Para encontrar dicho grupo, observe que ${\text{SU}}(2)$ se pueden identificar con las unidades de los cuaterniones . Ahora dejemos... $G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.$ La siguiente representación bidimensional de $G$ no es de valor real, pero tiene un carácter de valor real:

{\begin{cases}\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}

Luego la imagen de $\rho$ no es de valor real, pero no obstante es un subconjunto de ${\text{SU}}(2).$ Por lo tanto, el carácter de la representación es real.

Lema. Una representación irreducible

V

de

G

es real si y solo si existe una forma bilineal simétrica no degenerada

B

en

V

conservado por

G.

Una representación irreducible de $G$ en un espacio vectorial real puede volverse reducible al extender el campo a $\mathbb {C} .$ Por ejemplo, la siguiente representación real del grupo cíclico es reducible cuando se considera sobre $\mathbb {C}$

{\displaystyle {\begin{cases}\rho

Por lo tanto, al clasificar todas las representaciones irreducibles que son reales sobre $\mathbb {C} ,$ Todavía no hemos clasificado todas las representaciones reales irreducibles. Pero logramos lo siguiente:

Dejar $V_{0}$ Sea un espacio vectorial real. $G$ actuar irreductiblemente en $V_{0}$ y dejar $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .$ Si $V$ no es irreducible, hay exactamente dos factores irreducibles que son representaciones conjugadas complejas de $G.$

Definición. Una representación cuaterniónica es una representación (compleja) $V,$ que posee una $G$ –homomorfismo antilineal invariante $J:V\to V$ satisfactorio $J^{2}=-{\text{Id}}.$ Por lo tanto, un sistema antisimétrico y no degenerado $G$ –la forma bilineal invariante define una estructura cuaterniónica en $V.$

Teorema. Una representación irreducible

V

es una y solo una de las siguientes:

(i) complejo:

\chi _{V}

no es de valor real y no existe

G

–forma bilineal no degenerada invariante en

V.

(ii) real:

V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,

una representación real;

V

tiene un

G

–forma bilineal simétrica no degenerada invariante .

(iii) cuaterniónico:

\chi _{V}

es real, pero

V

no es real;

V

tiene un

G

–forma bilineal no degenerada antisimétrica invariante.

Representaciones de grupos particulares

Grupos simétricos

Representación de los grupos simétricos $S_{n}$ han sido estudiados intensamente. Clases de conjugación en $S_{n}$ (y por lo tanto, según lo anterior, las representaciones irreducibles) corresponden a particiones de n . Por ejemplo, $S_{3}$ tiene tres representaciones irreducibles, correspondientes a las particiones

3; 2+1; 1+1+1

de 3. Para tal partición, un tablero de Young es un dispositivo gráfico que representa una partición. La representación irreducible correspondiente a dicha partición (o tablero de Young) se llama módulo de Specht .

Las representaciones de diferentes grupos simétricos están relacionadas: cualquier representación de $S_{n}\times S_{m}$ produce una representación de $S_{n+m}$ por inducción, y viceversa por restricción. La suma directa de todos estos anillos de representación

\bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n})

hereda de estas construcciones la estructura de un álgebra de Hopf que, resulta, está estrechamente relacionada con las funciones simétricas .

Grupos finitos de tipo Lie

Hasta cierto punto, las representaciones de la $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ , a medida que n varía, tienen un sabor similar al de la $S_{n}$ ; el proceso de inducción mencionado anteriormente se reemplaza por la llamada inducción parabólica . Sin embargo, a diferencia de para $S_{n}$ donde todas las representaciones se pueden obtener por inducción de representaciones triviales, esto no es cierto para $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ En cambio, se necesitan nuevos bloques de construcción, conocidos como representaciones cuspidales .

Representaciones de $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ y, de manera más general, las representaciones de grupos finitos de tipo Lie han sido estudiadas exhaustivamente. Bonnafé (2010) describe las representaciones de $SL_{2}(\mathbf {F} _{q})$ . Una descripción geométrica de las representaciones irreducibles de tales grupos, incluidas las representaciones cuspidales antes mencionadas, se obtiene mediante la teoría de Deligne-Lusztig , que construye dicha representación en la cohomología l-ádica de las variedades de Deligne-Lusztig .

La similitud de la teoría de la representación de $S_{n}$ y $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ va más allá de los grupos finitos. La filosofía de las formas de cúspide resalta el parentesco de los aspectos teóricos de la representación de estos tipos de grupos con los grupos lineales generales de cuerpos locales como Q _p y del anillo de adeles , véase Bump (2004) .

Perspectivas: Representaciones de grupos compactos

La teoría de representaciones de grupos compactos puede extenderse, hasta cierto punto, a grupos localmente compactos . En este contexto, la teoría de representaciones adquiere gran importancia para el análisis armónico y el estudio de las formas automorfas. Para demostraciones, información adicional y un análisis más detallado que excede el alcance de este capítulo, consulte ^{[ 17 ]} y ^{[ 18 ]} .

Definición y propiedades

Un grupo topológico es un grupo junto con una topología respecto de la cual la composición del grupo y la inversión son continuas . Dicho grupo se llama compacto si cualquier recubrimiento de $G,$ que es abierto en la topología, tiene una subcubierta finita. Los subgrupos cerrados de un grupo compacto también son compactos.

Dejar $G$ ser un grupo compacto y dejar $V$ ser de dimensión finita $\mathbb {C}$ –espacio vectorial. Una representación lineal de $G$ a $V$ es un homomorfismo de grupo continuo $\rho :G\to {\text{GL}}(V),$ es decir $\rho (s)v$ es una función continua en las dos variables $s\in G$ y $v\in V.$

Una representación lineal de $G$ en un espacio Banach $V$ se define como un homomorfismo de grupo continuo de $G$ en el conjunto de todos los operadores lineales biyectivos acotados en $V$ con una inversa continua. Dado que $\pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),$ Podemos prescindir del último requisito. A continuación, consideraremos en particular representaciones de grupos compactos en espacios de Hilbert .

Al igual que con los grupos finitos, podemos definir el álgebra de grupo y el álgebra de convolución . Sin embargo, el álgebra de grupo no proporciona información útil en el caso de grupos infinitos, porque la condición de continuidad se pierde durante la construcción. En cambio, el álgebra de convolución $L^{1}(G)$ toma su lugar.

La mayoría de las propiedades de las representaciones de grupos finitos pueden transferirse, con los cambios apropiados, a grupos compactos. Para ello, necesitamos una contraparte de la suma sobre un grupo finito:

Existencia y singularidad de la medida Haar

En un grupo compacto $G$ existe exactamente una medida $dt,$ de tal manera que:

Es una medida invariante a la traslación izquierda.

\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.

Todo el grupo tiene una unidad de medida:

\int _{G}dt=1,

Dicha medida normada e invariante a la traslación izquierda se denomina medida de Haar del grupo. $G.$

Desde $G$ es compacto, es posible demostrar que esta medida también es invariante a la traslación derecha, es decir, también se aplica

\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.

Mediante la escala anterior, la medida de Haar en un grupo finito viene dada por $dt(s)={\tfrac {1}{|G|}}$ a pesar de $s\in G.$

Todas las definiciones de representaciones de grupos finitos que se mencionan en la sección "Propiedades" también se aplican a las representaciones de grupos compactos. Sin embargo, se requieren algunas modificaciones:

Para definir una subrepresentación ahora necesitamos un subespacio cerrado. Esto no era necesario para los espacios de representación de dimensión finita, porque en este caso cada subespacio ya es cerrado. Además, dos representaciones $\rho ,\pi$ de un grupo compacto $G$ Se denominan equivalentes si existe un operador lineal biyectivo y continuo. $T$ entre los espacios de representación cuyo inverso también es continuo y que satisface $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ a pesar de $s\in G.$

Si $T$ es unitario, las dos representaciones se denominan equivalentes unitarios .

Para obtener un $G$ –producto interno invariante de un no $G$ –invariante, ahora tenemos que usar la integral sobre $G$ en lugar de la suma. Si $(\cdot |\cdot )$ es un producto interno en un espacio de Hilbert $V,$ lo cual no es invariante con respecto a la representación $\rho$ de $G,$ entonces

(v|u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v|\rho (t)u)dt

es un $G$ –producto interno invariante en $V$ debido a las propiedades de la medida de Haar $dt.$ Por lo tanto, podemos suponer que toda representación en un espacio de Hilbert es unitaria.

Dejar $G$ ser un grupo compacto y dejar $s\in G.$ Dejar $L^{2}(G)$ sea el espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado integrable en $G.$ Definimos el operador $L_{s}$ en este espacio por $L_{s}\Phi (t)=\Phi (s^{-1}t),$ dónde $\Phi \in L^{2}(G),t\in G.$

El mapa $s\mapsto L_{s}$ es una representación unitaria de $G.$ Se denomina representación regular izquierda . La representación regular derecha se define de manera similar. Como la medida de Haar de $G$ También es invariante a la traslación derecha, el operador $R_{s}$ en $L^{2}(G)$ es dado por $R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).$ La representación regular por la derecha es entonces la representación unitaria dada por $s\mapsto R_{s}.$ Las dos representaciones $s\mapsto L_{s}$ y $s\mapsto R_{s}$ son duales entre sí.

Si $G$ es infinito, estas representaciones no tienen grado finito. La representación regular izquierda y derecha definida al principio son isomorfas a la representación regular izquierda y derecha definida anteriormente, si el grupo $G$ es finito. Esto se debe a que en este caso $L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].$

Construcciones y descomposiciones

Las diferentes formas de construir nuevas representaciones a partir de las dadas también se pueden usar para grupos compactos, excepto para la representación dual que trataremos más adelante. La suma directa y el producto tensorial con un número finito de sumandos/factores se definen exactamente de la misma manera que para grupos finitos. Este también es el caso para el cuadrado simétrico y el cuadrado alternado. Sin embargo, necesitamos una medida de Haar en el producto directo de grupos compactos para extender el teorema que dice que las representaciones irreducibles del producto de dos grupos son (salvo isomorfismo) exactamente el producto tensorial de las representaciones irreducibles de los grupos cociente. Primero, observamos que el producto directo $G_{1}\times G_{2}$ La suma de dos grupos compactos vuelve a ser un grupo compacto cuando se le proporciona la topología de producto . La medida de Haar en el producto directo viene dada entonces por el producto de las medidas de Haar en los grupos de factores.

Para la representación dual en grupos compactos requerimos la dualidad topológica $V'$ del espacio vectorial $V.$ Este es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales continuos del espacio vectorial $V$ en el campo base. Deje $\pi$ ser una representación de un grupo compacto $G$ en $V.$

La doble representación $\pi ':G\to {\text{GL}}(V')$ se define por la propiedad

{\displaystyle \forall v\in V,\forall v'\in V',\forall s\in G:\qquad \left\langle \pi '(s)v',\pi (s)v\right\rangle =\langle v',v\rangle

Por lo tanto, podemos concluir que la representación dual está dada por $\pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})$ a pesar de $v'\in V',s\in G.$ El mapa $\pi '$ es de nuevo un homomorfismo de grupo continuo y, por lo tanto, una representación.

Sobre los espacios de Hilbert: $\pi$ es irreducible si y solo si $\pi '$ es irreductible.

Al transferir los resultados de las descomposiciones de secciones a grupos compactos, obtenemos los siguientes teoremas:

Teorema. Toda representación irreducible

(\tau ,V_{\tau })

de un grupo compacto en un espacio de Hilbert es de dimensión finita y existe un producto interno en

V_{\tau }

de tal manera que

\tau

es unitario. Dado que la medida de Haar está normalizada, este producto interno es único.

Toda representación de un grupo compacto es isomorfa a una suma de Hilbert directa de representaciones irreducibles.

Dejar $(\rho ,V_{\rho })$ ser una representación unitaria del grupo compacto $G.$ Al igual que para los grupos finitos definimos una representación irreducible $(\tau ,V_{\tau })$ el isotipo o componente isotípico en $\rho$ ser el subespacio

V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.

Esta es la suma de todos los subespacios cerrados invariantes. $U,$ que son $G$ –isomorfo a $V_{\tau }.$

Nótese que los isotipos de representaciones irreducibles no equivalentes son ortogonales por pares.

Teorema.

(i)

V_{\rho }(\tau )

es un subespacio invariante cerrado de

V_{\rho }.

(ii)

V_{\rho }(\tau )

es

G

–isomorfo a la suma directa de copias de

V_{\tau }.

(iii) Descomposición canónica:

V_{\rho }

es la suma de Hilbert directa de los isotipos

V_{\rho }(\tau ),

en el cual

\tau

pasa por todas las clases de isomorfismo de las representaciones irreducibles.

La proyección correspondiente a la descomposición canónica $p_{\tau }:V\to V(\tau ),$ en el cual $V(\tau )$ es un isotipo de $V,$ es para grupos compactos dados por

p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(v)dt,

dónde $n_{\tau }=\dim(V(\tau ))$ y $\chi _{\tau }$ es el carácter que corresponde a la representación irreducible $\tau .$

Fórmula de proyección

Por cada representación $(\rho ,V)$ de un grupo compacto $G$ definimos

V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}.

En general $\rho (s):V\to V$ no lo es $G$ –lineal. Dejemos

Pv:=\int _{G}\rho (s)vds.

El mapa $P$ se define como endomorfismo en $V$ al tener la propiedad

\left.\left(\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right)=\int _{G}(\rho (s)v|w)ds,

lo cual es válido para el producto interno del espacio de Hilbert. $V.$

Entonces $P$ es $G$ –lineal, debido a

{\begin{aligned}\left.\left(\int _{G}\rho (s)(\rho (t)v)ds\right|w\right)&=\int _{G}\left.\left(\rho \left(tst^{-1}\right)(\rho (t)v)\right|w\right)ds\\&=\int _{G}(\rho (ts)v|w)ds\\&=\int (\rho (t)\rho (s)v|w)ds\\&=\left.\left(\rho (t)\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right),\end{aligned}}

donde utilizamos la invariancia de la medida de Haar.

Proposición. El mapa

P

es una proyección de

V

a

V^{G}.

Si la representación es de dimensión finita, es posible determinar la suma directa de la subrepresentación trivial, al igual que en el caso de grupos finitos.

Caracteres, el lema de Schur y el producto interno

Generalmente, las representaciones de grupos compactos se investigan en espacios de Hilbert y Banach . En la mayoría de los casos, no son de dimensión finita. Por lo tanto, no es útil referirse a caracteres al hablar de representaciones de grupos compactos. Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible restringir el estudio al caso de dimensiones finitas.

Dado que las representaciones irreducibles de grupos compactos son de dimensión finita y unitarias (véanse los resultados de la primera subsección ), podemos definir caracteres irreducibles del mismo modo que se hizo para los grupos finitos.

Siempre que las representaciones construidas sigan siendo de dimensión finita, los caracteres de las representaciones recién construidas se pueden obtener de la misma manera que para los grupos finitos.

El lema de Schur también es válido para grupos compactos:

Dejar $(\pi ,V)$ ser una representación unitaria irreducible de un grupo compacto $G.$ Entonces, cada operador acotado $T:V\to V$ satisfaciendo la propiedad $T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T$ a pesar de $s\in G,$ es un múltiplo escalar de la identidad, es decir, existe $\lambda \in \mathbb {C}$ de tal manera que $T=\lambda {\text{Id}}.$

Definición. La fórmula

(\Phi |\Psi )=\int _{G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}dt.

define un producto interno en el conjunto de todas las funciones de cuadrado integrable $L^{2}(G)$ de un grupo compacto $G.$ Asimismo

\langle \Phi ,\Psi \rangle =\int _{G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})dt.

define una forma bilineal en $L^{2}(G)$ de un grupo compacto $G.$

La forma bilineal en los espacios de representación se define exactamente igual que para los grupos finitos y, de forma análoga a los grupos finitos, por lo tanto son válidos los siguientes resultados:

Teorema. Sea

\chi

y

\chi '

sean los caracteres de dos representaciones irreducibles no isomorfas

V

y

V',

respectivamente. Entonces lo siguiente es válido

$(\chi |\chi ')=0.$
$(\chi |\chi )=1,$ es decir $\chi$ tiene "norma" $1.$

Teorema. Sea

V

ser una representación de

G

con carácter

\chi _{V}.

Suponer

W

es una representación irreducible de

G

con carácter

\chi _{W}.

El número de subrepresentaciones de

V

equivalente a

W

es independiente de cualquier descomposición dada para

V

y es igual al producto interno

(\chi _{V}|\chi _{W}).

Criterio de irreductibilidad. Sea

\chi

ser el carácter de la representación

V,

entonces

(\chi |\chi )

es un número entero positivo. Además

(\chi |\chi )=1

si y solo si

V

es irreductible.

Por lo tanto, utilizando el primer teorema, los caracteres de las representaciones irreducibles de $G$ formen un conjunto ortonormal en $L^{2}(G)$ con respecto a este producto interno.

Corolario. Toda representación irreducible

V

de

G

está contenido

\dim(V)

–veces en la representación regular izquierda.

Lema. Dejemos

G

Sea un grupo compacto. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$G$ es abeliano.
Todas las representaciones irreductibles de $G$ tener título $1.$

Propiedad ortonormal. Sea

G

ser un grupo. Las representaciones irreducibles no isomorfas de

G

formar una base ortonormal en

L^{2}(G)

con respecto a este producto interno.

Como ya sabemos que las representaciones irreducibles no isomorfas son ortonormales, solo necesitamos verificar que generan $L^{2}(G).$ Esto se puede hacer demostrando que no existe ninguna función de cuadrado integrable no nula en $G$ ortogonal a todos los caracteres irreducibles.

Al igual que en el caso de los grupos finitos, el número de representaciones irreducibles salvo isomorfismo de un grupo $G$ es igual al número de clases de conjugación de $G.$ Sin embargo, dado que un grupo compacto tiene, en general, infinitas clases de conjugación, esto no proporciona ninguna información útil.

La representación inducida

Si $H$ es un subgrupo cerrado de índice finito en un grupo compacto $G,$ Se puede adoptar la definición de la representación inducida para grupos finitos.

Sin embargo, la representación inducida puede definirse de manera más general, de modo que la definición sea válida independientemente del índice del subgrupo. $H.$

Para este propósito, dejemos $(\eta ,V_{\eta })$ ser una representación unitaria del subgrupo cerrado $H.$ La representación inducida continua ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})$ se define de la siguiente manera:

Dejar $V_{I}$ denotamos el espacio de Hilbert de todas las funciones medibles e integrables al cuadrado. $\Phi :G\to V_{\eta }$ con la propiedad $\Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)$ a pesar de $l\in H,s\in G.$ La norma viene dada por

\|\Phi \|_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\|\Phi (s)\|

y la representación $I$ se da como la traducción correcta: $I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).$

La representación inducida es entonces, de nuevo, una representación unitaria.

Desde $G$ es compacto, la representación inducida puede descomponerse en la suma directa de representaciones irreducibles de $G.$ Nótese que todas las representaciones irreducibles pertenecientes al mismo isotipo aparecen con una multiplicidad igual a $\dim({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.$

Dejar $(\rho ,V_{\rho })$ ser una representación de $G,$ entonces existe un isomorfismo canónico

T:{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta }).

La reciprocidad de Frobenius se transfiere, junto con las definiciones modificadas del producto interno y de la forma bilineal, a grupos compactos. El teorema ahora es válido para funciones de cuadrado integrable en $G$ en lugar de funciones de clase, sino el subgrupo $H$ Debe estar cerrado.

El teorema de Peter-Weyl

Otro resultado importante en la teoría de la representación de grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl. Generalmente se presenta y demuestra en el análisis armónico , ya que representa uno de sus enunciados centrales y fundamentales.

El teorema de Peter-Weyl. Sea

G

ser un grupo compacto. Para cada representación irreducible

(\tau ,V_{\tau })

de

G

dejar

\{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}

ser una base ortonormal de

V_{\tau }.

Definimos los coeficientes de la matriz

\tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle

para

k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.

Entonces tenemos la siguiente base ortonormal de

L^{2}(G)

:

\left({\sqrt {\dim(\tau )}}\tau _{k,l}\right)_{k,l}

Podemos reformular este teorema para obtener una generalización de la serie de Fourier para funciones en grupos compactos:

El teorema de Peter-Weyl (segunda versión). Una demostración de este teorema y más información sobre la teoría de representación de grupos compactos se pueden encontrar en ^{[ 19 ]} . Existe un natural

G\times G

–isomorfismo

L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}

en el cual

{\widehat {G}}

es el conjunto de todas las representaciones irreducibles de

G

hasta el isomorfismo y

V_{\tau }

es el espacio de representación correspondiente a

\tau .

Más concretamente:

{\begin{cases}\Phi \mapsto \sum _{\tau \in {\widehat {G}}}\tau (\Phi )\\[5pt]\tau (\Phi )=\int _{G}\Phi (t)\tau (t)dt\in {\text{End}}(V_{\tau })\end{cases}}

Historia

Las características generales de la teoría de representación de un grupo finito G sobre los números complejos fueron descubiertas por Ferdinand Georg Frobenius en los años previos a 1900. Posteriormente, Richard Brauer desarrolló la teoría de representación modular .

Véase también

Notas

↑ ( Serre 1977 , p. 47)
↑ ( Sengupta 2012 , pág. 62)
↑ Demostración. Supongamos que $F$ es distinto de cero. Entonces $F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0$ es válido para todos $u\in \ker(F).$ Por lo tanto, obtenemos $\rho _{1}(s)u\in \ker(F)$ a pesar de $s\in G$ y $u\in \ker(F).$ Y ahora sabemos que $\ker(F)$ es $G$ –invariante. Dado que $V_{1}$ es irreductible y $F\neq 0,$ concluimos $\ker(F)=0.$ Ahora dejemos $y\in {\text{Im}}(F).$ Esto significa que existe $v\in V_{1},$ de tal manera que $Fv=y,$ y tenemos $\rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.$ Por lo tanto, deducimos que ${\text{Im}}(F)$ es un $G$ –subespacio invariante. Porque $F$ es distinto de cero y $V_{2}$ es irreductible, tenemos ${\text{Im}}(F)=V_{2}.$ Por lo tanto, $F$ es un isomorfismo y la primera afirmación está demostrada. Supongamos ahora que $V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.$ Dado que nuestro campo base es $\mathbb {C} ,$ sabemos que $F$ tiene al menos un valor propio $\lambda .$ Dejar $F'=F-\lambda ,$ entonces $\ker(F')\neq 0$ y tenemos $\rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)$ a pesar de $s\in G.$ Según las consideraciones anteriores, esto solo es posible si $F'=0,$ es decir $F=\lambda .$
↑ Serre (1977)
↑ Fulton y Harris (1991)
↑ Algunos autores definen el personaje como $\chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),$ , pero esta definición no se utiliza en este artículo.
↑ utilizando la acción de G sobre sí mismo dada por $G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G$
↑ Serre (1977)
↑ Fulton y Harris (1991)
↑ Alperin y Bell (1995)
↑ Serre (1977)
↑ Fulton y Harris (1991)
↑ Serre (1977)
↑ Serre (1977)
↑ Serre (1977)
↑ Fulton y Harris (1991)
↑ Deitmar (2010)
↑ Echterhoff y Deitmar (2009)
↑ Echterhoff y Deitmar (2009)

Referencias

Alperín, JL; Bell, Rowen B. (1995), Grupos y representaciones , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94525-3
Bonnafé, Cedric (2010). Representaciones de SL2(Fq) . Álgebra y aplicaciones. Vol. 13. Springer. ISBN 9780857291578.
Bump, Daniel (2004), Grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 225, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
Burrow, Martin (2014) [1965]. Teoría de la representación de grupos finitos . Nueva York: Dover.
Deitmar, Anton (2010), Automorphe Formen , Nueva York: Springer-Verlag , págs. 89–93 , 185–189 , ISBN 978-3-642-12389-4
Echterhoff, Sigfrido; Deitmar, Anton (2009), Principios del análisis armónico , Nueva York: Springer-Verlag , págs. 127-150 , ISBN 978-0-387-85468-7
Fulton, William; Harris, Joe (1991), Teoría de la representación: Un primer curso , Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97527-6
Lang, Serge (2002), Álgebra , Nueva York: Springer-Verlag , págs. 663–729 , ISBN 0-387-95385-X
Sengupta, Ambar (2012). Representación de grupos finitos: una introducción semisencilla . Nueva York. ISBN 9781461412311OCLC 769756134 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90190-6

[1] ( Serre 1977 , p. 47)

[2] ( Sengupta 2012 , pág. 62)

[3] Demostración. Supongamos que $F$ es distinto de cero. Entonces $F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0$ es válido para todos $u\in \ker(F).$ Por lo tanto, obtenemos $\rho _{1}(s)u\in \ker(F)$ a pesar de $s\in G$ y $u\in \ker(F).$ Y ahora sabemos que $\ker(F)$ es $G$ –invariante. Dado que $V_{1}$ es irreductible y $F\neq 0,$ concluimos $\ker(F)=0.$ Ahora dejemos $y\in {\text{Im}}(F).$ Esto significa que existe $v\in V_{1},$ de tal manera que $Fv=y,$ y tenemos $\rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.$ Por lo tanto, deducimos que ${\text{Im}}(F)$ es un $G$ –subespacio invariante. Porque $F$ es distinto de cero y $V_{2}$ es irreductible, tenemos ${\text{Im}}(F)=V_{2}.$ Por lo tanto, $F$ es un isomorfismo y la primera afirmación está demostrada. Supongamos ahora que $V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.$ Dado que nuestro campo base es $\mathbb {C} ,$ sabemos que $F$ tiene al menos un valor propio $\lambda .$ Dejar $F'=F-\lambda ,$ entonces $\ker(F')\neq 0$ y tenemos $\rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)$ a pesar de $s\in G.$ Según las consideraciones anteriores, esto solo es posible si $F'=0,$ es decir $F=\lambda .$

[4] Serre (1977)

[5] Fulton y Harris (1991)

[6] Algunos autores definen el personaje como $\chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),$ , pero esta definición no se utiliza en este artículo.

[7] utilizando la acción de G sobre sí mismo dada por $G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G$

[8] Serre (1977)

[9] Fulton y Harris (1991)

[10] Alperin y Bell (1995)

[11] Serre (1977)

[12] Fulton y Harris (1991)

[13] Serre (1977)

[14] Serre (1977)

[15] Serre (1977)

[16] Fulton y Harris (1991)

[17] Deitmar (2010)

[18] Echterhoff y Deitmar (2009)

[19] Echterhoff y Deitmar (2009)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]