Módulo Specht

En matemáticas, un módulo de Specht es una de las representaciones de grupos simétricos estudiadas por Wilhelm Specht ( 1935 ) . Se indexan mediante particiones, y en característica 0, los módulos de Specht de particiones de n forman un conjunto completo de representaciones irreducibles del grupo simétrico en n puntos. 

Fijemos una partición λ de n y un anillo conmutativo k . La partición determina un diagrama de Young con n casillas. Un tablero de Young de forma λ es una manera de etiquetar las casillas de este diagrama de Young con números distintos.${\displaystyle 1,\dots ,n}$.

Un tabloide es una clase de equivalencia de tablas de Young donde dos etiquetados son equivalentes si uno se obtiene del otro permutando las entradas de cada fila. Para cada tabla de Young T de forma λ, sea${\displaystyle \{T\}}$Sea el tabloide correspondiente. El grupo simétrico en n puntos actúa sobre el conjunto de tableaux de Young de forma λ . En consecuencia, actúa sobre los tabloides y sobre el k -módulo libre V con los tabloides como base.

Dado un tablero de Young T de forma λ , sea

${\displaystyle E_{T}=\sum _{\sigma \in Q_{T}}\epsilon (\sigma )\{\sigma (T)\}\in V}$

donde Q _T es el subgrupo de permutaciones que preserva (como conjuntos) todas las columnas de T y${\displaystyle \epsilon (\sigma)}$es el signo de la permutación σ . El módulo de Specht de la partición λ es el módulo generado por los elementos E _T cuando T recorre todos los tableros de forma λ .

El módulo Specht tiene como base los elementos E _T para T un cuadro de Young estándar .

Una introducción sencilla a la construcción del módulo Specht se puede encontrar en la Sección 1 de "Polítopos Specht y Matroides Specht". ^{[ 1 ]}

La dimensión del módulo Specht${\displaystyle V_{\lambda }}$es el número de cuadros Young estándar de forma${\displaystyle \lambda }$Se obtiene mediante la fórmula de la longitud del anzuelo .

Sobre cuerpos de característica 0, los módulos de Specht son irreducibles y forman un conjunto completo de representaciones irreducibles del grupo simétrico.

Una partición se denomina p -regular (para un número primo p ) si no tiene p partes del mismo tamaño (positivo). Sobre cuerpos de característica p > 0, los módulos de Specht pueden ser reducibles. Para particiones p -regulares, existen un único cociente irreducible, y estos cocientes irreducibles forman un conjunto completo de representaciones irreducibles.

• Relaciones de Garnir , una descripción más detallada de la estructura de los módulos Specht.

• Andersen, Henning Haahr (2001) [1994], "Módulo Specht" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• James, GD (1978), "Capítulo 4: Módulos de Specht", La teoría de la representación de los grupos simétricos , Lecture Notes in Mathematics, vol.  682, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p.  13, doi : 10.1007/BFb0067712 , ISBN 978-3-540-08948-3, MR 0513828 
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), La teoría de la representación del grupo simétrico , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol.  16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144 
• Specht, W. (1935), "Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe", Mathematische Zeitschrift , 39 (1): 696– 711, doi : 10.1007/BF01201387 , ISSN 0025-5874