Distribución binomial

Si la variable aleatoria X sigue la distribución binomial con parámetros${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$(un número natural ) y p ∈ [ 0, 1 ] , escribimos X ~ B( n , p ) . La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes (con la misma tasa p ) viene dada por la función de masa de probabilidad : $${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}$$ para k = 0, 1, 2, ..., n , donde $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}}$$ es el coeficiente binomial . La fórmula se puede entender de la siguiente manera: p ^k q ^{n − k} es la probabilidad de obtener la secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes en la que k ensayos son "éxitos" y los n − k ensayos restantes son "fracasos". Dado que los ensayos son independientes y las probabilidades permanecen constantes entre ellos, cualquier secuencia de n ensayos con k éxitos (y n − k fracasos) tiene la misma probabilidad de lograrse (independientemente de las posiciones de los éxitos dentro de la secuencia). Hay${\textstyle {\binom {n}{k}}}$tales secuencias, dado que el coeficiente binomial${\textstyle {\binom {n}{k}}}$cuenta el número de maneras de elegir las posiciones de los k éxitos entre los n ensayos. La distribución binomial se ocupa de la probabilidad de obtener cualquiera de estas secuencias, lo que significa que se debe sumar la probabilidad de obtener una de ellas ( p ^k q ^{n − k ).}${\textstyle {\binom {n}{k}}}$veces, por lo tanto${\displaystyle \textstyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}}$⁠ .

Al crear tablas de referencia para la probabilidad de distribución binomial, normalmente la tabla se rellena hasta ⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {n}{2}}}$valores . Esto se debe a que para${\displaystyle \textstyle k>{\tfrac {n}{2}}}$⁠ , la probabilidad se puede calcular mediante su complemento como $${\displaystyle f(k,n,p)=f(nk,n,1-p).}$$

Al observar la expresión f ( k , n , p ) como una función de k , hay un valor de k que la maximiza. Este valor de k se puede encontrar calculando $${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(nk)p}{(k+1)(1-p)}}}$$ y comparándolo con 1. Siempre hay un entero M que satisface ^{[ 2 ]}$${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$$

f ( k , n , p ) es monótona creciente para k < M y monótona decreciente para k > M , con la excepción del caso en que ( n + 1) p es un entero. En este caso, hay dos valores para los cuales f es máxima: ( n + 1) p y ( n + 1) p − 1 . M es el resultado más probable (es decir, el más probable, aunque esto aún puede ser improbable en general) de los ensayos de Bernoulli y se llama moda .

Supongamos que una moneda trucada cae cara con una probabilidad de 0,3 al ser lanzada. La probabilidad de ver exactamente 4 caras en 6 lanzamientos es $${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$$

La función de distribución acumulativa se puede expresar como: $${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$$ dónde${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$es el "piso" bajo k ; es decir, el mayor entero menor o igual que k .

También puede representarse en términos de la función beta incompleta regularizada , como sigue: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt,\end{aligned}}}$$ lo cual es equivalente a las funciones de distribución acumulativa de la distribución beta y de la distribución F : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle F(k;n,p)=F_{\text{beta-distribution}}\left(x=1-p;\alpha =n-k,\beta =k+1\right)}$$$${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$$

A continuación se presentan algunos límites en forma cerrada para la función de distribución acumulativa .

Si X ~ B( n , p ) , es decir, X es una variable aleatoria con distribución binomial, donde n es el número total de experimentos y p es la probabilidad de que cada experimento dé un resultado exitoso, entonces el valor esperado de X es: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$$

Esto se deduce de la linealidad del valor esperado junto con el hecho de que X es la suma de n variables aleatorias de Bernoulli idénticas, cada una con valor esperado p . En otras palabras, si${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$son variables aleatorias de Bernoulli idénticas (e independientes) con parámetro p , entonces X = X ₁ + ... + X _n y $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$$

La varianza es: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}$$

Esto se deduce igualmente del hecho de que la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de las varianzas.

Los primeros 6 momentos centrales , definidos como${\displaystyle \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}$, son dados por $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np\left(1-p\right),\\\mu _{3}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right),\\\mu _{4}&=np\left(1-p\right)\left[1+\left(3n-6\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{5}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right)\left[1+\left(10n-12\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{6}&=np\left(1-p\right)\left[1-30p\left(1-p\right)\left[1-4p(1-p)\right]+5np\left(1-p\right)\left[5-26p\left(1-p\right)\right]+15n^{2}p^{2}\left(1-p\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$$

Los momentos no centrales satisfacen $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}}$$ y en general ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},}$$ dónde${\textstyle \left\{{c \atop k}\right\}}$son los números de Stirling de segunda especie y${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$es el${\displaystyle k}$-th potencia de caída de${\displaystyle n}$. Se obtiene una cota simple ^{[ 8 ]} al acotar los momentos binomiales mediante los momentos de Poisson de orden superior : $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]\leq \left[{\frac {c}{\ln \left(1+{\frac {c}{np}}\right)}}\right]^{c}\leq (np)^{c}\exp \left({\frac {c^{2}}{2np}}\right).}$$ Esto demuestra que si${\displaystyle c=O({\sqrt {np}})}$, entonces${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]}$está como máximo a un factor constante de distancia de${\displaystyle \operatorname {E} [X]^{c}}$.

La función generadora de momentos es${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]=(1-p+pe^{t})^{n}}$.

Por lo general, la moda de una distribución binomial B( n , p ) es igual a${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$, dónde${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$es la función piso . Sin embargo, cuando ( n + 1) p es un número entero y p no es ni 0 ni 1, entonces la distribución tiene dos modas: ( n + 1) p y ( n + 1) p − 1. Cuando p es igual a 0 o 1, la moda será 0 y n respectivamente. Estos casos se pueden resumir de la siguiente manera: $${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$$

Prueba: Dejemos $${\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$$

Para${\displaystyle p=0}$solo${\displaystyle f(0)}$tiene un valor distinto de cero con${\displaystyle f(0)=1}$. Para${\displaystyle p=1}$encontramos${\displaystyle f(n)=1}$y${\displaystyle f(k)=0}$para${\displaystyle k\neq n}$Esto demuestra que la moda es 0 para${\displaystyle p=0}$y${\displaystyle n}$para${\displaystyle p=1}$.

Dejar${\displaystyle 0<p<1}$. Encontramos $${\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}.}$$

De esto se deduce $${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}$$

Entonces cuando${\displaystyle (n+1)p-1}$es un número entero, entonces${\displaystyle (n+1)p-1}$y${\displaystyle (n+1)p}$es un modo. En el caso de que${\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} }$, entonces solo${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor }$es un modo. ^{[ 9 ]}

En general, no existe una fórmula única para hallar la mediana de una distribución binomial, e incluso puede que no sea única. Sin embargo, se han establecido varios resultados especiales:

• Si np es un número entero, entonces la media, la mediana y la moda coinciden y son iguales a np . ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• Cualquier mediana m debe estar dentro del intervalo${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$. ^{[ 12 ]}
• Una mediana m no puede estar demasiado alejada de la media:${\displaystyle |m-np|\leq \min\{{\ln 2},\max\{p,1-p\}\}}$. ^{[ 13 ]}
• La mediana es única e igual a m = round ( np ) cuando | m − np | ≤ min { p , 1 − p } (excepto en el caso en que p = 1/2 y n es impar). ^{[ 12 ]}
• Cuando p es un número racional (con la excepción de p = 1/2 y n impar), la mediana es única. ^{[ 14 ]}
• Cuando${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$y n es impar, cualquier número m en el intervalo${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(n-1\right)\leq m\leq {\frac {1}{2}}\left(n+1\right)}$ es la mediana de la distribución binomial. Si${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$y n es par, entonces ${\textstyle m={\tfrac {n}{2}}}$es la mediana única.

Para k ≤ np , se pueden derivar límites superiores para la cola inferior de la función de distribución acumulativa.${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$, la probabilidad de que haya como máximo k éxitos. Dado que${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$, estos límites también pueden verse como límites para la cola superior de la función de distribución acumulativa para k ≥ np .

La desigualdad de Hoeffding produce la cota simple. $${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$$ lo cual, sin embargo, no es muy ajustado. En particular, para p = 1 , tenemos que F ( k ; n , p ) = 0 (para k , n fijos con k < n ), pero la cota de Hoeffding se evalúa como una constante positiva.

Se puede obtener una cota más precisa a partir de la cota de Chernoff : ^{[ 15 ]}$${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right)}$$ donde D ( a ∥ p ) es la entropía relativa (o divergencia de Kullback-Leibler) entre una moneda a y una moneda p (es decir, entre la distribución de Bernoulli( a ) y la distribución de Bernoulli( p ) : $${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\ln {\frac {a}{p}}+(1-a)\ln {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$$

Asintóticamente, esta cota es razonablemente ajustada; véase ^{[ 15 ]} para más detalles.

También se pueden obtener límites inferiores en la cola F ( k ; n , p ) , conocidos como límites de anticoncentración. Al aproximar el coeficiente binomial con la fórmula de Stirling se puede demostrar que ^{[ 16 ]}$${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right),}$$ lo que implica un límite más simple pero menos rígido. $${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$$

Para p = 1/2 y k ≥ 3 n /8 para n par , es posible hacer que el denominador sea constante: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$$

Cuando se conoce n , el parámetro p puede estimarse utilizando la proporción de éxitos: $${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$$ Este estimador se obtiene utilizando el estimador de máxima verosimilitud y también el método de los momentos . Este estimador es insesgado y uniforme con varianza mínima , demostrado mediante el teorema de Lehmann-Scheffé , ya que se basa en un estadístico mínimo suficiente y completo (es decir, x ). También es consistente tanto en probabilidad como en MSE . Este estadístico es asintóticamente normal gracias al teorema del límite central , porque es lo mismo que tomar la media sobre muestras de Bernoulli. Tiene una varianza de${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {p(1-p)}{n}}}$, una propiedad que se utiliza de diversas maneras, como en los intervalos de confianza de Wald .

También existe un estimador bayesiano de forma cerrada para p cuando se utiliza la distribución Beta como distribución a priori conjugada . Cuando se utiliza una distribución general${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$Como estimación previa, la media posterior es: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.}$$ El estimador bayesiano es asintóticamente eficiente y, a medida que el tamaño de la muestra tiende a infinito ( n → ∞ ), se aproxima a la solución de máxima verosimilitud (MLE ). ^{[ 18 ]} El estimador bayesiano es sesgado (cuánto depende de las distribuciones a priori), admisible y consistente en probabilidad. El estimador bayesiano con la distribución beta puede utilizarse con el muestreo de Thompson .

Para el caso especial de usar la distribución uniforme estándar como una distribución a priori no informativa ,${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}1,\,\beta {=}1)=U(0,1)}$, el estimador de la media posterior se convierte en: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.}$$ (Una moda posterior debería simplemente conducir al estimador estándar). Este método se llama regla de sucesión , que fue introducida en el siglo XVIII por Pierre-Simon Laplace .

Cuando se confía en la distribución a priori de Jeffreys , la distribución a priori es${\textstyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}{\tfrac {1}{2}},\,\beta {=}{\tfrac {1}{2}})}$, ^{[ 19 ]} lo que conduce al estimador: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{\mathrm {Jeffreys} }={\frac {x+{\frac {1}{2}}}{n+1}}.}$$

Cuando se estima p con eventos muy raros y un n pequeño (por ejemplo, si x = 0 ), entonces usar el estimador estándar conduce a${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$lo cual a veces es poco realista e indeseable. En tales casos existen varios estimadores alternativos. ^{[ 20 ]} Una forma es utilizar el estimador bayesiano.${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}}$, lo que lleva a: $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.}$$ Otro método consiste en utilizar el límite superior del intervalo de confianza obtenido mediante la regla de tres : $${\displaystyle {\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.}$$

Incluso para valores bastante grandes de n , la distribución real de la media es significativamente no normal. ^{[ 21 ]} Debido a este problema, se han propuesto varios métodos para estimar intervalos de confianza.

En las ecuaciones para intervalos de confianza que se muestran a continuación, las variables tienen el siguiente significado:

• n ₁ es el número de éxitos deun total de n ensayos.
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$es la proporción de éxitos
• ${\displaystyle z}$es el${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$cuantil de una distribución normal estándar (es decir, probit ) correspondiente a la tasa de error objetivo${\displaystyle \alpha }$Por ejemplo, para un nivel de confianza del 95% , el error${\displaystyle \alpha =0.05}$, entonces${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha =0.975}$y${\displaystyle z=1.96}$.

Si X ~ B( n , p ) e Y ~ B( m , p ) son variables binomiales independientes con la misma probabilidad p , entonces X + Y es nuevamente una variable binomial; su distribución es Z = X + Y ~ B( n + m , p ) : ^{[ 28 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$$

Una variable aleatoria con distribución binomial X ~ B( n , p ) puede considerarse como la suma de n variables aleatorias con distribución de Bernoulli. Por lo tanto, la suma de dos variables aleatorias con distribución binomial X ~ B( n , p ) e Y ~ B( m , p ) es equivalente a la suma de n + m variables aleatorias con distribución de Bernoulli, lo que significa que Z = X + Y ~ B( n + m , p ) . Esto también puede demostrarse directamente utilizando la regla de la suma.

Sin embargo, si X e Y no tienen la misma probabilidad p , entonces la varianza de la suma será menor que la varianza de una variable binomial distribuida como B( n + m , p ) .

La distribución binomial es un caso especial de la distribución binomial de Poisson , que es la distribución de una suma de n ensayos de Bernoulli independientes y no idénticos B( p _i ) . ^{[ 29 ]}

Este resultado fue obtenido por primera vez por Katz y coautores en 1978. ^{[ 30 ]}

Sean X ~ B( n , p ₁ ) e Y ~ B( m , p ₂ ) independientes. Sea T = ( X / n ) / ( Y / m ) .

Entonces log( T ) se distribuye aproximadamente de forma normal con media log( p ₁ / p ₂ ) y varianza ((1/ p ₁ ) − 1)/ n + ((1/ p ₂ ) − 1)/ m .

Si X ~ B( n , p ) y Y | X ~ B( X , q ) (la distribución condicional de Y , dado X ), entonces Y es una variable aleatoria binomial simple con distribución Y ~ B( n , pq ) . 

Por ejemplo, imagina lanzar n pelotas a una canasta U _X y tomar las pelotas que aciertan y lanzarlas a otra canasta U _Y . Si p es la probabilidad de acertar en U _X, entonces X ~ B( n , p ) es el número de pelotas que aciertan en U _X . Si q es la probabilidad de acertar en U _Y, entonces el número de pelotas que aciertan en U _Y es Y ~ B( X , q ) y, por lo tanto , Y ~ B( n , pq ) .

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial, donde n = 1. Simbólicamente, X ~ B(1, p ) tiene el mismo significado que X ~ Bernoulli( p ) . Recíprocamente, cualquier distribución binomial, B( n , p ) , es la distribución de la suma de n ensayos de Bernoulli independientes , Bernoulli( p ) , cada uno con la misma probabilidad p . ^{[ 31 ]}

Si n es suficientemente grande, entonces la asimetría de la distribución no es demasiado grande. En este caso, una aproximación razonable a B( n , p ) viene dada por la distribución normal.$${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}$$ y esta aproximación básica puede mejorarse de forma sencilla mediante una corrección de continuidad adecuada . La aproximación básica generalmente mejora a medida que n aumenta (al menos 20) y es mejor cuando p no está cerca de 0 o 1. ^{[ 32 ]} Se pueden utilizar varias reglas empíricas para decidir si n es suficientemente grande y si p está lo suficientemente lejos de los extremos de cero o uno:

• Una regla ^{[ 32 ]} es que para n > 5 la aproximación normal es adecuada si el valor absoluto de la asimetría es estrictamente menor que 0,3; es decir, si$${\displaystyle {\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<0.3.}$$

Esto se puede precisar utilizando el teorema de Berry-Esseen .

• Una regla más estricta establece que la aproximación normal es apropiada solo si todo lo que está dentro de 3 desviaciones estándar de su media está dentro del rango de valores posibles; es decir, solo si$${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).}$$

Esta regla de 3 desviaciones estándar es equivalente a las siguientes condiciones, que también implican la primera regla anterior.$${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

• Otra regla comúnmente utilizada es que ambos valores, np y n (1 ​​− p ), deben ser mayores que ^{[ 33 ] [ 34 ]} o iguales a  5. Sin embargo, el número específico varía según la fuente y depende de la precisión de la aproximación. En particular, si se usa  9 en lugar de  5, la regla implica los resultados expuestos en los párrafos anteriores.

A continuación se muestra un ejemplo de aplicación de una corrección de continuidad . Supongamos que se desea calcular Pr( X ≤ 8) para una variable aleatoria binomial X. Si Y tiene una distribución dada por la aproximación normal, entonces Pr( X ≤ 8) se aproxima mediante Pr( Y ≤ 8,5) . La suma de 0,5 constituye la corrección de continuidad; la aproximación normal sin corregir proporciona resultados considerablemente menos precisos.

Esta aproximación, conocida como teorema de De Moivre-Laplace , ahorra muchísimo tiempo al realizar cálculos a mano (los cálculos exactos con n grande son muy engorrosos); históricamente, fue el primer uso de la distribución normal, introducida en el libro de Abraham de Moivre , La doctrina de las probabilidades, en 1738. Hoy en día, puede considerarse una consecuencia del teorema del límite central, ya que B( n , p ) es una suma de n variables de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas con parámetro p . Este hecho es la base de una prueba de hipótesis , una "prueba z de proporción", para el valor de p utilizando x / n , la proporción muestral y estimador de p , en un estadístico de prueba común . ^{[ 35 ]} 

Por ejemplo, supongamos que se selecciona aleatoriamente una muestra de n personas de una población grande y se les pregunta si están de acuerdo con una determinada afirmación. La proporción de personas que estén de acuerdo dependerá, por supuesto, de la muestra. Si se seleccionaran grupos de n personas repetidamente y de forma verdaderamente aleatoria, las proporciones seguirían una distribución normal aproximada con una media igual a la proporción real p de acuerdo en la población y con una desviación estándar $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

La distribución binomial converge hacia la distribución de Poisson cuando el número de ensayos tiende a infinito, mientras que el producto np converge a un límite finito. Por lo tanto, la distribución de Poisson con parámetro λ = np puede usarse como una aproximación a B( n , p ) de la distribución binomial si n es suficientemente grande y p es suficientemente pequeño. Según reglas generales, esta aproximación es buena si n ≥ 20 y p ≤ 0,05 ^{[ 36 ]} de modo que np ≤ 1 , o si n > 50 y p < 0,1 de modo que np < 5 ^{[ 37 ]} , o si n ≥ 100 y np ≤ 10 [ ^{38 ] [ 39 ] .}

En cuanto a la precisión de la aproximación de Poisson, véase Novak, ^{[ 40 ]} cap. 4, y las referencias allí citadas.

• Teorema del límite de Poisson : Cuando n tiende a infinito y p tiende a cero con el producto np fijo, ladistribución binomial( n , p ) se aproxima a la distribución de Poisson con valor esperado λ = np . ^{[ 38 ]}
• Teorema de De Moivre-Laplace : Cuando n tiende a infinito mientras p permanece fijo, la distribución de$${\displaystyle {\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$$Se aproxima a la distribución normal con valor esperado  0 y varianza  1. Este resultado a veces se expresa de forma imprecisa diciendo que la distribución de X es asintóticamente normal con valor esperado  0 y varianza  1. Este resultado es un caso específico del teorema del límite central .

La distribución binomial y la distribución beta son diferentes perspectivas del mismo modelo de ensayos de Bernoulli repetidos. La distribución binomial es la función de masa de probabilidad (FMP) de k éxitos dados n eventos independientes, cada uno con una probabilidad p de éxito. Matemáticamente, cuando α = k + 1 y β = n − k + 1 , la distribución beta y la distribución binomial están relacionadas por un factor de n + 1 : $${\displaystyle \operatorname {Beta} (p;\alpha$$ ;\beta )=(n+1)\mathrm {B} (k;n;p)}

Las distribuciones beta también proporcionan una familia de distribuciones de probabilidad previa para distribuciones binomiales en inferencia bayesiana : ^{[ 41 ]}$${\displaystyle P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}}.}$$ Dada una distribución a priori uniforme, la distribución a posteriori para la probabilidad de éxito p dados n eventos independientes con k éxitos observados es una distribución beta. ^{[ 42 ]}

Los métodos para la generación de números aleatorios donde la distribución marginal es una distribución binomial están bien establecidos. ^{[ 43 ] [ 44 ]} Una forma de generar muestras de variables aleatorias a partir de una distribución binomial es usar un algoritmo de inversión. Para ello, se debe calcular la probabilidad de que Pr( X = k ) para todos los valores k desde 0 hasta n . (Estas probabilidades deben sumar un valor cercano a uno, para abarcar todo el espacio muestral). Luego, usando un generador de números pseudoaleatorios para generar muestras uniformemente entre 0 y 1, se pueden transformar las muestras calculadas en números discretos usando las probabilidades calculadas en el primer paso.