Conjunto (matemáticas)

La notación de enumeración o de lista es una notación introducida por Ernst Zermelo en 1908 que especifica un conjunto enumerando sus elementos entre llaves , separados por comas. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} Por ejemplo, se observa que ⁠${\displaystyle \{4,2,1,3\}}$y​​${\displaystyle \{{\text{azul, blanco, rojo}}\}}$⁠ denotan conjuntos y no tuplas debido a las llaves que los encierran.

Las notaciones${\displaystyle \{\,\}}$para el conjunto vacío y${\displaystyle \{x\}}$⁠ para un singleton son ejemplos de notación de lista.

Al especificar un conjunto, lo único que importa es si cada elemento potencial está en el conjunto o no, por lo que un conjunto no cambia si los elementos se repiten o se disponen en un orden diferente. Por ejemplo, ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}=\{4,2,1,3\}=\{4,2,4,3,1,3\}.}$$

Cuando existe un patrón claro para generar todos los elementos del conjunto, se puede usar una elipsis para abreviar la notación; ^{[ 29 ] [ 30 ]} por ejemplo,${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,10\}}$es una abreviatura de ⁠${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}}$⁠ . Los puntos suspensivos en la notación de lista también se pueden usar para describir algunos conjuntos infinitos ; por ejemplo, el conjunto de todos los enteros se puede denotar como $${\displaystyle \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}}$$ o $${\displaystyle \{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \}.}$$

La notación de construcción de conjuntos especifica que un conjunto es el conjunto de todos los elementos que satisfacen alguna fórmula lógica . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} Más precisamente, si${\displaystyle P(x)}$Es una fórmula lógica que depende de una variable .${\displaystyle x}$⁠ , que se evalúa como verdadero o falso dependiendo del valor de ⁠${\displaystyle x}$, entonces $${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$$ o ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \{x:P(x)\}}$$ denota el conjunto de todos ⁠${\displaystyle x}$para el cual${\displaystyle P(x)}$es verdadero. [ ^{10 ] Por} ejemplo, un conjunto${\displaystyle F}$Se puede especificar de la siguiente manera :$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ es un número entero, y }}0\leq n\leq 19\}.}$$ En esta notación, la barra vertical "|" se lee como "de tal manera que", y toda la fórmula se puede leer como " ⁠${\displaystyle F}$es el conjunto de todos${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle n}$es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive".

Algunas fórmulas lógicas, como por ejemplo :${\displaystyle \color {red}{S{\text{ es un conjunto}}}}$o​​${\displaystyle \color {red}{S{\text{ es un conjunto y }}S\not \in S}}$No se puede usar en la notación de conjuntos porque no existe ningún conjunto cuyos elementos se caractericen por la fórmula. Hay varias maneras de evitar este problema. Se puede demostrar que la fórmula define un conjunto; esto suele ser casi inmediato, pero puede resultar muy difícil.

También se puede introducir un conjunto más grande .${\displaystyle U}$que debe contener todos los elementos del conjunto especificado, y escribir la notación como $${\displaystyle \{x\mid x\in U{\text{ y ...}}\}}$$ o $${\displaystyle \{x\in U\mid {\text{ ...}}\}.}$$

También se puede definir${\displaystyle U}$⁠ de una vez por todas y adoptar la convención de que cada variable que aparece a la izquierda de la barra vertical de la notación representa un elemento de ⁠${\displaystyle U}$Esto equivale a decir que${\displaystyle x\in U}$⁠ está implícito en la notación de construcción de conjuntos. En este caso, ⁠${\displaystyle U}$A menudo se le llama dominio del discurso o universo .

Por ejemplo, con la convención de que una letra latina minúscula puede representar un número real y nada más, la expresión$${\displaystyle \{x\mid x\not \in \mathbb {Q} \}}$$ es una abreviatura de $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x\not \in \mathbb {Q} \},}$$ que define los números irracionales .

• El conjunto de todos los seres humanos es un subconjunto propio del conjunto de todos los mamíferos.
• ⁠${\displaystyle \{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}}$⁠
• ⁠${\displaystyle \{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}}$⁠

• Dos conjuntos son iguales si y solo si se contienen mutuamente :${\displaystyle A=B}$⁠ es equivalente a ( ⁠${\displaystyle A\subsetequ B}$y​​${\displaystyle B\subsetae}$⁠ ). ^{[ 32 ] [ 10 ]}
• El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto :${\displaystyle \forall A,\varnothing \subseteq A}$⁠ . ^{[ 19 ]}

La intersección de dos conjuntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$es un conjunto denotado${\displaystyle A\cap B}$cuyos elementos son aquellos elementos que pertenecen a ambos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ . Es decir, $${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\},}$$ donde​${\displaystyle \land }$⁠ denota la conjunción lógica y .

La intersección es asociativa y conmutativa ; esto significa que para realizar una secuencia de intersecciones, se puede proceder en cualquier orden, sin necesidad de paréntesis para especificar el orden de las operaciones .

Si​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es un conjunto no vacío de conjuntos, su intersección, denotada ${\textstyle \bigcap _ {A\in {\mathcal {S}}}A,}$ es el conjunto cuyos elementos son aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$⁠ . Es decir, $${\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\forall A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$ Ejemplo: Si${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X,Y\}}$, entonces${\textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A=X\cap Y}$.

La unión de dos conjuntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$es un conjunto denotado${\displaystyle A\cup B}$cuyos elementos son aquellos elementos que pertenecen a${\displaystyle A}$o​​${\displaystyle B}$o ambas. Es decir, $${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\},}$$ donde​${\displaystyle \lor }$⁠ denota la disyunción lógica .

La unión es asociativa y conmutativa .

Si​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es un conjunto de conjuntos, su unión, denotada ${\textstyle \bigcup S=\bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A,}$ es el conjunto cuyos elementos son aquellos elementos que pertenecen al menos a un conjunto en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$⁠ . Es decir, $${\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=\{x\mid (\exists A\in {\mathcal {S}})\;x\in A\}.}$$ Ejemplo: Si${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X,Y\}}$, entonces${\textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A=X\cup Y}$.

La diferencia de conjuntos de dos conjuntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ , es un conjunto, denotado ⁠${\displaystyle A\setminus B}$o​​${\displaystyle AB}$⁠ , cuyos elementos son aquellos elementos que pertenecen a ⁠${\displaystyle A}$⁠ , pero no a ⁠${\displaystyle B}$⁠ . Es decir, $${\displaystyle A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\not \in B\},}$$ donde​${\displaystyle \land }$⁠ denota la conjunción lógica y .

Cuando​${\displaystyle B\subsetae}$la diferencia​${\displaystyle A\setminus B}$También se le llama el complemento de${\displaystyle B}$en​​${\displaystyle A}$Cuando todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un conjunto universal fijo .${\displaystyle U}$⁠ , el complemento ⁠${\displaystyle U\setminus A}$A menudo se le llama el complemento absoluto de${\displaystyle A}$.​

La diferencia simétrica de dos conjuntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ , denotado ⁠${\displaystyle A\,\Delta \,B}$⁠ , es el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a ⁠${\displaystyle A}$o​​${\displaystyle B}$pero no a ambos: $${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$$

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto${\displaystyle U}$⁠ se denomina conjunto potencia de ⁠${\displaystyle U}$⁠ , a menudo denotado ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$⁠ . El conjunto potencia es una estructura algebraica cuyas operaciones principales son la unión, la intersección, la diferencia de conjuntos, la diferencia simétrica y el complemento absoluto (complemento en ⁠${\displaystyle U}$⁠ ).

El conjunto potencia es un anillo booleano que tiene la diferencia simétrica como suma, la intersección como multiplicación y el conjunto vacío como identidad aditiva .${\displaystyle U}$como identidad multiplicativa yel subconjunto mismo como inverso aditivo.

El conjunto potencia es también un álgebra booleana para la cual la unión${\displaystyle \lor }$es la unión${\displaystyle \cup }$⁠ , el encuentro ⁠${\displaystyle \land }$es la intersección${\displaystyle \cap }$⁠ , y la negación es el complemento del conjunto.

Como en cualquier álgebra booleana, el conjunto potencia es también un conjunto parcialmente ordenado para la inclusión de conjuntos. Además, es un retículo completo .

Los axiomas de estas estructuras generan muchas identidades que relacionan subconjuntos, las cuales se detallan en los artículos enlazados.

Intuitivamente, una familia indexada es un conjunto cuyos elementos están etiquetados con los elementos de otro conjunto, el conjunto índice. Estas etiquetas permiten que un mismo elemento aparezca varias veces en la familia.

Formalmente, una familia indexada es una función cuyo dominio está definido por el índice. Generalmente, se utiliza la notación funcional usual .${\displaystyle f(x)}$⁠ no se utiliza para familias indexadas. En su lugar, el elemento del conjunto de índices se escribe como un subíndice del nombre de la familia, como en ⁠${\displaystyle a_{i}}$.​

Cuando el conjunto de índices es${\displaystyle \{1,2\}}$⁠ , una familia indexada se llama par ordenado . Cuando el conjunto de índices es el conjunto de los ⁠${\displaystyle n}$⁠ Los primeros números naturales, una familia indexada se llama ⁠${\displaystyle n}$- tupla . Cuando el conjunto de índices es el conjunto de todos los números naturales ,una familia indexada se llama secuencia .

En todos estos casos, el orden natural de los números naturales permite omitir índices para familias indexadas explícitas. Por ejemplo ,${\displaystyle (b,2,b)}$⁠ denota la terna ⁠${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A_{1}=b,A_{2}=2,A_{3}=b}$.​

Las notaciones anteriores${\displaystyle \textstyle \bigcup _{A\in {\mathcal {S}}}A}$y​​${\displaystyle \textstyle \bigcap _{A\in {\mathcal {S}}}A}$⁠ se reemplazan comúnmente con una notación que involucra familias indexadas, a saber: $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\exists i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}}$$ y $${\displaystyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}=\{x\mid (\forall i\in {\mathcal {I}})\;x\in A_{i}\}.}$$

Las fórmulas de las secciones anteriores son casos especiales de las fórmulas para familias indexadas, donde${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {I}}}$y​​${\displaystyle i=A=A_{i}}$⁠ . Las fórmulas siguen siendo correctas, incluso en el caso en que ⁠${\displaystyle A_{i}=A_{j}}$para algunos​${\displaystyle i\neq j}$, ya que${\displaystyle A=A\cup A=A\cap A}$.​

Dados conjuntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ , su producto cartesiano (o simplemente producto ), denotado ⁠${\displaystyle A\times B}$, es el conjunto de todos los pares ordenados${\displaystyle (a,b)}$de tal manera que${\displaystyle a\in A}$y​​${\displaystyle b\in B}$; es decir, $${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A{\text{ and }}b\in B\}.}$$ La definición tiene sentido incluso si${\displaystyle A=B}$.

Asimismo se puede definir${\displaystyle A\times B\times C}$como un conjunto de ternas ordenadas${\displaystyle (a,b,c)}$y de igual manera para cualquier número finito de conjuntos.

De hecho, el número de conjuntos no tiene por qué ser finito. Dada cualquier familia indexada de conjuntos${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$, el producto${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$es el conjunto de todas las familias indexadas de elementos${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$de tal manera que${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$para cada${\displaystyle i\in I}$El axioma de elección implica que cualquier producto de conjuntos no vacíos es no vacío.

Dados dos conjuntos${\displaystyle E}$y​​${\displaystyle F}$⁠ , la exponenciación del conjunto , denotada ⁠${\displaystyle F^{E}}$⁠ , es el conjunto que tiene como elementos todas las funciones de ⁠${\displaystyle E}$a​​${\displaystyle F}$.​

De forma equivalente ,${\displaystyle F^{E}}$⁠ puede verse como el producto cartesiano de una familia, indexado por ⁠${\displaystyle E}$⁠ , de conjuntos que son todos iguales a ⁠${\displaystyle F}$Esto explica la terminología y la notación, ya que la exponenciación con exponentes enteros es un producto donde todos los factores son iguales a la base.

El conjunto potencia de un conjunto${\displaystyle E}$⁠ es el conjunto que tiene todos los subconjuntos de ⁠${\displaystyle E}$como elementos, incluido el conjunto vacío y${\displaystyle E}$⁠ mismo. ^{[ 32 ]} A menudo se denota ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$⁠ . Por ejemplo, $${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$$

Existe una correspondencia natural uno a uno ( biyección ) entre los subconjuntos de ⁠${\displaystyle E}$y las funciones de${\displaystyle E}$a​​${\displaystyle \{0,1\}}$; esta correspondencia asocia a cada subconjunto la función que toma el valor${\displaystyle 1}$⁠ en el subconjunto y ⁠${\displaystyle 0}$en otro lugar. Debido a esta correspondencia, el conjunto potencia de${\displaystyle E}$⁠ se identifica comúnmente con la exponenciación de conjuntos: $${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=\{0,1\}^{E}.}$$ En esta notación ,${\displaystyle \{0,1\}}$⁠ se abrevia a menudo como ⁠${\displaystyle 2}$⁠ , lo que da ^{[ 32 ] [ 38 ]}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)=2^{E}.}$$ En particular, si${\displaystyle E}$tiene​​${\displaystyle n}$elementos , entonces${\displaystyle 2^{E}}$tiene​​${\displaystyle 2^{n}}$elementos . ^{[ 39 ]}

La unión disjunta de dos o más conjuntos es similar a la unión simple, pero, si dos conjuntos tienen elementos en común, estos elementos se consideran distintos en la unión disjunta. Esto se logra etiquetando los elementos con los índices del conjunto del que provienen.

La unión disjunta de dos conjuntos${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ se denota comúnmente ⁠${\displaystyle A\sqcup B}$y por lo tanto se define como $${\displaystyle A\sqcup B=\{(a,i)\mid (i=1\land a\in A)\lor (i=2\land a\in B\}.}$$

Si​${\displaystyle A=B}$⁠ es un conjunto con ⁠${\displaystyle n}$elementos , entonces${\displaystyle A\cup A=A}$tiene​​${\displaystyle n}$elementos , mientras${\displaystyle A\sqcup A}$tiene​​${\displaystyle 2n}$elementos .

La unión disjunta de dos conjuntos es un caso particular de la unión disjunta de una familia indexada de conjuntos, que se define como $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}.}$$

La unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos. Por lo tanto, la notación $${\displaystyle \coprod _{i\in {\mathcal {I}}}=\{(a,i)\mid i\in {\mathcal {I}}\land a\in A_{i}\}}$$ es de uso común.

La cardinalidad de un conjunto infinito se representa comúnmente mediante un número cardinal , del mismo modo que el número de elementos de un conjunto finito se representa mediante números naturales. La definición de números cardinales es demasiado técnica para este artículo; sin embargo, muchas propiedades de las cardinalidades pueden tratarse sin hacer referencia a números cardinales, como se muestra a continuación.

Dos conjuntos${\displaystyle S}$y​​${\displaystyle T}$Tienen la misma cardinalidad si existe una correspondencia uno a uno ( biyección ) entre ellos. Esto se denota como${\displaystyle \vert S\vert =\vert T\vert }$⁠ , y sería una relación de equivalencia en conjuntos, si existiera un conjunto de todos los conjuntos.

Por ejemplo, los números naturales y los números naturales pares tienen la misma cardinalidad, ya que la multiplicación por dos proporciona dicha biyección. De manera similar, el intervalo${\displaystyle (-1,1)}$y el conjunto de todos los números reales tienen la misma cardinalidad, siendo la función una biyección .${\displaystyle x\mapsto \tan(\pi x/2)}$.​

Tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio es una propiedad característica de los conjuntos infinitos: un conjunto es infinito si y solo si tiene la misma cardinalidad que uno de sus subconjuntos propios. Así, según el ejemplo anterior, los números naturales forman un conjunto infinito. ^{[ 32 ]}

Además de la igualdad, existe una desigualdad natural entre cardinalidades: un conjunto${\displaystyle S}$Tiene una cardinalidad menor o igual que la cardinalidad de otro conjunto .${\displaystyle T}$⁠ si hay una inyección de ⁠${\displaystyle S}$a​​${\displaystyle T}$⁠ . Esto se denota ⁠${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$.​

El teorema de Schröder-Bernstein implica que${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$y​​${\displaystyle \vert T\vert \leq \vert S\vert }$implicar​​${\displaystyle \vert S\vert =\vert T\vert }$⁠ . Además, uno tiene ⁠${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$⁠ , si y solo si existe una sobreyección de ⁠${\displaystyle T}$a​​${\displaystyle S}$⁠ . Por cada dos conjuntos ⁠${\displaystyle S}$y​​${\displaystyle T}$⁠ , uno tiene o ⁠${\displaystyle \vert S\vert \leq \vert T\vert }$o​​${\displaystyle \vert T\vert \leq \vert S\vert }$⁠ . ^{[ c ]} Por lo tanto, la desigualdad de cardinalidades es un orden total .

La cardinalidad del conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de los números naturales , denotados${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\aleph _{0}}$⁠ , es la cardinalidad infinita más pequeña. Esto significa que si ⁠${\displaystyle S}$Si es un conjunto de números naturales, entonces o bien${\displaystyle S}$es finito o${\displaystyle \vert S\vert =\vert \mathbb {N} \vert }$.​

Conjuntos con cardinalidad menor o igual a ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {N} \vert =\aleph _{0}}$⁠ se denominan conjuntos numerables ; estos son conjuntos finitos o conjuntos numerablemente infinitos (conjuntos de cardinalidad ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$) ; algunos autores usan "contable" para referirse a "contablemente infinito". Conjuntos con cardinalidad estrictamente mayor que ;${\displaystyle \aleph _{0}}$Se denominan conjuntos no numerables .

El argumento diagonal de Cantor muestra que, para cada conjunto ⁠${\displaystyle S}$⁠ , su conjunto potencia (el conjunto de sus subconjuntos) ⁠${\displaystyle 2^{S}}$tiene mayor cardinalidad :$${\displaystyle |S|<\left|2^{S}\right|.}$$ Esto implica que no existe una cardinalidad máxima.

La cardinalidad del conjunto de los números reales se llama cardinalidad del continuo y se denota ⁠${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$( El término " continuo " se refería a la recta real antes del siglo XX, cuando la recta real no se consideraba comúnmente como un conjunto de números).

Dado que, como se ha visto anteriormente, la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ tiene la misma cardinalidad que un intervalo abierto , cada subconjunto de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ que contiene un intervalo abierto no vacío también tiene la cardinalidad ⁠${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.​

Uno tiene $${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}},}$$ lo que significa que la cardinalidad de los números reales es igual a la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales. En particular, ^{[ 43 ]}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}.}$$

Cuando Georg Cantor publicó este resultado en 1878 , ^{[ 44 ]} fue tan sorprendente que fue rechazado por los matemáticos, y se necesitaron varias décadas antes de su aceptación generalizada.

Se puede demostrar que${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$También es la cardinalidad de todo el plano y de cualquier espacio euclidiano de dimensión finita . ^{[ 45 ]}

La hipótesis del continuo , una conjetura formulada por Georg Cantor en 1878, afirma que no existe ningún conjunto con cardinalidad estrictamente entre ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$y​​${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$⁠ . ^{[ 44 ]} En 1963, Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección . ^{[ 46 ]} Esto significa que si la teoría de conjuntos más utilizadaes consistente (es decir, no es autocontradictoria), ^{[ d ]} entonces lo mismo es cierto tanto para la teoría de conjuntos con la hipótesis del continuo añadida como un axioma adicional, como para la teoría de conjuntos con la negación de la hipótesis del continuo añadida.

El lema de Zorn es una afirmación equivalente al axioma de elección bajo los demás axiomas de la teoría de conjuntos, y es más fácil de usar en las matemáticas habituales.

Dejemos​${\displaystyle S}$⁠ ser un conjunto parcialmente ordenado. Una cadena en ⁠${\displaystyle S}$⁠ es un subconjunto que está totalmente ordenado bajo el orden inducido. El lema de Zorn establece que, si cada cadena en ⁠${\displaystyle S}$⁠ tiene un límite superior en ⁠${\displaystyle S}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle S}$⁠ tiene (al menos) un elemento maximal , es decir, un elemento que no es menor que otro elemento de ⁠${\displaystyle S}$.​

En la mayoría de los usos del lema de Zorn ,${\displaystyle S}$⁠ es un conjunto de conjuntos, el orden es la inclusión de conjuntos, y el límite superior de una cadena se toma como la unión de sus miembros.

Un ejemplo del uso del lema de Zorn es la demostración de que todo espacio vectorial tiene una base . Aquí los elementos de ⁠${\displaystyle S}$son subconjuntos linealmente independientes del espacio vectorial. La unión de una cadena deelementos de${\displaystyle S}$Un conjunto es linealmente independiente, puesto que un conjunto infinito lo es si y solo si cada subconjunto finito lo es, y cada subconjunto finito de la unión de una cadena debe estar incluido en un elemento de la misma. Por lo tanto, existe un conjunto linealmente independiente maximal. Este conjunto linealmente independiente debe generar el espacio vectorial debido a su maximalidad y, por consiguiente, constituye una base.

Otro uso clásico del lema de Zorn es la demostración de que todo ideal propio —es decir, un ideal que no es todo el anillo— de un anillo está contenido en un ideal maximal . Aquí ,${\displaystyle S}$⁠ es el conjunto de ideales propios que contienen el ideal dado. La unión de una cadena de ideales es un ideal, ya que los axiomas de un ideal involucran un número finito de elementos. La unión de una cadena de ideales propios es un ideal propio, ya que de otro modo ⁠${\displaystyle 1}$pertenecería a la unión, y esto implica que pertenecería a un miembro de la cadena.

El axioma de elección es equivalente al hecho de que se puede definir un buen orden en cada conjunto, donde un buen orden es un orden total tal que cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.

Ejemplos sencillos de conjuntos bien ordenados son los números naturales (con el orden natural) y, para cada ⁠${\displaystyle n}$⁠ , el conjunto de los ⁠${\displaystyle n}$- tuplas de números naturales ,con el orden lexicográfico .

Los buenos órdenes permiten una generalización de la inducción matemática , que se denomina inducción transfinita . Dada una propiedad ( predicado )${\displaystyle P(n)}$⁠ dependiendo de un número natural, la inducción matemática es el hecho de que para probar que ⁠${\displaystyle P(n)}$⁠ siempre es cierto, basta con demostrar que para cada ⁠${\displaystyle n}$⁠ , $${\displaystyle (m<n\implies P(m))\implies P(n).}$$ La inducción transfinita es lo mismo, solo que reemplaza los números naturales por los elementos de un conjunto bien ordenado.

A menudo, una demostración por inducción transfinita resulta más sencilla si se demuestran tres casos por separado, siendo los dos primeros casos los mismos que para la inducción usual:

• ⁠${\displaystyle P(0)}$es cierto, donde${\displaystyle 0}$⁠ denota el elemento más pequeño del conjunto bien ordenado
• ⁠${\displaystyle P(x)\implies P(S(x))}$, donde​${\displaystyle S(x)}$⁠ denota el sucesor de ⁠${\displaystyle x}$⁠ , es decir, el elemento más pequeño que es mayor que ⁠${\displaystyle x}$⁠
• ⁠${\displaystyle (\forall y;\;y<x\implies P(y))\implies P(x)}$⁠ , cuando ⁠${\displaystyle x}$No es un sucesor.

La inducción transfinita es fundamental para definir los números ordinales y los números cardinales .