Forma automórfica

En el análisis armónico y la teoría de números , una forma automorfa es una función bien comportada de un grupo topológico.${\displaystyle G}$a los números complejos (o espacio vectorial complejo ) que es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto${\displaystyle \Gamma <G}$del grupo topológico. Las formas automorfas son una generalización de la idea de funciones periódicas en el espacio euclidiano a grupos topológicos generales.

Las formas modulares son formas automorfas holomorfas definidas sobre los grupos SL(2, R ) o PSL(2, R ) , donde el subgrupo discreto es el grupo modular o uno de sus subgrupos de congruencia ; en este sentido, la teoría de las formas automorfas es una extensión de la teoría de las formas modulares. De manera más general, se puede utilizar el enfoque adélico como una forma de tratar toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Desde este punto de vista, una forma automorfa sobre el grupo${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$, para un grupo algebraico${\displaystyle G}$y un campo de números algebraicos${\displaystyle F}$, es una función de valor complejo en${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$que queda invariante bajo${\displaystyle G(F)}$y cumple con ciertas condiciones de suavidad y crecimiento.

Henri Poincaré descubrió por primera vez las formas automorfas como generalizaciones de funciones trigonométricas y elípticas . A través de las conjeturas de Langlands , las formas automorfas desempeñan un papel importante en la teoría moderna de números. ^{[ 1 ]}

En matemáticas , la noción de factor de automorfismo surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supongamos que un grupo${\displaystyle G}$actúa sobre una variedad analítica compleja${\displaystyle X}$. Entonces,${\displaystyle G}$también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas de${\displaystyle X}$a los números complejos. Una función${\displaystyle f}$Se denomina forma automorfa si se cumple lo siguiente:

${\displaystyle f(g\cdot x)=j_{g}(x)f(x)}$

dónde${\displaystyle j_{g}(x)}$es una función holomorfa no nula en todas partes. Equivalentemente, una forma automorfa es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de${\displaystyle G}$.

El factor de automorfía para la forma automórfica${\displaystyle f}$es la función${\displaystyle j}$. Una función automorfa es una forma automorfa para la cual${\displaystyle j}$es la identidad.

Una forma automorfa es una función F en G (con valores en algún espacio vectorial fijo de dimensión finita V , en el caso vectorial), sujeta a tres tipos de condiciones:

1. transformar bajo traducción por elementos${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$según el factor de automorfismo j dado ;
2. ser una autofunción de ciertos operadores de Casimir en G ; y
3. para satisfacer una condición asintótica de "crecimiento moderado" una función de altura .

Es la primera de estas la que hace que F sea automorfa , es decir, que satisfaga una interesante ecuación funcional que relaciona F ( g ) con F ( γg ) para${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$En el caso vectorial, la especificación puede implicar una representación de grupo de dimensión finita ρ que actúa sobre los componentes para "retorcerlos". La condición del operador de Casimir dice que algunos laplacianos tienen F como autofunción; esto asegura que F tiene excelentes propiedades analíticas, pero si es realmente una función analítica compleja depende del caso particular. La tercera condición es para manejar el caso en que G /Γ no es compacto pero tiene cúspides .

La formulación requiere la noción general de factor de automorfía j para Γ, que es un tipo de 1- cociclo en el lenguaje de la cohomología de grupos . Los valores de j pueden ser números complejos, o de hecho matrices cuadradas complejas, lo que corresponde a la posibilidad de formas automórficas con valores vectoriales. La condición de cociclo impuesta al factor de automorfía es algo que se puede verificar rutinariamente, cuando j se deriva de una matriz jacobiana , mediante la regla de la cadena .

Una definición más directa, aunque técnicamente avanzada, que utiliza la teoría de cuerpos de clases , construye formas automórficas y sus funciones correspondientes como incrustaciones de grupos de Galois a sus extensiones de cuerpos globales subyacentes . En esta formulación, las formas automórficas son ciertos invariantes finitos, que se mapean desde el grupo de clases idele bajo la ley de reciprocidad de Artin . Aquí, la estructura analítica de su función L permite generalizaciones con diversas propiedades algebraico-geométricas ; y el programa de Langlands resultante . En resumen, las formas automórficas desde esta perspectiva general son funcionales analíticos que cuantifican la invariancia de los cuerpos numéricos en el sentido más abstracto, indicando así la «primitividad» de su estructura fundamental . Esto proporciona una poderosa herramienta matemática para analizar las construcciones invariantes de prácticamente cualquier estructura numérica.

Resulta difícil obtener ejemplos de formas automórficas en un estado explícito no abstracto, aunque algunas poseen propiedades directamente analíticas:

- La serie de Eisenstein (que es una forma modular prototípica ) sobre ciertas extensiones de campo como grupos abelianos .

- Generalizaciones específicas de las funciones L de Dirichlet como objetos de la teoría de campos de clases .

- Generalmente cualquier objeto analítico armónico como un functor sobre grupos de Galois que es invariante en su grupo de clases ideales (o idele ).

Como principio general, las formas automórficas pueden considerarse funciones analíticas sobre estructuras abstractas , que son invariantes respecto a un análogo generalizado de su ideal primo (o una representación fundamental irreducible abstracta ). Como se mencionó, las funciones automórficas pueden verse como generalizaciones de formas modulares (como curvas elípticas ), construidas mediante algún análogo de la función zeta sobre una estructura automórfica . En el sentido más simple, las formas automórficas son formas modulares definidas sobre grupos de Lie generales ; debido a sus propiedades de simetría. Por lo tanto, en términos más simples, una función general que analiza la invariancia de una estructura respecto a su 'morfología' prima .

Antes de que se propusiera este marco general (alrededor de 1960), ya se habían producido importantes avances en formas automórficas distintas de las modulares. El caso de Γ, un grupo fuchsiano, ya había recibido atención antes de 1900 (véase más adelante). Las formas modulares de Hilbert (también llamadas formas de Hilbert-Blumenthal) se propusieron poco después, aunque la teoría completa tardó en llegar. Las formas modulares de Siegel , para las cuales G es un grupo simpléctico , surgieron de forma natural al considerar espacios de módulos y funciones theta . El interés de la posguerra en varias variables complejas hizo natural explorar la idea de la forma automórfica en los casos en que las formas son, de hecho, analíticas complejas. Se realizó un gran trabajo, en particular por Ilya Piatetski-Shapiro , en los años cercanos a 1960, para crear dicha teoría. La teoría de la fórmula de traza de Selberg , tal como la aplicaron otros, demostró la considerable profundidad de la teoría. Robert Langlands demostró cómo (en general, dado que se conocen muchos casos particulares) el teorema de Riemann-Roch podía aplicarse al cálculo de dimensiones de formas automorfas; esto constituye una especie de verificación a posteriori de la validez del concepto. También desarrolló la teoría general de las series de Eisenstein , que corresponde a lo que en términos de teoría espectral sería el «espectro continuo» para este problema, dejando la forma cúspide o parte discreta para investigar. Desde el punto de vista de la teoría de números, las formas cúspides habían sido reconocidas, desde Srinivasa Ramanujan , como el núcleo de la cuestión.

La noción subsiguiente de "representación automórfica" ha demostrado ser de gran valor técnico al tratar con G , un grupo algebraico , considerado como un grupo algebraico adélico . No incluye completamente la idea de forma automórfica introducida anteriormente, ya que el enfoque adélico es una manera de tratar toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Dentro de un espacio L2 para un cociente de la forma adélica de G , una representación automórfica es una representación que es un producto tensorial infinito de representaciones de ^grupos p-ádicos , con representaciones de álgebra envolvente específicas para el/los primo(s) infinito (s). Una forma de expresar el cambio de énfasis es que los operadores de Hecke se colocan aquí, en efecto, al mismo nivel que los operadores de Casimir; lo cual es natural desde el punto de vista del análisis funcional , aunque no tan obvio para la teoría de números. Este concepto es fundamental para la formulación de la filosofía de Langlands .

Uno de los primeros descubrimientos de Poincaré en matemáticas, que data de la década de 1880, fueron las formas automorfas. Las denominó funciones fuchsianas, en honor al matemático Lazarus Fuchs , conocido por ser un buen profesor y por sus investigaciones sobre ecuaciones diferenciales y la teoría de funciones. Poincaré desarrolló el concepto de estas funciones como parte de su tesis doctoral. Según la definición de Poincaré, una función automorfa es analítica en su dominio e invariante bajo un grupo discreto infinito de transformaciones fraccionarias lineales. Las funciones automorfas generalizan, por lo tanto, tanto las funciones trigonométricas como las elípticas .

Poincaré explica cómo descubrió las funciones fuchsianas:

Durante quince días me esforcé por demostrar que no podían existir funciones como las que desde entonces he llamado funciones fuchsianas. Era entonces muy ignorante; cada día me sentaba en mi mesa de trabajo, permanecía allí una o dos horas, probaba un gran número de combinaciones y no llegaba a ningún resultado. Una noche, contrariamente a mi costumbre, tomé café solo y no pude dormir. Las ideas surgieron en masa; sentí cómo chocaban hasta que, por así decirlo, se entrelazaron, formando una combinación estable. A la mañana siguiente ya había establecido la existencia de una clase de funciones fuchsianas, las que provienen de la serie hipergeométrica ; solo tuve que escribir los resultados, lo que me llevó apenas unas horas.

• Factor automórfico
• Función automórfica
• forma de cúspide de Maass
• Formas automorfas en GL(2) , un libro de H. Jacquet y Robert Langlands.
• Jacobi forma

• Stephen Gelbart (1975), "Formas automórficas en grupos Adele", ISBN 9780608066042
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