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Función de altura

Una función de altura es una función que cuantifica la complejidad de los objetos matemáticos. En geometría diofántica , las funciones de altura cuantifican el tamaño de las sol...

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Una función de altura es una función que cuantifica la complejidad de los objetos matemáticos. En geometría diofántica , las funciones de altura cuantifican el tamaño de las soluciones de ecuaciones diofánticas y suelen ser funciones de un conjunto de puntos en variedades algebraicas (o un conjunto de variedades algebraicas) a los números reales . [ 1 ]

Por ejemplo, la altura clásica o ingenua sobre los números racionales se define típicamente como el máximo de los numeradores y denominadores de las coordenadas (por ejemplo, 7 para las coordenadas (3/7, 1/2) ), pero en una escala logarítmica .

Significado

Las funciones de altura permiten a los matemáticos contar objetos, como puntos racionales , que de otro modo serían infinitos en cantidad. Por ejemplo, el conjunto de números racionales de altura ingenua (el máximo del numerador y el denominador expresados ​​en su mínima expresión ) por debajo de cualquier constante dada es finito a pesar de que el conjunto de números racionales sea infinito. [ 2 ] En este sentido, las funciones de altura pueden usarse para demostrar resultados asintóticos como el teorema de Baker en la teoría de números trascendentales , que fue demostrado por Alan Baker ( 1966 , 1967a , 1967b ) . 

En otros casos, las funciones de altura pueden distinguir algunos objetos en función de su complejidad. Por ejemplo, el teorema del subespacio demostrado por Wolfgang M. Schmidt ( 1972 ) demuestra que los puntos de poca altura (es decir, de poca complejidad) en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos y generaliza el teorema de Siegel sobre puntos integrales y solución de la ecuación de la unidad S. [ 3 ] 

Las funciones de altura fueron cruciales para las demostraciones del teorema de Mordell-Weil y del teorema de Faltings por Weil ( 1929 ) y Faltings ( 1983 ) , respectivamente. Varios problemas pendientes sobre las alturas de puntos racionales en variedades algebraicas, como la conjetura de Manin y la conjetura de Vojta , tienen implicaciones de gran alcance para problemas de aproximación diofántica , ecuaciones diofánticas , geometría aritmética y lógica matemática . [ 4 ] [ 5 ]  

Historia

Una forma temprana de función de altura fue propuesta por Giambattista Benedetti (c. 1563), quien argumentó que la consonancia de un intervalo musical podía medirse por el producto de su numerador y denominador (en forma reducida); véase Giambattista Benedetti §  Música .

Las alturas en geometría diofántica fueron desarrolladas inicialmente por André Weil y Douglas Northcott a partir de la década de 1920. [ 6 ] Las innovaciones de la década de 1960 fueron la altura de Néron-Tate y la constatación de que las alturas estaban vinculadas a representaciones proyectivas de manera muy similar a como lo están los haces de líneas amplios en otras partes de la geometría algebraica . En la década de 1970, Suren Arakelov desarrolló las alturas de Arakelov en la teoría de Arakelov . [ 7 ] En 1983, Faltings desarrolló su teoría de las alturas de Faltings en su demostración del teorema de Faltings. [ 8 ]

Funciones de altura en geometría diofántica

Altura ingenua

La altura clásica o ingenua se define en términos del valor absoluto ordinario en coordenadas homogéneas . Típicamente es una escala logarítmica y, por lo tanto, puede considerarse proporcional a la "complejidad algebraica" o al número de bits necesarios para almacenar un punto. [ 2 ] Generalmente se define como el logaritmo del valor absoluto máximo del vector de enteros coprimos obtenido al multiplicar por un mínimo común denominador . Esto puede usarse para definir la altura de un punto en el espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, a partir de la altura de su polinomio mínimo. [ 9 ]

La altura ingenua de un número racional x = p / q (en su mínima expresión) es

  • altura multiplicativaH(pag/q)=máximo{|pag|,|q|}{\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}
  • altura logarítmica:h(pag/q)=registro⁡H(pag/q){\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}[ 10 ]

Por lo tanto, las alturas multiplicativas y logarítmicas ingenuas de 4/10 son 5 y log(5) , por ejemplo.

La altura ingenua H de una curva elíptica E dada por y 2 = x 3 + Ax + B se define como H(E) = log max(4 | A | 3 , 27 | B | 2 ) .

Altura de Nerón-Tate

La altura de Néron-Tate , o altura canónica , es una forma cuadrática en el grupo de Mordell-Weil de puntos racionales de una variedad abeliana definida sobre un cuerpo global . Recibe su nombre de André Néron , quien la definió por primera vez como una suma de alturas locales, [ 11 ] y de John Tate , quien la definió globalmente en un trabajo inédito. [ 12 ]

Altura de Weil

Sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo numérico K. Sea L un fibrado lineal sobre X. La altura de Weil sobre X con respecto a L se define de la siguiente manera.

Primero, supongamos que L es muy amplio . Una elección de base del espacioΓ(incógnita,L){\displaystyle \Gamma (X,L)}de secciones globales define un morfismo ϕ de X al espacio proyectivo, y para todos los puntos p en X , se define hL(pag):=h(ϕ(pag)){\displaystyle h_{L}(p):=h(\phi (p))}, donde h es la altura ingenua en el espacio proyectivo. [ 13 ] [ 14 ] Para X y L fijos , elegir una base diferente de secciones globales cambiahL{\displaystyle h_{L}}, pero solo mediante una función acotada de p . Por lo tantohL{\displaystyle h_{L}}está bien definido salvo la adición de una función que es O(1) .

En general, se puede escribir L como la diferencia de dos haces de líneas muy amplios L 1 y L 2 en X y definirhL:=hL1−hL2,{\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},} que nuevamente está bien definida hasta O(1) . [ 13 ] [ 14 ]

Altura de Arakelov

La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el cuerpo de los números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los cuerpos arquimedianos y la métrica usual en los cuerpos no arquimedianos . [ 15 ] [ 16 ] Es la altura usual de Weil equipada con una métrica diferente. [ 17 ]

Altura de Faltings

La altura de Faltings de una variedad abeliana definida sobre un cuerpo numérico es una medida de su complejidad aritmética. Se define en términos de la altura de un fibrado lineal metrizado . Fue introducida por Faltings ( 1983 ) en su demostración de la conjetura de Mordell . 

Funciones de altura en álgebra

Altura de un polinomio

Para un polinomio P de grado n dado por

PAG=a0+a1incógnita+a2incógnita2+⋯+anorteincógnitanorte,{\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}

La altura H ( P ) se define como el máximo de las magnitudes de sus coeficientes: [ 18 ]

H(PAG)=máximoi|ai|.{\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.}

De manera similar, se podría definir la longitud L ( P ) como la suma de las magnitudes de los coeficientes:

L(PAG)=∑i=0norte|ai|.{\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}

Relación con la medida de Mahler

La medida de Mahler M ( P ) de P es también una medida de la complejidad de P . [ 19 ] Las tres funciones H ( P ), L ( P ) y M ( P ) están relacionadas por las desigualdades

(norte⌊norte/2⌋)−1H(PAG)≤METRO(PAG)≤H(PAG)norte+1;{\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}
L(pag)≤2norteMETRO(pag)≤2norteL(pag);{\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}
H(pag)≤L(pag)≤(norte+1)H(pag){\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}

dónde(norte⌊norte/2⌋){\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}es el coeficiente binomial .

Funciones de altura en formas automórficas

Una de las condiciones en la definición de una forma automorfa en el grupo lineal general de un grupo algebraico adélico es el crecimiento moderado , que es una condición asintótica sobre el crecimiento de una función de altura en el grupo lineal general visto como una variedad afín . [ 20 ]

Otras funciones de altura

La altura de un número racional irreducible x = p / q , q > 0 es|pag|+q{\displaystyle |p|+q}(esta función se utiliza para construir una biyección entrenorte{\displaystyle \mathbb {N} }yQ{\displaystyle \mathbb {Q} }). [ 21 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Lang ( 1997 , págs. 43–67) 
  2. 1 2 Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 15–21) 
  3. ↑ Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 176–230) 
  4. ↑ Vojta ( 1987 ) 
  5. ↑ Faltings ( 1991 ) 
  6. ↑ Weil ( 1929 ) 
  7. ↑ Lang ( 1988 ) 
  8. ↑ Faltings ( 1983 ) 
  9. ↑ Baker y Wüstholz ( 2007 , p. 3) 
  10. ↑ Pregunta de MathOverflow: altura promedio de puntos racionales en una curva
  11. ↑ Nerón ( 1965 ) 
  12. ↑ Lang ( 1997 ) 
  13. 1 2 Silverman ( 1994 , III.10) 
  14. 1 2 Bombieri y Gubler ( 2006 , Secciones 2.2–2.4) 
  15. ↑ Bombieri y Gubler ( 2006 , págs. 66–67) 
  16. ^ Lang ( 1988 , págs. 156-157) 
  17. ↑ Fili, Petsche y Pritsker ( 2017 , pág. 441) 
  18. ↑ Borwein ( 2002 ) 
  19. ↑ Mahler ( 1963 ) 
  20. ↑ Bump ( 1998 ) 
  21. ↑ Kolmogorov y Fomin ( 1957 , p. 5) 

Fuentes

  • Baker, Alan (1966). "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. I". Mathematika . 13 (2): 204– 216. doi : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN 0025-5793 . MR 0220680 .  
  • Baker, Alan (1967a). "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. II". Mathematika . 14 : 102–107 . doi : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN 0025-5793 . MR 0220680 .  
  • Baker, Alan (1967b). "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. III". Mathematika . 14 (2): 220– 228. doi : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN 0025-5793 . MR 0220680 .  
  • Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol.  9. Cambridge University Press . p.  3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 . 
  • Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol.  4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 . 
  • Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . pp. 2 , 3, 14148. ISBN  0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 . 
  • Bump, Daniel (1998). Formas y representaciones automórficas . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Vol.  55. Cambridge University Press. pág.  300. ISBN 9780521658188.
  • Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Geometría aritmética . Nueva York: Springer. ISBN 0387963111.→ Contiene una traducción al inglés de Faltings (1983)
  • Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [ Teoremas de finitud para variedades abelianas en campos numéricos ] . Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349– 366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007/BF01388432 . SEÑOR 0718935 . S2CID 121049418 .  
  • Faltings, Gerd (1991). " Aproximación diofántica en variedades abelianas". Annals of Mathematics . 123 (3): 549– 576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319. MR 1109353 .  
  • Fili, Paul; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "Integrales de energía y puntos pequeños para la altura de Arakelov". Archiv der Mathematik . 109 (5): 441– 454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID 119161942 . 
  • Mahler, K. (1963). "Sobre dos propiedades extremas de los polinomios" . Illinois Journal of Mathematics . 7 (4): 681– 701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl 0117.04003 . 
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  • Schinzel, Andrzej (2000). Polinomios con especial atención a la reducibilidad . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  77. Cambridge: Cambridge University Press . p. 212. ISBN  0-521-66225-7. Zbl 0956.12001 . 
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  • Lang, Serge (1988). Introducción a la teoría de Arakelov . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. SEÑOR 0969124 . Zbl 0667.14001 .  
  • Lang, Serge (1997). Panorama general de la geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 . 
  • Weil, André (1929). "La aritmética sur les courbes algébriques" . Acta Matemática . 52 (1): 281– 315. doi : 10.1007/BF02592688 . SEÑOR 1555278 . 
  • Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8.
  • Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1239. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3. SEÑOR 0883451 . Zbl 0609.14011 .  
  • Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei (1957). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . Nueva York: Graylock Press.
  • Altura polinómica en Mathworld
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