Conjetura de Manin

En matemáticas , la conjetura de Manin describe la distribución hipotética de puntos racionales en una variedad algebraica con respecto a una función de altura adecuada . Fue propuesta por Yuri I. Manin y sus colaboradores ^{[ 1 ]} en 1989, cuando iniciaron un programa con el objetivo de describir la distribución de puntos racionales en variedades algebraicas adecuadas.

Su principal conjetura es la siguiente. Sea${\displaystyle V}$ ser una variedad de Fano definida sobre un campo numérico${\displaystyle K}$, dejar${\displaystyle H}$ sea ​​una función de altura relativa al divisor anticanónico y supongamos que ${\displaystyle V(K)}$ ¿Zariski es denso en?${\displaystyle V}$Entonces existe un subconjunto abierto de Zariski no vacío.${\displaystyle U\subset V}$ de tal manera que la función de conteo de${\displaystyle K}$-puntos racionales de altura limitada, definidos por

${\displaystyle N_{U,H}(B)=\#\{x\in U(K):H(x)\leq B\}}$

para${\displaystyle B\geq 1}$, satisface

${\displaystyle N_{U,H}(B)\sim cB(\log B)^{\rho -1},}$

como${\displaystyle B\to \infty .}$ Aquí ${\displaystyle \rho }$ es el rango del grupo Picard de${\displaystyle V}$ y${\displaystyle c}$ es una constante positiva que posteriormente recibió una interpretación conjetural por parte de Peyre. ^{[ 2 ]}

La conjetura de Manin se ha demostrado para familias especiales de variedades, ^{[ 3 ]} pero sigue abierta en general.