Unidad S

En matemáticas , en el campo de la teoría algebraica de números , una unidad S generaliza la idea de unidad del anillo de enteros del cuerpo. Muchos de los resultados que son válidos para las unidades también lo son para las unidades S.

Sea K un cuerpo numérico con anillo de enteros R. Sea S un conjunto finito de ideales primos de R. Un elemento x de K es una unidad S si el ideal fraccionario principal ( x ) es un producto de primos en S (elevados a potencias positivas o negativas). Para el anillo de enteros racionales Z , se puede tomar S como un conjunto finito de números primos y definir una unidad S como un número racional cuyo numerador y denominador son divisibles solo por los primos en S.

Las unidades S forman un grupo multiplicativo que contiene las unidades de R.

El teorema de la unidad de Dirichlet se cumple para las S- unidades: el grupo de S -unidades es finitamente generado , con rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a r + s , donde r es el rango del grupo de unidades y s = | S |.

La ecuación de la unidad S es una ecuación diofántica.

u + v = 1

con u y v restringidos a ser S -unidades de K (o más generalmente, elementos de un subgrupo finitamente generado del grupo multiplicativo de cualquier cuerpo de característica cero). El número de soluciones de esta ecuación es finito ^{[ 1 ]} y las soluciones se determinan efectivamente utilizando estimaciones para formas lineales en logaritmos como se desarrolla en la teoría de números trascendentales . Una variedad de ecuaciones diofánticas son reducibles en principio a alguna forma de la ecuación de la unidad S : un ejemplo notable es el teorema de Siegel sobre puntos enteros en curvas elípticas , y más generalmente curvas superelípticas de la forma y ⁿ = f ( x ).

En el software SageMath se encuentra disponible un solucionador computacional para la ecuación ^de la unidad S. [ ^{2 ]}

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