Función zeta de altura

En matemáticas, la función zeta de altura de una variedad algebraica o, más generalmente, de un subconjunto de una variedad, codifica la distribución de puntos de una altura dada .

Si S es un conjunto con función de altura H , tal que solo hay un número finito de elementos de altura acotada, defina una función de conteo.

${\displaystyle N(S,H,B)=\#\{x\in S:H(x)\leq B\}.}$

y una función zeta

${\displaystyle Z(S,H;s)=\sum _{x\in S}H(x)^{-s}.}$

Si Z tiene abscisa de convergencia β y existe una constante c tal que N tiene una tasa de crecimiento

${\displaystyle N\sim cB^{a}(\log B)^{t-1}}$

Entonces se cumple una versión del teorema de Wiener-Ikehara : Z tiene un polo t -ésimo en s = β con residuo c . a .Γ( t ).

La abscisa de convergencia tiene propiedades formales similares al invariante de Nevanlinna y se conjetura que son esencialmente lo mismo. Más precisamente, Batyrev-Manin conjeturó lo siguiente. ^{[ 1 ]} Sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo numérico K con divisor amplio D que da lugar a una incrustación y función de altura H , y sea U un subconjunto Zariski-abierto de X . Sea α = α ( D ) el invariante de Nevanlinna de D y β la abscisa de convergencia de Z ( U , H ; s ). Entonces para cada ε > 0 hay un U tal que β < α + ε : en la dirección opuesta, si α > 0 entonces α = β para todos los cuerpos K suficientemente grandes y U suficientemente pequeños .           

• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023 . 
• Lang, Serge (1997). Panorama general de la geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .