Factor automórfico

En matemáticas , un factor automorfo es un tipo específico de función analítica , definida en subgrupos de SL(2,R) , que aparece en la teoría de formas modulares . El caso general, para grupos generales, se analiza en el artículo « Factor de automorfismo ».

Un factor automorfo de peso k es una función $${\displaystyle \nu$$ :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} } que satisface las cuatro propiedades que se indican a continuación. Aquí, la notación${\displaystyle \mathbb {H} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$se refieren al semiplano superior y al plano complejo , respectivamente. La notación${\displaystyle \Gamma }$es un subgrupo de SL(2,R), como por ejemplo un grupo fuchsiano . Un elemento${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$es una matriz de 2×2 $${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$$ con a , b , c , d números reales, que satisfacen ad − bc = 1.

Un factor automórfico debe satisfacer:

1. Para un fijo${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$, la función${\displaystyle \nu (\gamma,z)}$es una función holomorfa de${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.
2. A pesar de${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$y${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$, uno tiene$${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$$para un número real fijo k .
3. A pesar de${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$y${\displaystyle \gamma ,\delta \en \Gamma }$, uno tiene$${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$Aquí,${\displaystyle \delta z}$es la transformada lineal fraccionaria de${\displaystyle z}$por${\displaystyle \delta }$.
4. Si${\displaystyle -I\in \Gamma }$, entonces para todos${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$y${\displaystyle \gamma \en \Gamma }$, uno tiene$${\displaystyle \nu (-\gamma,z)=\nu (\gamma,z)}$$Aquí, I denota la matriz identidad .

Cada factor automórfico puede escribirse como

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

con

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

La función${\displaystyle \upsilon$ :\Gamma \to S^{1}} se denomina sistema multiplicador . Claramente,

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$,

mientras, si${\displaystyle -I\in \Gamma }$, entonces

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

lo cual es igual a${\displaystyle (-1)^{k}}$cuando k es un número entero.

Existen factores automorfos no holomorfos del tipo

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{\alpha }(c{\bar {z}}+d)^{\beta }}$

dónde${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$son co-pesos arbitrarios. La condición$${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$se reduce a${\displaystyle \upsilon (\gamma \delta )=\upsilon (\gamma )\upsilon (\delta )}$si${\displaystyle \alpha -\beta \in \mathbb {Z} }$.

Si${\displaystyle \Gamma =SL_{2}(\mathbb {Z} )}$es el grupo modular y${\displaystyle \Re \alpha ,\Re \beta \in [0,1)}$, entonces existe un sistema multiplicador tal que

${\displaystyle \upsilon \left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=e^{i{\frac {\pi }{6}}(\alpha -\beta )}\quad ,\quad \upsilon \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )}}$

Para${\displaystyle \eta (z)}$la función eta de Dedekind , la forma modular${\displaystyle f_{\alpha ,\beta }(z)=\eta (z)^{2\alpha }{\overline {\eta (z)^{2{\overline {\beta }}}}}}$es tal que${\displaystyle f_{\alpha ,\beta }(\gamma (z))=\nu (\gamma ,z)f_{\alpha ,\beta }(z)}$para cualquier${\displaystyle \gamma \in SL_{2}(\mathbb {Z} )}$.

• Robert Rankin , Formas y funciones modulares , (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X( El capítulo 3 está dedicado íntegramente a los factores automorfos del grupo modular).
• Pasles, Paul C. (2003), "Sistemas multiplicadores" , Acta Arithmetica , 108 (3): 235– 243, ISSN 0065-1036 ( Para la generalización compleja.)