Involución (matemáticas)

La gráfica de una involución (sobre los números reales) es simétrica respecto a la recta y = x . Esto se debe a que la inversa de cualquier función general es su reflexión respecto a la recta y = x . Esto se puede comprobar intercambiando x con y . Si, en particular, la función es una involución , entonces su gráfica es su propia reflexión.

Algunos ejemplos básicos de involuciones incluyen las funciones $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}f(x)&=ax\;,\\f(x)&={\frac {b}{xa}}+a\end{alignedat}}}$$Además, podemos construir una involución envolviendo una involución g en una biyección h y su inversa (${\displaystyle h^{-1}\circ g\circ h}$). Por ejemplo  :$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}\quad {\textrm {en}}\;[0;1]&{\bigl (}g(x)=1-x\quad {\textrm {y}}\quad h(x)=x^{2}{\bigr )},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&{\bigl (}g(x)={\frac {x+1}{x-1}}={\frac {2}{x-1}}+1\quad {\textrm {y}}\quad h(x)=e^{x}{\bigr )}\\\end{alignedat}}}$$

Un ejemplo sencillo de involución del espacio euclidiano tridimensional es la reflexión a través de un plano . Al realizar una reflexión dos veces, un punto regresa a sus coordenadas originales.

Otra involución es la reflexión a través del origen ; no una reflexión en el sentido anterior, y por lo tanto, un ejemplo distinto.

Estas transformaciones son ejemplos de involuciones afines .

Una involución es una proyectividad de periodo 2, es decir, una proyectividad que intercambia pares de puntos. ^{[ 6 ] : 24}

• Cualquier proyectividad que intercambie dos puntos es una involución.
• Los tres pares de lados opuestos de un cuadrilátero completo se intersecan con cualquier recta (que no pase por un vértice) en tres pares de una involución. De forma más general, dados cuatro puntos y cualquier recta que no pase por ninguno de ellos, existe una involución proyectiva que intercambia cualquier punto de esta recta con la segunda intersección de la cónica (posiblemente degenerada) que pasa por el punto dado y los otros cuatro. Este resultado se conoce como el Teorema de Involución de Desargues . ^{[ 7 ]} Sus orígenes se pueden observar en el Lema IV de los lemas a los Porismos de Euclides en el Volumen VII de la Colección de Pappus de Alejandría . ^{[ 8 ]}
• Si una involución tiene un punto fijo y no es la identidad, tiene otro y consiste en la correspondencia entre conjugados armónicos con respecto a estos dos puntos. En este caso, la involución se denomina "hiperbólica", mientras que si no hay puntos fijos es "elíptica". En el contexto de las proyectividades, los puntos fijos se denominan puntos dobles . ^{[ 6 ] : 53}

Otro tipo de involución que ocurre en la geometría proyectiva es una polaridad que es una correlación de período 2. ^{[ 9 ]}

En álgebra lineal, una involución es un operador lineal T en un espacio vectorial, tal que T² = I. Excepto en característica 2, estos operadores son diagonalizables para una base dada con solo ¹ y -1 en la diagonal de la matriz correspondiente. Si el operador es ortogonal (una involución ortogonal ) , es ortonormalmente diagonalizable.

Por ejemplo, supongamos que se elige una base para un espacio vectorial V , y que e ₁ y e ₂ son elementos de la base. Existe una transformación lineal f que envía e ₁ a e ₂ y e ₂ a e ₁ , y que es la identidad en todos los demás vectores de la base. Se puede comprobar que f ( f ( x )) = x para todo x en V . Es decir, f es una involución de V .

Para una base específica, cualquier operador lineal puede representarse mediante una matriz T. Toda matriz tiene una transpuesta , obtenida al intercambiar filas por columnas. Esta transposición es una involución del conjunto de matrices. Dado que la conjugación compleja elemento a elemento es una involución independiente, la transpuesta conjugada o adjunta hermitiana también es una involución.

La definición de involución se extiende fácilmente a los módulos . Dado un módulo M sobre un anillo R , un endomorfismo f de M sobre R se llama involución si f ² es el homomorfismo identidad en M.

Las involuciones están relacionadas con los idempotentes ; si 2 es invertible, entonces se corresponden de manera biunívoca.

En análisis funcional , las *-álgebras de Banach y las C*-álgebras son tipos especiales de álgebras de Banach con involuciones.

En un álgebra de cuaterniones , una (anti)involución se define mediante los siguientes axiomas: si consideramos una transformación${\displaystyle x\mapsto f(x)}$entonces es una involución si

• ${\displaystyle f(f(x))=x}$(es su propio inverso)
• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$y${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$(es lineal)
• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

Una antiinvolución no obedece al último axioma, sino que

• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

Esta antigua ley a veces se denomina antidistributiva . También aparece en grupos como ( xy ) ^⁻¹ = ( y ) ^⁻¹ ( x ) ^⁻¹ . Tomada como axioma, conduce a la noción de semigrupo con involución , de la cual existen ejemplos naturales que no son grupos, por ejemplo la multiplicación de matrices cuadradas (es decir, el monoide lineal completo ) con la transpuesta como involución.

En teoría de anillos , el término involución se suele usar para referirse a un antihomomorfismo que es su propia función inversa. Ejemplos de involuciones en anillos comunes incluyen la conjugación compleja en el plano complejo , su equivalente en los números complejos divididos y la operación de transposición en un anillo de matrices.

Cuando R es un anillo conmutativo y A es un álgebra sobre R , entonces una antiinvolución σ en A es una involución estándar si deja R fijo en A y satisface

${\displaystyle \forall a\in A\ \ \sigma (a)+a\in R\ \ {\text{y}}\ \ a\sigma (a)\in R.}$^{[ 10 ] [ 11 ]}

En teoría de grupos , un elemento de un grupo es una involución si tiene orden 2; es decir, una involución es un elemento a tal que a ≠ e y a ² = e , donde e es el elemento identidad . ^{[ 12 ]} Originalmente, esta definición coincidía con la primera definición anterior, ya que los miembros de los grupos siempre eran biyecciones de un conjunto en sí mismo; es decir, se entendía que grupo significaba grupo de permutaciones . A finales del siglo XIX, grupo se definió de forma más amplia, y en consecuencia también lo hizo involución .

Una permutación es una involución si y solo si puede escribirse como un producto finito de transposiciones disjuntas .

Las involuciones de un grupo tienen un gran impacto en la estructura del grupo. El estudio de las involuciones fue fundamental para la clasificación de los grupos simples finitos .

Un elemento x de un grupo G se denomina fuertemente real si existe una involución t tal que x ^t = x ⁻¹ (donde x ^t = x ⁻¹ = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).  

Los grupos de Coxeter son grupos generados por un conjunto S de involuciones sujetas únicamente a relaciones que involucran potencias de pares de elementos de S. Los grupos de Coxeter pueden usarse, entre otras cosas, para describir los posibles poliedros regulares y sus generalizaciones a dimensiones superiores .

La operación de complemento en las álgebras booleanas es una involución. En consecuencia, la negación en la lógica clásica satisface la ley de la doble negación : ¬¬ A es equivalente a A .

En general, en las lógicas no clásicas , la negación que satisface la ley de la doble negación se denomina involutiva . En la semántica algebraica , dicha negación se realiza como una involución en el álgebra de valores de verdad . Ejemplos de lógicas que poseen negación involutiva son las lógicas trivalentes de Kleene y Bochvar , la lógica multivalente de Łukasiewicz , la lógica difusa « lógica t-norma monoidal involutiva » (IMTL), etc. La negación involutiva se añade a veces como un conector adicional a lógicas con negación no involutiva; esto es habitual, por ejemplo, en las lógicas difusas t-norma .

La involutividad de la negación es una propiedad de caracterización importante para las lógicas y las variedades de álgebras correspondientes . Por ejemplo, la negación involutiva caracteriza las álgebras booleanas entre las álgebras de Heyting . De manera similar, la lógica booleana clásica surge al añadir la ley de la doble negación a la lógica intuicionista . La misma relación se cumple también entre las álgebras MV y las álgebras BL (y, por consiguiente, entre la lógica de Łukasiewicz y la lógica difusa BL ), IMTL y MTL , y otros pares de variedades importantes de álgebras (y, respectivamente, sus lógicas correspondientes).

En el estudio de las relaciones binarias , toda relación tiene una relación recíproca . Dado que la recíproca de la recíproca es la relación original, la operación de conversión es una involución en la categoría de relaciones . Las relaciones binarias se ordenan mediante la inclusión . Si bien este orden se invierte con la involución de complementación , se conserva bajo la conversión.

La operación XOR bit a bit con un valor dado para un parámetro es una involución del otro parámetro. En algunos casos, se utilizaron máscaras XOR para dibujar gráficos sobre imágenes de tal manera que al dibujarlos dos veces sobre el fondo, este vuelve a su estado original.

Dos casos especiales de esto, que también son involuciones, son la operación NOT bit a bit , que es XOR con un valor de todos unos, y el cifrado de flujo , que es un XOR con una secuencia de clave secreta .

Esto es anterior a las computadoras binarias; prácticamente todas las máquinas de cifrado mecánicas implementan un cifrado recíproco , una involución en cada letra tecleada. En lugar de diseñar dos tipos de máquinas, una para cifrar y otra para descifrar, todas las máquinas pueden ser idénticas y configurarse (con clave) de la misma manera. ^{[ 13 ]}

Otra involución utilizada en computadoras es una permutación bit a bit de orden 2. Por ejemplo, un valor de color almacenado como enteros en la forma ( R , G , B ) , podría intercambiar R y B , resultando en la forma ( B , G , R ) : f ( f (RGB)) = RGB, f ( f (BGR)) = BGR .

La transformación de Legendre , que convierte entre el lagrangiano y el hamiltoniano , es una operación involutiva.

La integrabilidad, una noción central de la física y, en particular, del subcampo de los sistemas integrables , está estrechamente relacionada con la involución, por ejemplo, en el contexto de la dualidad de Kramers-Wannier .