Función inversa

Recordemos que si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, por cada${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$por cada${\displaystyle y\in Y}$.

Utilizando la composición de funciones , esta afirmación se puede reescribir en las siguientes ecuaciones entre funciones:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

donde id _X es la función identidad en el conjunto X ; es decir, la función que deja su argumento sin cambios. En teoría de categorías , esta afirmación se utiliza como definición de un morfismo inverso .

Considerar la composición de funciones ayuda a comprender la notación f ⁻¹ . Componer repetidamente una función f : X → X consigo misma se llama iteración . Si f se aplica n veces, comenzando con el valor x , entonces esto se escribe como f ⁿ ( x ) ; por lo tanto f ² ( x ) = f ( f ( x )) , etc. Dado que f ⁻¹ ( f ( x )) = x , componer f ⁻¹ y f ⁿ produce f ^{n −1} , "deshaciendo" el efecto de una aplicación de f .

Aunque la notación f ⁻¹ ( x ) podría malinterpretarse, ^{[ 1 ]} ( f ( x )) ⁻¹ ciertamente denota el inverso multiplicativo de f ( x ) y no tiene nada que ver con la función inversa de f . ^{[ 6 ]} La notación${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$podría utilizarse para la función inversa para evitar ambigüedad con el inverso multiplicativo . ^{[ 7 ]}

De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses usan expresiones como sin ⁻¹ ( x ) para denotar la inversa de la función seno aplicada a x (en realidad una inversa parcial ; ver más abajo). ^{[ 8 ] [ 6 ]} Otros autores consideran que esto puede confundirse con la notación para la inversa multiplicativa de sin ( x ) , que puede denotarse como (sin ( x )) ⁻¹ . ^{[ 6 ]} Para evitar cualquier confusión, una función trigonométrica inversa a menudo se indica con el prefijo " arc " (del latín arcus ). ^{[ 9 ] [ 10 ]} Por ejemplo, la inversa de la función seno se llama típicamente función arcoseno , escrita como arcsin ( x ) . ^{[ 9 ] [ 10 ]} De manera similar, la inversa de una función hiperbólica se indica con el prefijo " ar " (del latín ārea ). ^{[ 10 ]} Por ejemplo, la inversa de la función seno hiperbólico se escribe típicamente como arsinh ( x ) . ^{[ 10 ]} Las expresiones como sin ⁻¹ ( x ) aún pueden ser útiles para distinguir la inversa multivaluada de la inversa parcial:${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$Otras funciones especiales inversas a veces se anteponen con el prefijo "inv", si se quiere evitar la ambigüedad de la notación f ^{−1 . [ 11 ] [ 10 ]}

La función f : R → [0,∞) dada por f ( x ) = x ² no es inyectiva porque${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$Por lo tanto, f no es invertible.

Si el dominio de la función está restringido a los números reales no negativos, es decir, tomamos la función${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$Con la misma regla que antes, la función es biyectiva y, por lo tanto, invertible. ^{[ 12 ]} La función inversa aquí se llama función raíz cuadrada (positiva) y se denota por${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$.

La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:

Muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas poseen una fórmula para su inversa. Esto se debe a que la inversa${\displaystyle f^{-1}}$de una función invertible${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$tiene una descripción explícita como

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$.

Esto permite determinar fácilmente las inversas de muchas funciones que se dan mediante fórmulas algebraicas. Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

luego determinar${\displaystyle f^{-1}(y)}$Para un número real y , se debe encontrar el único número real x tal que ( 2x + 8) ^³ = y . Esta ecuación se puede resolver:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función inversa f ⁻¹ viene dada por la fórmula

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

A veces, la inversa de una función no se puede expresar mediante una fórmula cerrada . Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

Entonces f es una biyección y, por lo tanto, posee una función inversa f ⁻¹ . La fórmula para esta inversa tiene una expresión como suma infinita:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Si existe una función inversa para una función f dada , entonces es única. ^{[ 13 ]} Esto se deduce ya que la función inversa debe ser la relación recíproca, que está completamente determinada por f .

Existe una simetría entre una función y su inversa. Específicamente, si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces su inversa f ⁻¹ tiene dominio Y e imagen X , y la inversa de f ⁻¹ es la función original f . En símbolos, para las funciones f : X → Y y f ⁻¹ : Y → X , ^{[ 13 ]}

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$y${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Esta afirmación es consecuencia de la implicación de que para que f sea invertible debe ser biyectiva. La naturaleza involutiva de la inversa puede expresarse concisamente mediante ^{[ 14 ].}

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

La inversa de una composición de funciones viene dada por ^{[ 15 ].}

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Observe que el orden de g y f se ha invertido; para deshacer f seguido de g , primero debemos deshacer g y luego deshacer f .

Por ejemplo, sea f ( x ) = 3 x y sea g ( x ) = x + 5 . Entonces la composición g ∘ f es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Para revertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir por tres.

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Esta es la composición ( f ⁻¹ ∘ g ⁻¹ )( x ) .

Si X es un conjunto, entonces la función identidad en X es su propia inversa:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

En términos más generales, una función f : X → X es igual a su propia inversa, si y solo si la composición f ∘ f es igual a id _X . Dicha función se denomina involución . 

Si f es invertible, entonces la gráfica de la función

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

es lo mismo que la gráfica de la ecuación

${\displaystyle x=f(y).}$

Esto es idéntico a la ecuación y = f ( x ) que define la gráfica de f , excepto que los roles de x e y se han invertido. Por lo tanto, la gráfica de f ⁻¹ se puede obtener a partir de la gráfica de f intercambiando las posiciones de los ejes x e y . Esto es equivalente a reflejar la gráfica con respecto a la línea y = x . ^{[ 16 ] [ 1 ]}

Según el teorema de la función inversa , una función continua de una sola variable es una función continua.${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$(dónde${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$) es invertible en su rango (imagen) si y solo si es estrictamente creciente o decreciente (sin máximos ni mínimos locales ). Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

es invertible, ya que la derivada f ′ ( x ) = 3 x ² + 1 siempre es positiva.

Si la función f es diferenciable en un intervalo I y f ′ ( x ) ≠ 0 para cada x ∈ I , entonces la inversa f ⁻¹ es diferenciable en f ( I ) . ^{[ 17 ]} Si y = f ( x ) , la derivada de la inversa viene dada por el teorema de la función inversa,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Utilizando la notación de Leibniz, la fórmula anterior se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Este resultado se deduce de la regla de la cadena (véase el artículo sobre funciones inversas y diferenciación ).

El teorema de la función inversa puede generalizarse a funciones de varias variables. Específicamente, una función multivariable continuamente diferenciable f : R ⁿ → R ⁿ es invertible en un entorno de un punto p siempre que la matriz jacobiana de f en p sea invertible . En este caso, la matriz jacobiana de f ⁻¹ en f ( p ) es la matriz inversa de la matriz jacobiana de f en p .

Aunque una función f no sea biyectiva, puede ser posible definir una inversa parcial de f restringiendo el dominio . Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

no es inyectiva, ya que x ² = (− x ) ² . Sin embargo, la función se vuelve inyectiva si nos restringimos al dominio x ≥ 0 , en cuyo caso

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Si en cambio nos restringimos al dominio x ≤ 0 , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de y .)

Alternativamente, no es necesario restringir el dominio si nos conformamos con que la inversa sea una función multivaluada :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

A veces, esta inversa multivaluada se llama la inversa completa de f , y las porciones (como √ x y − √ x ) se llaman ramas . La rama más importante de una función multivaluada (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se llama rama principal , y su valor en y se llama valor principal de f ⁻¹ ( y ) .

Para una función continua en la recta real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales . Por ejemplo, la inversa de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (véase la imagen adjunta).

Las consideraciones anteriores son particularmente importantes para definir las inversas de las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno no es biyectiva, ya que

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

para todo x real (y más generalmente sin( x + 2 π n ) = sin( x ) para todo entero n ). Sin embargo, el seno es biyectivo en el intervalo [ − ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ] , y su inversa parcial correspondiente se llama arcoseno . Esta se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre − ⁠ π / 2 ⁠ y ⁠ π / 2 ⁠ . La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa: ^{[ 19 ]}

La composición de funciones a la izquierda y a la derecha no tiene por qué coincidir. En general, las condiciones

1. "Existe g tal que g ( f ( x ))= x " y
2. "Existe g tal que f ( g ( x ))= x "

implican diferentes propiedades de f . Por ejemplo, sea f : R → [ 0, ∞) la aplicación de cuadrado, tal que f ( x ) = x ² para todo x en R , y sea g : [ 0, ∞) → R la aplicación de raíz cuadrada, tal que g ( x ) = √ x para todo x ≥ 0 . Entonces f ( g ( x )) = x para todo x en [ 0, ∞) ; es decir, g es una inversa derecha de f . Sin embargo, g no es una inversa izquierda de f , ya que, p. ej., g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Inversos derechos

Una inversa derecha de f (o sección de f ) es una función h : Y → X tal que

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

Es decir, la función h satisface la regla

Si${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$, entonces${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Por lo tanto, h ( y ) puede ser cualquiera de los elementos de X que se mapean a y bajo f .

Una función f tiene inversa derecha si y solo si es sobreyectiva (esta equivalencia se cumple si y solo si se cumple el axioma de elección ).

Si h es la inversa derecha de f , entonces f es sobreyectiva. Para todo${\displaystyle y\in Y}$, hay${\displaystyle x=h(y)}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$.

Si f es sobreyectiva, f tiene una inversa derecha h , que se puede construir de la siguiente manera: para todo${\displaystyle y\in Y}$, hay al menos uno${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=y}$(porque f es sobreyectiva), así que elegimos uno como valor de h ( y ) . ^{[ 23 ]}

Si f : X → Y es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa ) de un elemento y ∈ Y se define como el conjunto de todos los elementos de X que se mapean a y :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

La preimagen de y puede pensarse como la imagen de y bajo la inversa completa (multivaluada) de la función f .

La noción se puede generalizar a subconjuntos del rango. Específicamente, si S es cualquier subconjunto de Y , la preimagen de S , denotada por${\displaystyle f^{-1}(S)}$, es el conjunto de todos los elementos de X que se corresponden con S :

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Por ejemplo, consideremos la función f : R → R ; x ↦ x ² . Esta función no es invertible ya que no es biyectiva, pero se pueden definir preimágenes para subconjuntos del codominio, por ejemplo

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

La noción original y su generalización están relacionadas por la identidad.${\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\}),}$La preimagen de un solo elemento y ∈ Y – un conjunto unitario { y } – a veces se denomina fibra de y . Cuando Y es el conjunto de los números reales, es común referirse a f ⁻¹ ({ y }) como un conjunto de nivel .