Funciones hiperbólicas inversas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas inversas son las inversas de las funciones hiperbólicas , análogas a las funciones circulares inversas . Existen seis de uso común: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inversa, cosecante hiperbólica inversa, secante hiperbólica inversa y cotangente hiperbólica inversa. Se suelen representar con los símbolos de las funciones hiperbólicas, precedidos por el prefijo arc- o ar-, o con un superíndice.${\displaystyle {-1}}$(por ejemplo arcsinh , arsinh o${\displaystyle \sinh ^{-1}}$).

Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa proporciona la medida del ángulo hiperbólico correspondiente , por ejemplo${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$y${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$La medida del ángulo hiperbólico es la longitud de un arco de una hipérbola unitaria.${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$como se mide en el plano lorentziano ( no la longitud de un arco hiperbólico en el plano euclidiano ), y el doble del área del sector hiperbólico correspondiente . Esto es análogo a la forma en que la medida del ángulo circular es la longitud de arco de un arco del círculo unitario en el plano euclidiano o el doble del área del sector circular correspondiente . Alternativamente, el ángulo hiperbólico es el área de un sector de la hipérbola.${\displaystyle xy=1.}$Algunos autores llaman a las funciones hiperbólicas inversas funciones de área hiperbólicas . ^{[ 1 ]}

Las funciones hiperbólicas aparecen en el cálculo de ángulos y distancias en geometría hiperbólica . También se utilizan en la solución de numerosas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en diversas áreas de la física , incluyendo la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Los símbolos más antiguos y ampliamente adoptados utilizan el prefijo arc- (es decir: arcsinh , arccosh , arctanh , arcsech , arccsch , arccoth ), por analogía con las funciones circulares inversas ( arcsin , etc.). Para una hipérbola unitaria ("círculo lorentziano") en el plano lorentziano ( plano pseudoeuclidiano de signatura (1, 1) ) ^{[ 2 ]} o en el plano de números hiperbólicos , ^{[ 3 ]} la medida del ángulo hiperbólico (argumento de las funciones hiperbólicas) es de hecho la longitud de arco de un arco hiperbólico.

También es común la notación${\displaystyle \sinh ^{-1},}$${\displaystyle \cosh ^{-1},}$etc., ^{[ 4 ] [ 5 ]} aunque se debe tener cuidado para evitar interpretaciones erróneas del superíndice −1 como exponente. La convención estándar es que${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$o${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$significa la función inversa mientras${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$o${\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$significa lo recíproco${\displaystyle 1/\sinh x.}$Resulta especialmente inconsistente el uso convencional de superíndices enteros positivos para indicar un exponente en lugar de una composición de funciones , por ejemplo${\displaystyle \sinh ^{2}x}$convencionalmente significa${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$y no${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

Debido a que el argumento de las funciones hiperbólicas no es la longitud de arco de un arco hiperbólico en el plano euclidiano , algunos autores han condenado el prefijo arc- , argumentando que se debería preferir el prefijo ar- (de ' área ' ) o arg- (de ' argumento ' ). ^{[ 6 ]} Siguiendo esta recomendación, las abreviaturas del estándar ISO 80000-2 utilizan el prefijo ar- (es decir: arsinh , arcosh , artanh , arsech , arcsch , arcoth ).

En los lenguajes de programación informática, las funciones circulares inversas e hiperbólicas a menudo se nombran con el prefijo más corto a- ( asinh, etc.).

This article will consistently adopt the prefix ar- for convenience.

Since the hyperbolic functions are quadratic rational functions of the exponential function${\displaystyle \exp x,}$ they may be solved using the quadratic formula and then written in terms of the natural logarithm.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{o}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}$$

For complex arguments, the inverse circular and hyperbolic functions, the square root, and the natural logarithm are all multi-valued functions.

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$$

$${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$$

These formulas can be derived in terms of the derivatives of hyperbolic functions. For example, if ${\displaystyle x=\sinh \theta }$, then ${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$ so $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$$

Expansion series can be obtained for the above functions:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$ An asymptotic expansion for arsinh is given by

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$$

As functions of a complex variable, inverse hyperbolic functions are multivalued functions that are analytic except at a finite number of points. For such a function, it is common to define a principal value, which is a single valued analytic function which coincides with one specific branch of the multivalued function, over a domain consisting of the complex plane in which a finite number of arcs (usually half lines or line segments) have been removed. These arcs are called branch cuts. The principal value of the multifunction is chosen at a particular point and values elsewhere in the domain of definition are defined to agree with those found by analytic continuation.

For example, for the square root, the principal value is defined as the square root that has a positive real part. This defines a single valued analytic function, which is defined everywhere, except for non-positive real values of the variables (where the two square roots have a zero real part). This principal value of the square root function is denoted ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ in what follows. Similarly, the principal value of the logarithm, denoted ${\displaystyle \operatorname {Log} }$ in what follows, is defined as the value for which the imaginary part has the smallest absolute value. It is defined everywhere except for non-positive real values of the variable, for which two different values of the logarithm reach the minimum.

Para todas las funciones hiperbólicas inversas, el valor principal puede definirse en términos de los valores principales de la raíz cuadrada y la función logaritmo. Sin embargo, en algunos casos, las fórmulas de las  definiciones en términos de logaritmos no dan un valor principal correcto, ya que dan un dominio de definición demasiado pequeño y, en un caso, no conectado .

Representación gráfica

En la siguiente representación gráfica de los valores principales de las funciones hiperbólicas inversas, los cortes de rama aparecen como discontinuidades de color. El hecho de que todos los cortes de rama se presenten como discontinuidades indica que estos valores principales no pueden extenderse a funciones analíticas definidas sobre dominios mayores. En otras palabras, los cortes de rama definidos anteriormente son mínimos.

arsinh( z )

arcosh( z )

artanh( z )

arcoth( z )

arsech( z )

arcsch( z )

Funciones hiperbólicas inversas en el plano complejo z : el color en cada punto del plano representa el valor complejo de la función correspondiente en ese punto.

• logaritmo complejo
• distribución secante hiperbólica
• ISO 80000-2
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas

• Herbert Busemann y Paul J. Kelly (1953) Geometría proyectiva y métrica proyectiva , página 207, Academic Press .

• "Funciones hiperbólicas inversas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]