Dispersión estadística

En estadística , la dispersión (también llamada variabilidad , dispersión o amplitud ) es el grado en que una distribución se extiende o se comprime. ^{[ 1 ]} Ejemplos comunes de medidas de dispersión estadística son la varianza , la desviación estándar y el rango intercuartil . Por ejemplo, cuando la varianza de los datos en un conjunto es grande, los datos están ampliamente dispersos. Por otro lado, cuando la varianza es pequeña, los datos en el conjunto están agrupados.

La dispersión se contrapone a la tendencia central o de localización , y juntas son las propiedades más utilizadas de las distribuciones.

Una medida de dispersión estadística es un número real no negativo que es cero si todos los datos son iguales y aumenta a medida que los datos se vuelven más diversos.

La mayoría de las medidas de dispersión tienen las mismas unidades que la magnitud que se mide. En otras palabras, si las mediciones se expresan en metros o segundos, la medida de dispersión también lo hará. Algunos ejemplos de medidas de dispersión son:

• Desviación estándar
• Rango intercuartil (RIC)
• Rango
• Diferencia absoluta media (también conocida como diferencia absoluta media de Gini)
• Desviación absoluta mediana (DAM)
• Desviación absoluta media (o simplemente desviación media)
• Desviación estándar de la distancia

Estos se utilizan frecuentemente (junto con los factores de escala ) como estimadores de parámetros de escala , en cuyo caso se denominan estimaciones de escala. Las medidas de escala robustas son aquellas que no se ven afectadas por un pequeño número de valores atípicos e incluyen el rango intercuartílico (IQR) y la desviación absoluta media (MAD).

Todas las medidas de dispersión estadística anteriores tienen la útil propiedad de que son invariantes a la ubicación y lineales en escala . Esto significa que si una variable aleatoria${\displaystyle X}$tiene una dispersión de${\displaystyle S_{X}}$luego una transformación lineal${\displaystyle Y=aX+b}$verdadero​${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$debería tener dispersión${\displaystyle S_{Y}=|a|S_{X}}$, dónde${\displaystyle |a|}$es el valor absoluto de${\displaystyle a}$, es decir, ignora un signo negativo precedente${\displaystyle -}$.

Otras medidas de dispersión son adimensionales . En otras palabras, no tienen unidades, aunque la variable en sí las tenga. Estas incluyen:

• Coeficiente de variación
• Coeficiente de dispersión cuartil
• Diferencia media relativa , igual al doble del coeficiente de Gini.
• Entropía : Si bien la entropía de una variable discreta es invariante a la ubicación e independiente de la escala, y por lo tanto no es una medida de dispersión en el sentido anterior, la entropía de una variable continua es invariante a la ubicación y aditiva en la escala: Si${\displaystyle H(z)}$es la entropía de una variable continua${\displaystyle z}$y${\displaystyle z=ax+b}$, entonces${\displaystyle H(z)=H(x)+\log(a)}$.

Existen otras medidas de dispersión:

• Varianza (el cuadrado de la desviación estándar): invariante con respecto a la ubicación, pero no lineal con respecto a la escala.
• Relación varianza-media : se utiliza principalmente para datos de recuento cuando se emplea el término coeficiente de dispersión y cuando esta relación es adimensional , ya que los datos de recuento son en sí mismos adimensionales, no en otros casos.

Algunas medidas de dispersión tienen propósitos especializados. La varianza de Allan se puede utilizar para aplicaciones donde el ruido interrumpe la convergencia. ^{[ 2 ]} La varianza de Hadamard se puede utilizar para contrarrestar la sensibilidad a la deriva de frecuencia lineal. ^{[ 3 ]}

Para variables categóricas , es menos común medir la dispersión con un solo número; véase variación cualitativa . Una medida que lo hace es la entropía discreta .

En las ciencias físicas , dicha variabilidad puede deberse a errores de medición aleatorios: las mediciones de los instrumentos a menudo no son perfectamente precisas, es decir, no son reproducibles , y existe una variabilidad adicional entre observadores al interpretar y reportar los resultados medidos. Se puede suponer que la magnitud medida es estable y que la variación entre mediciones se debe a errores de observación . Un sistema de un gran número de partículas se caracteriza por los valores medios de un número relativamente pequeño de magnitudes macroscópicas como la temperatura, la energía y la densidad. La desviación estándar es una medida importante en la teoría de fluctuaciones, que explica muchos fenómenos físicos, incluyendo por qué el cielo es azul. ^{[ 4 ]}

En las ciencias biológicas , la magnitud medida rara vez es constante y estable, y la variación observada puede ser intrínseca al fenómeno: puede deberse a la variabilidad interindividual , es decir, a que distintos miembros de una población difieren entre sí. También puede deberse a la variabilidad intraindividual , es decir, a que un mismo sujeto difiere en pruebas realizadas en momentos diferentes o bajo otras condiciones distintas. Este tipo de variabilidad también se observa en el ámbito de los productos manufacturados; incluso allí, el científico meticuloso encuentra variación.

Una dispersión que preserva la media (MPS, por sus siglas en inglés) es un cambio de una distribución de probabilidad A a otra distribución de probabilidad B, donde B se forma al extender una o más porciones de la función de densidad de probabilidad de A mientras se mantiene la media (el valor esperado) sin cambios. ^{[ 5 ]} El concepto de dispersión que preserva la media proporciona un orden parcial de las distribuciones de probabilidad según sus dispersiones: de dos distribuciones de probabilidad, una puede ser clasificada como de mayor dispersión que la otra, o alternativamente ninguna puede ser clasificada como de mayor dispersión.

• Promedio
• Dispersión circular
• Matriz de dispersión
• Función de densidad de probabilidad
• Variación cualitativa
• Incertidumbre de medición
• Precisión (estadística)
• Medidas de escala robustas
• Estadísticas descriptivas