Variación de Allan

La varianza de Allan ( AVAR ), también conocida como varianza de dos muestras , es una medida de estabilidad de frecuencia en relojes , osciladores y amplificadores . Recibe su nombre en honor a David W. Allan y se expresa matemáticamente como . La desviación de Allan ( ADEV ), también conocida como sigma-tau , es la raíz cuadrada de la varianza de Allan, . ${\displaystyle \sigma _ {y}^{2}(\tau)}$${\displaystyle \sigma _ {y}(\tau)}$

La varianza de M muestras es una medida de estabilidad de frecuencia que utiliza M muestras, tiempo T entre mediciones y tiempo de observación . La varianza de M muestras se expresa como ${\estilo de visualización \tau}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau ).}$

La varianza de Allan tiene como objetivo estimar la estabilidad debida a procesos de ruido y no a errores sistemáticos o imperfecciones como la deriva de frecuencia o los efectos de la temperatura. La varianza de Allan y la desviación de Allan describen la estabilidad de frecuencia. Véase también la sección Interpretación de valores a continuación.

También existen diferentes adaptaciones o alteraciones de la varianza de Allan, en particular la varianza de Allan modificada MAVAR o MVAR, la varianza total y la varianza de Hadamard. También existen variantes de estabilidad temporal, como la desviación temporal (TDEV) o la varianza temporal (TVAR). La varianza de Allan y sus variantes han demostrado ser útiles fuera del ámbito del cronometraje y son un conjunto de herramientas estadísticas mejoradas para utilizar siempre que los procesos de ruido no sean incondicionalmente estables, por lo que existe una derivada.

La varianza general de M muestras sigue siendo importante, ya que permite tiempos muertos en las mediciones y las funciones de sesgo permiten la conversión a valores de varianza de Allan. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones, el caso especial de 2 muestras, o "varianza de Allan", es el de mayor interés. ${\displaystyle T=\tau}$

Al investigar la estabilidad de los osciladores de cristal y los relojes atómicos , se descubrió que no tenían un ruido de fase que consistiera solo en ruido blanco , sino también en ruido de frecuencia de parpadeo . Estas formas de ruido se convierten en un desafío para las herramientas estadísticas tradicionales, como la desviación estándar , ya que el estimador no convergerá. Por lo tanto, se dice que el ruido es divergente. Los primeros esfuerzos para analizar la estabilidad incluyeron tanto análisis teóricos como mediciones prácticas. ^{[2] [3]}

Una consecuencia importante de tener este tipo de ruido fue que, como los distintos métodos de medición no coincidían entre sí, no se podía lograr el aspecto clave de la repetibilidad de una medición. Esto limita la posibilidad de comparar fuentes y hacer especificaciones significativas para exigir a los proveedores. Básicamente, todas las formas de usos científicos y comerciales se limitaron a mediciones específicas, que se esperaba que capturaran la necesidad de esa aplicación.

Para abordar estos problemas, David Allan introdujo la varianza de M muestras y (indirectamente) la varianza de dos muestras. ^[4] Si bien la varianza de dos muestras no permitió distinguir por completo todos los tipos de ruido, proporcionó un medio para separar significativamente muchas formas de ruido para series temporales de mediciones de fase o frecuencia entre dos o más osciladores. Allan proporcionó un método para convertir entre cualquier varianza de M muestras a cualquier varianza de N muestras a través de la varianza común de 2 muestras, haciendo así que todas las varianzas de M muestras sean comparables. El mecanismo de conversión también demostró que la varianza de M muestras no converge para M grandes , lo que las hace menos útiles. IEEE identificó más tarde la varianza de 2 muestras como la medida preferida. ^[5]

Una de las primeras preocupaciones se relacionaba con los instrumentos de medición de tiempo y frecuencia que tenían un tiempo muerto entre mediciones. Esa serie de mediciones no formaba una observación continua de la señal y, por lo tanto, introducía un sesgo sistemático en la medición. Se puso mucho cuidado en estimar estos sesgos. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad, pero las herramientas de análisis de sesgo han demostrado ser útiles.

Otro aspecto inicial de preocupación estaba relacionado con la forma en que el ancho de banda del instrumento de medición influiría en la medición, de modo que era necesario tenerlo en cuenta. Más tarde se descubrió que al cambiar algorítmicamente la observación , solo se verían afectados los valores bajos , mientras que los valores más altos no se verían afectados. El cambio de se realiza dejando que sea un múltiplo entero de la base de tiempo de medición : ${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau =n\tau _{0}.}$

La física de los osciladores de cristal fue analizada por DB Leeson, ^[3] y el resultado ahora se conoce como la ecuación de Leeson . La retroalimentación en el oscilador hará que el ruido blanco y el ruido de parpadeo del amplificador de retroalimentación y el cristal se conviertan en los ruidos de ley de potencia del ruido de frecuencia blanca y el ruido de frecuencia de parpadeo respectivamente. Estas formas de ruido tienen el efecto de que el estimador de varianza estándar no converge al procesar muestras de error de tiempo. Esta mecánica de los osciladores de retroalimentación era desconocida cuando comenzó el trabajo sobre la estabilidad del oscilador, pero fue presentada por Leeson al mismo tiempo que el conjunto de herramientas estadísticas fue puesto a disposición por David W. Allan . Para una presentación más completa sobre el efecto Leeson, consulte la literatura moderna sobre ruido de fase. ^[6]$estilo de visualización f^{-2}}$$estilo de visualización f^{-3}}$

La varianza de Allan se define como la mitad del promedio temporal de los cuadrados de las diferencias entre lecturas sucesivas de la desviación de frecuencia muestreada durante el período de muestreo. La varianza de Allan depende del período de tiempo utilizado entre las muestras, por lo tanto, es una función del período de muestra, comúnmente denotado como τ , al igual que la distribución que se mide, y se muestra como un gráfico en lugar de un solo número. Una varianza de Allan baja es una característica de un reloj con buena estabilidad durante el período medido.

La desviación de Allan se utiliza ampliamente para gráficos (convencionalmente en formato logarítmico ) y presentación de números. Se prefiere porque otorga estabilidad a la amplitud relativa, lo que permite una comparación más sencilla con otras fuentes de error.

Una desviación de Allan de 1,3 × 10 ⁻⁹ en un tiempo de observación de 1 s (es decir, τ = 1 s) debe interpretarse como que existe una inestabilidad en la frecuencia entre dos observaciones con una diferencia de 1 segundo y un valor cuadrático medio (RMS) relativo de 1,3 × 10 ⁻⁹ . Para un reloj de 10 MHz, esto equivaldría a un movimiento RMS de 13 mHz. Si se necesita la estabilidad de fase de un oscilador, se deben consultar y utilizar las variantes de desviación temporal .

La varianza de Allan y otras varianzas del dominio del tiempo se pueden convertir en medidas del dominio de la frecuencia del tiempo (fase) y estabilidad de la frecuencia. ^[7]

Dada una serie temporal , para cualquier número real positivo , defina la secuencia de números reales. Luego, la varianza de la muestra se define ^[4] (aquí en una forma de notación modernizada) como la varianza corregida por Bessel de la secuencia : La interpretación de los símbolos es la siguiente: ${\estilo de visualización x(t)}$${\estilo de visualización T,\tau}$$${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$

• ${\displaystyle t}$es la lectura de un reloj de referencia (en unidades arbitrarias).
• ${\displaystyle x(t)}$es la lectura del reloj que estamos probando (en unidades arbitrarias), en función de la lectura del reloj de referencia. También se puede interpretar como la serie temporal de frecuencia fraccionaria promedio.
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$es el n- ésimo promedio de frecuencia fraccionaria durante el tiempo de observación .${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle M}$es el número de intervalos de lectura del reloj utilizados para calcular la varianza de la muestra,${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle T}$es el tiempo entre cada muestra de frecuencia,
• ${\displaystyle \tau }$es la duración de cada estimación de frecuencia, o el período de observación.

El tiempo muerto se puede explicar dejando que el tiempo sea diferente al de . ${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau }$

La varianza de Allan se define como

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

donde denota el operador de expectativa. ${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$

La condición significa que las muestras se toman sin tiempo muerto entre ellas. ${\textstyle T=\tau }$

Al igual que la desviación estándar y la varianza , la desviación de Allan se define como la raíz cuadrada de la varianza de Allan:

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$

Se supone que el oscilador que se analiza sigue el modelo básico de

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

Se supone que el oscilador tiene una frecuencia nominal de , expresada en ciclos por segundo (unidad del SI: hercios ). La frecuencia angular nominal (en radianes por segundo) viene dada por ${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

La fase total se puede separar en un componente perfectamente cíclico , junto con un componente fluctuante : ${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

La función de error de tiempo x ( t ) es la diferencia entre el tiempo nominal esperado y el tiempo normal real:

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

Para los valores medidos, se define una serie de errores de tiempo TE( t ) a partir de la función de tiempo de referencia T _ref ( t ) como

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

La función de frecuencia es la frecuencia en el tiempo, definida como ${\displaystyle \nu (t)}$

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

La frecuencia fraccionaria y ( t ) es la diferencia normalizada entre la frecuencia y la frecuencia nominal : ${\displaystyle \nu (t)}$${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

La frecuencia fraccionaria media se define como

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

donde el promedio se toma sobre el tiempo de observación τ , y ( t ) es el error de frecuencia fraccionaria en el tiempo t , y τ es el tiempo de observación.

Dado que y ( t ) es la derivada de x ( t ), podemos, sin pérdida de generalidad, reescribirla como

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

Esta definición se basa en el valor esperado estadístico , que se integra en un tiempo infinito. La situación del mundo real no permite este tipo de series temporales, en cuyo caso es necesario utilizar un estimador estadístico en su lugar. Se presentarán y analizarán varios estimadores diferentes.

Un primer estimador simple sería traducir directamente la definición a

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

o para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

Sin embargo, estas fórmulas sólo proporcionan el cálculo para el caso τ = τ _0. Para calcular un valor diferente de τ , es necesario proporcionar una nueva serie temporal.

Tomando la serie temporal y saltando n  − 1 muestras, se produciría una nueva serie temporal (más corta) con τ ₀ como el tiempo entre las muestras adyacentes, para la cual se podría calcular la varianza de Allan con los estimadores simples. Estos podrían modificarse para introducir la nueva variable n de modo que no se tendría que generar una nueva serie temporal, sino que la serie temporal original podría reutilizarse para varios valores de n . Los estimadores se convierten en

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

con , ${\displaystyle n\leq M-1}$

y para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

con . ${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$

Estos estimadores tienen un inconveniente importante: descartan una cantidad significativa de datos de muestra, ya que solo se utiliza 1/ n de las muestras disponibles.

Una técnica presentada por JJ Snyder ^[8] proporcionó una herramienta mejorada, ya que las mediciones se superpusieron en n series superpuestas de la serie original. El estimador de varianza superpuesta de Allan fue introducido por Howe, Allan y Barnes ^[9] . Se puede demostrar que esto es equivalente a promediar las muestras de tiempo o frecuencia normalizada en bloques de n muestras antes del procesamiento. El predictor resultante se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

o para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

Los estimadores superpuestos tienen un rendimiento muy superior al de los estimadores no superpuestos, a medida que n aumenta y la serie temporal es de longitud moderada. Los estimadores superpuestos han sido aceptados como los estimadores de varianza de Allan preferidos en las normas IEEE ^[5] , ITU-T ^[10] y ETSI ^[11] para mediciones comparables, como las necesarias para la calificación de telecomunicaciones.

Para solucionar la incapacidad de separar la modulación de fase blanca de la modulación de fase de parpadeo utilizando los estimadores de varianza de Allan tradicionales, un filtrado algorítmico reduce el ancho de banda en n . Este filtrado proporciona una modificación a la definición y a los estimadores y ahora se identifica como una clase separada de varianza denominada varianza de Allan modificada . La medida de varianza de Allan modificada es una medida de estabilidad de frecuencia, al igual que la varianza de Allan.

Se puede calcular una medida estadística de estabilidad temporal (σ _x ), que a menudo se denomina desviación temporal (TDEV), a partir de la desviación de Allan modificada (MDEV). La TDEV se basa en la MDEV en lugar de la desviación de Allan original, porque la MDEV puede discriminar entre modulación de fase blanca y modulación de fase de parpadeo (PM). A continuación, se muestra la estimación de la variación temporal basada en la varianza de Allan modificada:

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

y de manera similar para la desviación de Allan modificada respecto a la desviación temporal :

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

La TDEV se normaliza de modo que sea igual a la desviación clásica para PM blanco para la constante de tiempo τ =  τ ₀ . Para entender el factor de escala de normalización entre las medidas estadísticas, la siguiente es la regla estadística relevante: Para las variables aleatorias independientes X e Y , la varianza (σ _z ² ) de una suma o diferencia ( z = x − y ) es la suma al cuadrado de sus varianzas (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² ). La varianza de la suma o diferencia ( y = x _{2 τ} − x _τ ) de dos muestras independientes de una variable aleatoria es el doble de la varianza de la variable aleatoria (σ _y ² = 2σ _x ² ). La MDEV es la segunda diferencia de las mediciones de fase independientes ( x ) que tienen una varianza (σ _x ² ). Dado que el cálculo es la doble diferencia, que requiere tres mediciones de fase independientes ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ), la varianza de Allan modificada (MVAR) es tres veces la varianza de las mediciones de fase.

Los avances posteriores han producido métodos de estimación mejorados para la misma medida de estabilidad, la varianza/desviación de frecuencia, pero se conocen con nombres diferentes, como varianza de Hadamard, varianza de Hadamard modificada, varianza total, varianza total modificada y varianza de Theo. Se distinguen por un mejor uso de las estadísticas para mejorar los límites de confianza o la capacidad de manejar la deriva de frecuencia lineal.

Los estimadores estadísticos calcularán un valor estimado en la serie de muestra utilizada. Las estimaciones pueden desviarse del valor verdadero y el rango de valores que con cierta probabilidad contendrá el valor verdadero se denomina intervalo de confianza . El intervalo de confianza depende de la cantidad de observaciones en la serie de muestra, el tipo de ruido dominante y el estimador que se utiliza. El ancho también depende de la certeza estadística para la cual los valores del intervalo de confianza forman un rango acotado, por lo tanto, la certeza estadística de que el valor verdadero está dentro de ese rango de valores. Para los estimadores de τ variable , el múltiplo n de τ ₀ también es una variable.

El intervalo de confianza se puede establecer utilizando la distribución de chi-cuadrado utilizando la distribución de la varianza de la muestra : ^{[5] [9]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

donde s ² es la varianza muestral de nuestra estimación, σ ² es el valor de la varianza real, gl son los grados de libertad del estimador y χ ² son los grados de libertad para una determinada probabilidad. Para una probabilidad del 90 %, que abarca el rango del 5 % al 95 % en la curva de probabilidad, los límites superior e inferior se pueden encontrar utilizando la desigualdad

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

que después de reordenar para la varianza verdadera se convierte en

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

Los grados de libertad representan el número de variables libres capaces de contribuir a la estimación. Dependiendo del estimador y del tipo de ruido, los grados de libertad efectivos varían. Se han encontrado empíricamente fórmulas de estimadores que dependen de N y n : ^[9]

La varianza de Allan tratará de manera diferente los distintos tipos de ruido de ley de potencia , lo que permite identificarlos y estimar su intensidad de manera conveniente. Por convención, el ancho del sistema de medición (frecuencia de esquina alta) se denota f _H .

Como se encuentra en ^{[12] [13]} y en formas modernas. ^{[14] [15]}

La varianza de Allan no puede distinguir entre WPM y FPM, pero sí puede resolver los otros tipos de ruido de ley de potencia. Para distinguir WPM y FPM, se debe emplear la varianza de Allan modificada .

Las fórmulas anteriores suponen que

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$

y por lo tanto el ancho de banda del tiempo de observación es mucho menor que el ancho de banda del instrumento. Cuando esta condición no se cumple, todas las formas de ruido dependen del ancho de banda del instrumento.

El mapeo detallado de una modulación de fase de la forma

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

dónde

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

o modulación de frecuencia de la forma

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

en la variante Allan de la forma

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

se puede simplificar significativamente proporcionando una asignación entre α y μ . También se presenta una asignación entre α y K _α ^{para mayor comodidad: [5]}

Una señal con ruido de fase espectral con unidades rad2 ^/ Hz se puede convertir a varianza de Allan mediante ^[15]${\displaystyle S_{\varphi }}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

Si bien la varianza de Allan está pensada para ser utilizada para distinguir las formas de ruido, dependerá de algunas respuestas lineales al tiempo, pero no de todas. Se muestran en la tabla:

Por lo tanto, la deriva lineal contribuirá al resultado de salida. Al medir un sistema real, puede ser necesario estimar la deriva lineal u otro mecanismo de deriva y eliminarlo de la serie temporal antes de calcular la varianza de Allan. ^[14]

Al analizar las propiedades de la varianza de Allan y similares, ha resultado útil considerar las propiedades del filtro en la frecuencia normalizada. Comenzando con la definición de varianza de Allan para

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i}\right)^{2}\right\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(i\tau +t)\,dt.}$

Reemplazando la serie temporal de con la variante transformada de Fourier, la varianza de Allan se puede expresar en el dominio de la frecuencia como ${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle S_{y}(f)}$

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\int _{0}^{\infty }S_{y}(f){\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}\,df.}$

Por lo tanto, la función de transferencia para la varianza de Allan es

${\displaystyle \left\vert H_{A}(f)\right\vert ^{2}={\frac {2\sin ^{4}\pi \tau f}{(\pi \tau f)^{2}}}.}$

La varianza de las muestras M y la varianza de Allan de caso especial definida experimentarán un sesgo sistemático dependiendo de la cantidad diferente de muestras M y de la relación diferente entre T y τ . Para abordar estos sesgos, se han definido las funciones de sesgo B ₁ y B ₂ ^[16] que permiten la conversión entre diferentes valores M y T.

Estas funciones de sesgo no son suficientes para manejar el sesgo resultante de concatenar M muestras al tiempo de observación Mτ ₀ durante el MT ₀ con el tiempo muerto distribuido entre los M bloques de medición en lugar de al final de la medición. Esto generó la necesidad del sesgo B _3. ^[17]

Las funciones de polarización se evalúan para un valor μ particular, por lo que el mapeo α–μ debe realizarse para la forma de ruido dominante que se encuentra mediante la identificación de ruido. Alternativamente, ^{[4] [16]} el valor μ de la forma de ruido dominante puede inferirse a partir de las mediciones utilizando las funciones de polarización.

La función de sesgo B ₁ relaciona la varianza de M muestras con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo constante el tiempo entre mediciones T y el tiempo para cada medición τ . Se define ^[16] como

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

La función de sesgo se convierte después del análisis

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

La función de sesgo B ₂ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestra T con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo constante el número de muestras N = 2 y el tiempo de observación τ . Se define ^[16] como

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

La función de sesgo se convierte después del análisis

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

La función de sesgo B ₃ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestra MT ₀ y el tiempo de observación Mτ ₀ con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan) y se define ^[17] como

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

La función de sesgo B _{3 es útil para ajustar los valores del estimador de la variable} τ superpuestos y no superpuestos en función de las mediciones de tiempo muerto del tiempo de observación τ ₀ y el tiempo entre observaciones T ₀ a las estimaciones de tiempo muerto normales.

La función de sesgo se convierte después del análisis (para el  caso N = 2)

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

dónde

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

Aunque no se ha formulado formalmente, se ha inferido indirectamente como consecuencia del mapeo α – μ . Al comparar dos medidas de varianza de Allan para diferentes τ , suponiendo el mismo ruido dominante en forma del mismo coeficiente μ, un sesgo se puede definir como

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

La función de sesgo se convierte después del análisis

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

Para convertir de un conjunto de mediciones a otro, se pueden ensamblar las funciones de sesgo B ₁ , B ₂ y τ . Primero, la función B _{1 convierte el valor (} N _​​1 ,  T ₁ ,  τ ₁ ) en (2,  T ₁ ,  τ ₁ ), a partir del cual la función  B _{2 lo convierte en un valor (2,} τ ₁ ,  τ ₁ ), es decir, la varianza de Allan en τ ₁ . La medida de la varianza de Allan se puede convertir utilizando la función de sesgo τ de τ ₁ a τ ₂ , de donde luego (2,  T ₂ ,  τ ₂ ) utilizando B ₂ y luego finalmente utilizando B ₁ en la varianza ( N ₂ ,  T ₂ ,  τ ₂ ). La conversión completa se convierte en

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

De manera similar, para mediciones concatenadas que utilizan M secciones, la extensión lógica se convierte en

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

Al realizar mediciones para calcular la varianza de Allan o la desviación de Allan, una serie de cuestiones pueden provocar que las mediciones se degeneren. Aquí se tratan los efectos específicos de la varianza de Allan, donde los resultados estarían sesgados.

Se espera que un sistema de medición tenga un ancho de banda igual o inferior al de la tasa de Nyquist , como se describe en el teorema de Shannon-Hartley . Como se puede ver en las fórmulas de ruido de ley de potencia, las modulaciones de ruido blanco y de parpadeo dependen de la frecuencia de esquina superior (se supone que estos sistemas solo están filtrados por paso bajo). Teniendo en cuenta la propiedad del filtro de frecuencia, se puede ver claramente que el ruido de baja frecuencia tiene un mayor impacto en el resultado. Para los tipos de ruido de modulación de fase relativamente plana (por ejemplo, WPM y FPM), el filtrado tiene relevancia, mientras que para los tipos de ruido con mayor pendiente, el límite de frecuencia superior se vuelve de menor importancia, suponiendo que el ancho de banda del sistema de medición es amplio en relación con el como se indica en ${\displaystyle f_{H}}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

Cuando no se cumple este supuesto, es necesario anotar el ancho de banda efectivo junto con la medición. Los interesados ​​deben consultar la norma NBS TN394. ^[12]${\displaystyle f_{H}}$

Sin embargo, si se ajusta el ancho de banda del estimador utilizando múltiplos enteros del tiempo de muestra , entonces el impacto en el ancho de banda del sistema se puede reducir a niveles insignificantes. Para las necesidades de telecomunicaciones, se han requerido dichos métodos con el fin de garantizar la comparabilidad de las mediciones y permitir cierta libertad para que los proveedores realicen diferentes implementaciones. La Rec. UIT-T G.813 ^[18] para la medición de TDEV. ${\displaystyle n\tau _{0}}$

Se puede recomendar que se ignoren los primeros múltiplos, de modo que la mayor parte del ruido detectado esté dentro de la banda de paso del ancho de banda de los sistemas de medición. ${\displaystyle \tau _{0}}$

Se realizaron desarrollos adicionales en la varianza de Allan para permitir que el ancho de banda del hardware se redujera por medios de software. Este desarrollo de un ancho de banda de software permitió abordar el ruido restante, y el método ahora se conoce como varianza de Allan modificada . Esta técnica de reducción del ancho de banda no debe confundirse con la variante mejorada de la varianza de Allan modificada , que también cambia el ancho de banda de un filtro de suavizado.

Muchos instrumentos de medición de tiempo y frecuencia tienen las etapas de tiempo de armado, tiempo de base de tiempo, tiempo de procesamiento y luego pueden volver a activar el armado. El tiempo de armado es desde el momento en que se activa el armado hasta que ocurre el evento de inicio en el canal de inicio. La base de tiempo luego asegura que transcurra una cantidad mínima de tiempo antes de aceptar un evento en el canal de detención como el evento de detención. La cantidad de eventos y el tiempo transcurrido entre el evento de inicio y el evento de detención se registran y se presentan durante el tiempo de procesamiento. Cuando ocurre el procesamiento (también conocido como tiempo de permanencia), el instrumento generalmente no puede realizar otra medición. Después de que se ha producido el procesamiento, un instrumento en modo continuo activa nuevamente el circuito de armado. El tiempo entre el evento de detención y el siguiente evento de inicio se convierte en tiempo muerto , durante el cual no se observa la señal. Dicho tiempo muerto introduce sesgos sistemáticos de medición, que deben compensarse para obtener resultados adecuados. Para tales sistemas de medición, el tiempo T denotará el tiempo entre los eventos de inicio adyacentes (y, por lo tanto, las mediciones), mientras que denotará la longitud de la base de tiempo, es decir, la longitud nominal entre el evento de inicio y el de finalización de cualquier medición. ${\displaystyle \tau }$

Los efectos del tiempo muerto en las mediciones tienen tal impacto en el resultado producido que se han realizado muchos estudios en este campo para cuantificar sus propiedades adecuadamente. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad de este análisis. Un contador de tiempo muerto cero tiene la propiedad de que el evento de detención de una medición también se utiliza como el evento de inicio del evento siguiente. Estos contadores crean una serie de pares de eventos y marcas de tiempo, uno para cada canal espaciado por la base de tiempo. Estas mediciones también han demostrado ser útiles en formas ordenadas de análisis de series de tiempo.

Las mediciones que se realizan con tiempo muerto se pueden corregir utilizando la función de sesgo B ₁ , B ₂ y B ₃ . Por lo tanto, el tiempo muerto como tal no impide el acceso a la varianza de Allan, pero lo hace más problemático. El tiempo muerto debe ser conocido, de modo que se pueda establecer el tiempo entre muestras T .

Al estudiar el efecto que tiene la longitud N de la serie de muestra y el efecto del parámetro variable τ n sobre los intervalos de confianza, los intervalos de confianza pueden llegar a ser muy grandes ya que el grado de libertad efectivo puede llegar a ser pequeño para alguna combinación de N y n para la forma de ruido dominante (para ese τ ).

El efecto puede ser que el valor estimado sea mucho menor o mucho mayor que el valor real, lo que puede llevar a conclusiones falsas sobre el resultado.

Se recomienda que:

• El intervalo de confianza se debe graficar junto con los datos, de modo que el lector del gráfico conozca la incertidumbre estadística de los valores.
• La longitud de la secuencia de muestra (es decir, el número de muestras N ) debe mantenerse lo más alta posible para garantizar que el intervalo de confianza sea pequeño en el rango τ de interés.
• Se pueden utilizar estimadores que proporcionen mejores valores de grados de libertad en reemplazo de los estimadores de varianza de Allan o como complemento de ellos cuando su desempeño supere al de los estimadores de varianza de Allan. Entre ellos, se deben considerar los estimadores de varianza total y de varianza de Theo.
• El rango de τ recorrido por el multiplicador τ ₀ n está limitado en el extremo superior relativo a N , de modo que el lector del gráfico no puede confundirse con valores de estimador altamente inestables.

Una gran cantidad de constantes de conversión, correcciones de sesgo e intervalos de confianza dependen del tipo de ruido dominante. Para una interpretación adecuada, se debe identificar el tipo de ruido dominante para el τ particular de interés mediante la identificación del ruido. Si no se identifica el tipo de ruido dominante, se producirán valores sesgados. Algunos de estos sesgos pueden ser de varios órdenes de magnitud, por lo que pueden ser de gran importancia.

Los efectos sistemáticos sobre la señal se cancelan solo parcialmente. El desfase de fase y frecuencia se cancela, pero la deriva lineal u otras formas de alto grado de curvas de fase polinómica no se cancelarán y, por lo tanto, formarán una limitación de medición. Se podría emplear el ajuste de curvas y la eliminación del desfase sistemático. A menudo, la eliminación de la deriva lineal puede ser suficiente. También se podría emplear el uso de estimadores de deriva lineal, como la varianza de Hadamard. Se podría emplear una eliminación de la deriva lineal utilizando un estimador basado en momentos.

Los instrumentos tradicionales solo proporcionaban la medición de eventos individuales o pares de eventos. La introducción de la herramienta estadística mejorada de mediciones superpuestas por JJ Snyder ^[8] permitió una resolución mucho mejor en las lecturas de frecuencia, rompiendo el equilibrio tradicional de dígitos/base de tiempo. Si bien estos métodos son útiles para su propósito previsto, el uso de tales mediciones suavizadas para los cálculos de varianza de Allan daría una falsa impresión de alta resolución, ^{[19] [20] [21]} pero para τ más largo el efecto se elimina gradualmente, y la región de τ inferior de la medición tiene valores sesgados. Este sesgo proporciona valores más bajos de lo que debería, por lo que es un sesgo demasiado optimista (asumiendo que los números bajos son lo que uno desea), que reduce la usabilidad de la medición en lugar de mejorarla. Estos algoritmos inteligentes generalmente se pueden desactivar o eludir de otra manera utilizando el modo de marca de tiempo, que es mucho más preferible si está disponible.

Si bien se pueden idear varios enfoques para medir la varianza de Allan, un ejemplo simple puede ilustrar cómo se pueden realizar las mediciones.

Todas las mediciones de la varianza de Allan serán, en efecto, la comparación de dos relojes diferentes. Consideremos un reloj de referencia y un dispositivo bajo prueba (DUT), y ambos tienen una frecuencia nominal común de 10 MHz. Se utiliza un contador de intervalo de tiempo para medir el tiempo entre el borde ascendente de la referencia (canal A) y el borde ascendente del dispositivo bajo prueba.

Para proporcionar mediciones espaciadas de manera uniforme, el reloj de referencia se dividirá para formar la frecuencia de medición, lo que activará el contador de intervalo de tiempo (entrada ARM). Esta frecuencia puede ser de 1 Hz (utilizando la salida de 1 PPS de un reloj de referencia), pero también se pueden utilizar otras frecuencias como 10 Hz y 100 Hz. La velocidad con la que el contador de intervalo de tiempo puede completar la medición, generar el resultado y prepararse para el siguiente brazo limitará la frecuencia de activación.

Una computadora resulta entonces útil para registrar la serie de diferencias de tiempo que se observan.

Las series temporales registradas requieren un posprocesamiento para desenrollar la fase envuelta, de modo que se proporcione un error de fase continuo. Si es necesario, también se deben corregir los errores de registro y medición. Se debe realizar una estimación y eliminación de la desviación, y se debe identificar y comprender el mecanismo de desviación de las fuentes. Las limitaciones de desviación en las mediciones pueden ser graves, por lo que es necesario dejar que los osciladores se estabilicen, manteniéndolos encendidos durante un tiempo suficiente.

La varianza de Allan se puede calcular entonces utilizando los estimadores proporcionados y, para fines prácticos, se debe utilizar el estimador superpuesto debido a su mejor uso de los datos en comparación con el estimador no superpuesto. También se pueden utilizar otros estimadores, como los estimadores de varianza total o Theo, si se aplican correcciones de sesgo de modo que proporcionen resultados compatibles con la varianza de Allan.

Para formar los gráficos clásicos, la desviación de Allan (raíz cuadrada de la varianza de Allan) se grafica en formato logaritmo-logaritmo frente al intervalo de observación  τ .

El contador de intervalos de tiempo es un contador comercialmente disponible. Los factores limitantes incluyen la resolución de disparo único, la fluctuación del disparador, la velocidad de las mediciones y la estabilidad del reloj de referencia. La recopilación y el posprocesamiento informático se pueden realizar utilizando software comercial o de dominio público existente. Existen soluciones muy avanzadas que proporcionarán medición y cálculo en un solo dispositivo.

El campo de la estabilidad de frecuencia ha sido estudiado durante mucho tiempo. Sin embargo, durante la década de 1960 se descubrió que faltaban definiciones coherentes. Un simposio NASA-IEEE sobre estabilidad a corto plazo en noviembre de 1964 ^[22] dio como resultado la edición especial de febrero de 1966 de las Actas del IEEE sobre estabilidad de frecuencia.

El simposio NASA-IEEE reunió a muchos campos y usos de la estabilidad a corto y largo plazo, con artículos de muchos colaboradores diferentes. Los artículos y los debates de los paneles coinciden en la existencia del ruido de parpadeo de frecuencia y en el deseo de lograr una definición común para la estabilidad a corto y largo plazo.

Artículos importantes, incluidos los de David Allan, ^[4] James A. Barnes, ^[23] LS Cutler y CL Searle ^[2] y DB Leeson, ^[3] aparecieron en las Actas del IEEE sobre estabilidad de frecuencia y ayudaron a dar forma al campo.

El artículo de David Allan analiza la varianza clásica de la frecuencia de M muestras, abordando la cuestión del tiempo muerto entre mediciones junto con una función de sesgo inicial. ^[4] Aunque la función de sesgo inicial de Allan no supone tiempo muerto, sus fórmulas sí incluyen cálculos de tiempo muerto. Su artículo analiza el caso de M muestras de frecuencia (llamadas N en el artículo) y estimadores de varianza. Proporciona el mapeo α–μ ahora estándar, claramente basado en el trabajo de James Barnes ^[23] en el mismo número.

El caso de varianza de 2 muestras es un caso especial de la varianza de M muestras, que produce un promedio de la derivada de frecuencia. Allan utiliza implícitamente la varianza de 2 muestras como caso base, ya que para M elegidos arbitrariamente , los valores pueden transferirse a través de la varianza de 2 muestras a la varianza de M muestras. No se indicó claramente ninguna preferencia por la varianza de 2 muestras, incluso si se proporcionaron las herramientas. Sin embargo, este artículo sentó las bases para usar la varianza de 2 muestras como una forma de comparar otras varianzas de M muestras.

James Barnes amplió significativamente el trabajo sobre las funciones de sesgo, ^[16] introduciendo las modernas funciones de sesgo B ₁ y B ₂ . Curiosamente, se refiere a la varianza de M muestras como "varianza de Allan", haciendo referencia al artículo de Allan "Estadísticas de estándares de frecuencia atómica". ^[4] Con estas modernas funciones de sesgo, se podría realizar una conversión completa entre medidas de varianza de M muestras de varios valores M , T y τ , mediante la conversión a través de la varianza de 2 muestras.

James Barnes y David Allan ampliaron aún más las funciones de sesgo con la función B ₃ ^[17] para manejar el sesgo del estimador de muestras concatenadas. Esto fue necesario para manejar el nuevo uso de observaciones de muestras concatenadas con tiempo muerto entre ellas.

En 1970, el Comité Técnico IEEE sobre Frecuencia y Tiempo, dentro del Grupo IEEE sobre Instrumentación y Mediciones, proporcionó un resumen del campo, publicado como NBS Technical Notice 394. ^[12] Este documento fue el primero de una línea de documentos más educativos y prácticos que ayudaron a los colegas ingenieros a comprender el campo. Este documento recomendó la varianza de 2 muestras con T = τ , refiriéndose a ella como varianza de Allan (ahora sin las comillas). La elección de dicha parametrización permite un buen manejo de algunas formas de ruido y la obtención de mediciones comparables; es esencialmente el mínimo común denominador con la ayuda de las funciones de polarización B ₁ y B ₂ .

JJ Snyder propuso un método mejorado para la estimación de frecuencia o varianza, utilizando estadísticas de muestra para contadores de frecuencia. ^[8] Para obtener grados de libertad más efectivos a partir del conjunto de datos disponible, el truco es utilizar períodos de observación superpuestos. Esto proporciona una mejora de √ n y se incorporó en el estimador de varianza de Allan superpuesto . ^[9] También se incorporó el procesamiento de software de variable-τ. ^[9] Este desarrollo mejoró los estimadores de varianza de Allan clásicos, proporcionando asimismo una inspiración directa para el trabajo sobre la varianza de Allan modificada .

Howe, Allan y Barnes presentaron el análisis de los intervalos de confianza, los grados de libertad y los estimadores establecidos. ^[9]

El campo del tiempo y la frecuencia y su uso de la varianza de Allan, la desviación de Allan y similares es un campo que involucra muchos aspectos, para lo cual tanto la comprensión de los conceptos como las mediciones prácticas y el posprocesamiento requieren cuidado y comprensión. Por lo tanto, existe un campo de material educativo disponible que abarca aproximadamente 40 años. Dado que estos reflejan los avances en la investigación de su tiempo, se centran en la enseñanza de diferentes aspectos a lo largo del tiempo, en cuyo caso un estudio de los recursos disponibles puede ser una forma adecuada de encontrar el recurso adecuado.

El primer resumen significativo es la Nota Técnica NBS 394 "Caracterización de la estabilidad de frecuencia". ^[12] Este es el producto del Comité Técnico de Frecuencia y Tiempo del Grupo IEEE de Instrumentación y Medición. Proporciona la primera descripción general del campo, enunciando los problemas, definiendo las definiciones básicas de apoyo y adentrándose en la varianza de Allan, las funciones de polarización B ₁ y B ₂ y la conversión de medidas del dominio del tiempo. Esto es útil, ya que se encuentra entre las primeras referencias para tabular la varianza de Allan para los cinco tipos básicos de ruido.

Una referencia clásica es la Monografía NBS 140 ^[24] de 1974, que en el capítulo 8 tiene "Estadísticas del análisis de datos de tiempo y frecuencia". ^[25] Esta es la variante extendida de la Nota Técnica NBS 394 y agrega esencialmente técnicas de medición y procesamiento práctico de valores.

Una adición importante será Propiedades de fuentes de señal y métodos de medición . ^[9] Abarca el uso efectivo de datos, intervalos de confianza, grado efectivo de libertad, y también introduce el estimador de varianza superpuesta de Allan. Es una lectura muy recomendada para esos temas.

La norma IEEE 1139 Definiciones estándar de magnitudes físicas para metrología fundamental de frecuencia y tiempo ^[5] es más que una norma: una referencia integral y un recurso educativo.

Un libro moderno orientado a las telecomunicaciones es "Synchronisation of Digital Telecommunication Networks" de Stefano Bregni ^[14] . En él se resume no sólo el campo, sino también gran parte de su investigación en el campo hasta ese momento. Su objetivo es incluir tanto medidas clásicas como medidas específicas de las telecomunicaciones, como MTIE. Es un complemento útil cuando se analizan las mediciones relacionadas con los estándares de telecomunicaciones.

La publicación especial NIST 1065 "Handbook of Frequency Stability Analysis" de WJ Riley ^[15] es una lectura recomendada para cualquiera que desee dedicarse a este campo. Es rica en referencias y también cubre una amplia gama de medidas, sesgos y funciones relacionadas que un analista moderno debería tener disponibles. Además, describe el procesamiento general necesario para una herramienta moderna.

La varianza de Allan se utiliza como medida de estabilidad de frecuencia en una variedad de osciladores de precisión, como osciladores de cristal , relojes atómicos y láseres estabilizados en frecuencia durante un período de un segundo o más. La estabilidad a corto plazo (menos de un segundo) se expresa típicamente como ruido de fase . La varianza de Allan también se utiliza para caracterizar la estabilidad de polarización de los giroscopios , incluidos los giroscopios de fibra óptica , los giroscopios de resonador hemisférico y los giroscopios y acelerómetros MEMS . ^{[26] [27]}

En 2016, IEEE-UFFC publicará un "Número especial para celebrar el 50 aniversario de la Variante Allan (1966-2016)". ^[28] Un editor invitado para ese número será el ex colega de David en NIST , Judah Levine, quien es el destinatario más reciente del II Premio Rabi .

• Recursos didácticos sobre control de frecuencia de UFCC
• Herramienta de búsqueda de publicaciones del NIST
• Resumen de la varianza de Allan de David W. Allan
• Sitio web oficial de David W. Allan
• Publicaciones del JPL: análisis y estadísticas del ruido
• Publicaciones de William Riley
• Stable32, software para análisis de estabilidad de frecuencia, por William Riley
• Publicaciones de Stefano Bregni
• Publicaciones de Enrico Rubiola
• Allanvar: paquete R para la caracterización de errores de sensores utilizando la varianza de Allan
• Software de Windows Alavar con herramientas de generación de informes; Freeware
• Biblioteca de Python de código abierto AllanTools para la varianza de Allan
• Aplicación MATLAB de código abierto AVAR