Varianza de Allan

Dada una serie temporal${\displaystyle x(t)}$para cualquier número real positivo${\displaystyle T,\tau }$, define la secuencia de números reales$${\displaystyle {\bar {y}}_{i}={\frac {x(iT+\tau )-x(iT)}{\tau }}\quad i=0,1,2,...}$$Entonces el${\displaystyle M}$La varianza de la muestra se define ^{[ 6 ]} (aquí en una notación modernizada) como la varianza corregida de Bessel de la secuencia.${\displaystyle {\bar {y}}_{0},...,{\bar {y}}_{M-1}}$:$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(M,T,\tau )={\frac {M}{M-1}}\left({\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}^{2}-\left[{\frac {1}{M}}\sum _{i=0}^{M-1}{\bar {y}}_{i}\right]^{2}\right),}$$La interpretación de los símbolos es la siguiente:

• ${\displaystyle t}$es la lectura en un reloj de referencia (en unidades arbitrarias).
• ${\displaystyle x(t)}$es la lectura de un reloj que estamos probando (en unidades arbitrarias), en función de la lectura del reloj de referencia. También puede interpretarse como la serie temporal de frecuencia fraccionaria promedio .
• ${\displaystyle {\bar {y}}_{n}}$es el n ^-ésimo promedio de frecuencia fraccionaria sobre el tiempo de observación${\displaystyle \tau }$.
• ${\displaystyle M}$es el número de intervalos de lectura del reloj utilizados en el cálculo del${\displaystyle M}$-varianza de la muestra,
• ${\displaystyle T}$es el tiempo entre cada muestra de frecuencia,
• ${\displaystyle \tau }$es la duración de cada estimación de frecuencia, o el período de observación.

El tiempo muerto se puede tener en cuenta dejando que el tiempo${\displaystyle T}$ser diferente de lo que${\displaystyle \tau }$.

La varianza de Allan se define como

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2\tau ^{2}}}\left\langle \left(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

dónde${\displaystyle x_{n}:=x(n\tau )}$y${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$denota el operador de expectativa.

La condición${\textstyle T=\tau }$significa que las muestras se toman sin tiempo de espera entre ellas.

Al igual que con la desviación estándar y la varianza , la desviación de Allan se define como la raíz cuadrada de la varianza de Allan:

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$

Se supone que el oscilador que se analiza sigue el modelo básico de

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

Se supone que el oscilador tiene una frecuencia nominal de${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$, expresado en ciclos por segundo (unidad del SI: hercio ). La frecuencia angular nominal${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$(en radianes por segundo) viene dado por

${\displaystyle \omega _{\text{n}}=2\pi \nu _{\text{n}}.}$

La fase total se puede separar en un componente perfectamente cíclico.${\displaystyle \omega _{\text{n}}t}$, junto con un componente fluctuante${\displaystyle \varphi (t)}$:

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

La función de error de tiempo x ( t ) es la diferencia entre el tiempo nominal esperado y el tiempo normal real:

${\displaystyle x(t)={\frac {\varphi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}={\frac {\Phi (t)}{2\pi \nu _{\text{n}}}}-t=T(t)-t.}$

Para los valores medidos, se define una serie de error temporal TE( t ) a partir de la función de tiempo de referencia T _ref ( t ) como

${\displaystyle TE(t)=T(t)-T_{\text{ref}}(t).}$

La función de frecuencia${\displaystyle \nu (t)}$es la frecuencia a lo largo del tiempo, definida como

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

La frecuencia fraccionaria y ( t ) es la diferencia normalizada entre la frecuencia${\displaystyle \nu (t)}$y la frecuencia nominal${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$:

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

La frecuencia fraccionaria promedio se define como

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

donde el promedio se toma sobre el tiempo de observación τ , y ( t ) es el error de frecuencia fraccionaria en el tiempo t , y τ es el tiempo de observación.

Dado que y ( t ) es la derivada de x ( t ), podemos reescribirla sin pérdida de generalidad como

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {x(t+\tau )-x(t)}{\tau }}.}$

Un primer estimador simple sería traducir directamente la definición a

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,M)=\operatorname {AVAR} (\tau ,M)={\frac {1}{2(M-1)}}\sum _{i=0}^{M-2}({\bar {y}}_{i+1}-{\bar {y}}_{i})^{2},}$

o para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau ,N)=\operatorname {AVAR} (\tau ,N)={\frac {1}{2\tau ^{2}(N-2)}}\sum _{i=0}^{N-3}(x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i})^{2}.}$

Sin embargo, estas fórmulas solo proporcionan el cálculo para el caso τ = τ _0. Para calcular para un valor diferente de τ , es necesario proporcionar una nueva serie temporal.

Tomando la serie temporal y omitiendo n  −  1 muestras, se obtendría una nueva serie temporal (más corta) con τ ₀ como el tiempo entre muestras adyacentes, para la cual la varianza de Allan podría calcularse con los estimadores simples. Estos podrían modificarse para introducir la nueva variable n de modo que no fuera necesario generar una nueva serie temporal, sino que la serie temporal original podría reutilizarse para varios valores de n . Los estimadores se convierten en

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2{\frac {M-1}{n}}}}\sum _{i=0}^{{\frac {M-1}{n}}-1}\left({\bar {y}}_{ni+n}-{\bar {y}}_{ni}\right)^{2}}$

con${\displaystyle n\leq {\frac {M-1}{2}}}$,

y para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}\left({\frac {N-1}{n}}-1\right)}}\sum _{i=0}^{{\frac {N-1}{n}}-2}\left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}\right)^{2}}$

con${\displaystyle n\leq {\frac {N-1}{2}}}$.

Estos estimadores tienen un inconveniente importante, ya que descartan una cantidad significativa de datos de muestra, puesto que solo se utiliza 1/ n de las muestras disponibles.

Una técnica presentada por JJ Snyder ^{[ 10 ]} proporcionó una herramienta mejorada, ya que las mediciones se superpusieron en n series superpuestas de la serie original. El estimador de varianza de Allan superpuesto fue introducido por Howe, Allan y Barnes ^{[ 11 ]} . Se puede demostrar que esto es equivalente a promediar las muestras de tiempo o frecuencia normalizada en bloques de n muestras antes del procesamiento. El predictor resultante se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},M)&=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},M)={\frac {1}{2n^{2}(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left(\sum _{i=j}^{j+n-1}y_{i+n}-y_{i}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{2(M-2n+1)}}\sum _{j=0}^{M-2n}\left({\bar {y}}_{j+n}-{\bar {y}}_{j}\right)^{2},\end{aligned}}}$

o para la serie temporal:

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(n\tau _{0},N)=\operatorname {AVAR} (n\tau _{0},N)={\frac {1}{2n^{2}\tau _{0}^{2}(N-2n)}}\sum _{i=0}^{N-2n-1}(x_{i+2n}-2x_{i+n}+x_{i})^{2}.}$

Los estimadores superpuestos ofrecen un rendimiento muy superior al de los estimadores no superpuestos a medida que n aumenta y la serie temporal es de longitud moderada. Los estimadores superpuestos han sido aceptados como los estimadores de varianza de Allan preferidos en las normas IEEE, ^{[ 7 ]} ITU-T ^{[ 12 ]} y ETSI ^{[ 13 ]} para mediciones comparables, como las necesarias para la cualificación de telecomunicaciones.

Para solucionar la imposibilidad de separar la modulación de fase blanca de la modulación de fase de parpadeo mediante los estimadores de varianza de Allan tradicionales, un filtrado algorítmico reduce el ancho de banda en n . Este filtrado modifica la definición y los estimadores, y ahora identifica una clase de varianza distinta denominada varianza de Allan modificada . La medida de varianza de Allan modificada es una medida de estabilidad de frecuencia, al igual que la varianza de Allan.

Una medida estadística de estabilidad temporal (σ _x ), a menudo denominada desviación temporal (TDEV), puede calcularse a partir de la desviación de Allan modificada (MDEV). La TDEV se basa en la MDEV en lugar de la desviación de Allan original, ya que la MDEV puede discriminar entre modulación de fase (PM) blanca y de parpadeo. A continuación se muestra la estimación de la varianza temporal basada en la varianza de Allan modificada:

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}(\tau )={\frac {\tau ^{2}}{3}}{\bmod {\sigma }}_{y}^{2}(\tau ),}$

y de forma similar para la desviación de Allan modificada a la desviación temporal :

${\displaystyle \sigma _{x}(\tau )={\frac {\tau }{\sqrt {3}}}{\bmod {\sigma }}_{y}(\tau ).}$

El TDEV se normaliza de modo que sea igual a la desviación clásica para PM blanco para constante de tiempo τ = τ ₀ . Para entender el factor de escala de normalización entre las medidas estadísticas, la siguiente es la regla estadística relevante: Para variables aleatorias independientes X e Y , la varianza (σ _z ² ) de una suma o diferencia ( z = x − y ) es la suma de los cuadrados de sus varianzas (σ _z ² = σ _x ² + σ _y ² ). La varianza de la suma o diferencia ( y = x _{2 τ} − x _τ ) de dos muestras independientes de una variable aleatoria es el doble de la varianza de la variable aleatoria (σ _y ² = 2σ _x ² ). El MDEV es la segunda diferencia de mediciones de fase independientes ( x ) que tienen una varianza (σ _x ² ). Dado que el cálculo es la doble diferencia, que requiere tres mediciones de fase independientes ( x _{2 τ} − 2 x _τ + x ), la varianza de Allan modificada (MVAR) es tres veces las varianzas de las mediciones de fase. 

Los avances posteriores han dado lugar a métodos de estimación mejorados para la misma medida de estabilidad, la varianza/desviación de la frecuencia, pero estos se conocen con nombres distintos, como la varianza de Hadamard , la varianza de Hadamard modificada , la varianza total , la varianza total modificada y la varianza de Theo . ^{[ 14 ]} Estos se distinguen por un mejor uso de las estadísticas para obtener intervalos de confianza mejorados o por su capacidad para manejar la deriva lineal de la frecuencia.

El intervalo de confianza se puede establecer utilizando la distribución chi-cuadrado con df grados de libertad mediante la distribución de la varianza de la muestra : ^{[ 7 ] [ 11 ]}

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}},}$

donde s ² es la varianza muestral de nuestra estimación, σ ² es el valor de la varianza verdadera, df son los grados de libertad del estimador y χ ² se calcula en función de la distribución de densidad acumulada inversa de un χ ² con df grados de libertad. Para una probabilidad del 90%, que abarca el rango del 5% al ​​95% en la curva de probabilidad, los límites superior e inferior se pueden encontrar utilizando la desigualdad

${\displaystyle \chi ^{2}(0.05)\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\sigma ^{2}}}\leq \chi ^{2}(0.95),}$

que después de reordenar para la verdadera varianza se convierte en

${\displaystyle {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.95)}}\leq \sigma ^{2}\leq {\frac {{\text{df}}\,s^{2}}{\chi ^{2}(0.05)}}.}$

Los grados de libertad representan el número de variables libres capaces de contribuir a la estimación. Dependiendo del estimador y del tipo de ruido, los grados de libertad efectivos varían. Se han encontrado empíricamente fórmulas de estimación que dependen de N (número total de puntos de muestra) y n (múltiplo entero de τ _{0 ):} ^{[ 11 ]}

El mapeo detallado de una modulación de fase de la forma

${\displaystyle S_{x}(f)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\alpha -2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}h_{\alpha }f^{\beta },}$

dónde

${\displaystyle \beta \equiv \alpha -2,}$

o modulación de frecuencia de la forma

${\displaystyle S_{y}(f)=h_{\alpha }f^{\alpha }}$

en la variante de Allan de la forma

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )=K_{\alpha }h_{\alpha }\tau ^{\mu }}$

puede simplificarse significativamente proporcionando una correspondencia entre α y μ . También se presenta una correspondencia entre α y K _{α para mayor comodidad:} ^{[ 7 ]}

Una señal con ruido de fase espectral${\displaystyle S_{\varphi }}$con unidades rad ² /Hz se puede convertir a varianza de Allan mediante ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {2}{\nu _{0}^{2}}}\int _{0}^{f_{b}}S_{\varphi }(f){\frac {\sin ^{4}(\pi \tau f)}{(\pi \tau )^{2}}}\,df.}$

La función de sesgo B ₁ relaciona la varianza de M muestras con la varianza de 2 muestras, manteniendo constantes el tiempo entre mediciones T y el tiempo para cada medición τ . Se define ^{[ 19 ]} como

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

La función de sesgo se convierte en después del análisis

${\displaystyle B_{1}(N,r,\mu )={\frac {1+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {N-n}{N(N-1)}}\left[2(rn)^{\mu +2}-(rn+1)^{\mu +2}-|rn-1|^{\mu +2}\right]}{1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}}.}$

La función de sesgo B ₂ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestreo T con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo constante el número de muestras N = 2 y el tiempo de observación τ . Se define ^{[ 19 ]} como

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau ,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle r={\frac {T}{\tau }}.}$

La función de sesgo se convierte en después del análisis

${\displaystyle B_{2}(r,\mu )={\frac {1+{\frac {1}{2}}\left[2r^{\mu +2}-(r+1)^{\mu +2}-|r-1|^{\mu +2}\right]}{2\left(1-2^{\mu }\right)}}.}$

La función de sesgo B ₃ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestreo MT ₀ y el tiempo de observación Mτ ₀ con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan) y se define ^{[ 20 ]} como

${\displaystyle B_{3}(N,M,r,\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,M,T,\tau )\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(N,T,\tau )\right\rangle }},}$

dónde

${\displaystyle T=MT_{0},}$

${\displaystyle \tau =M\tau _{0}.}$

La función de sesgo B _{3 es útil para ajustar los valores del estimador de variables} τ no superpuestas y superpuestas en función de las mediciones de tiempo muerto del tiempo de observación τ ₀ y el tiempo entre observaciones T ₀ a estimaciones normales de tiempo muerto.

La función de sesgo se convierte después del análisis (para el caso N  = 2) 

${\displaystyle B_{3}(2,M,r,\mu )={\frac {2M+MF(Mr)-\sum _{n=1}^{M-1}(M-n)\left[2F(nr)-F{\big (}(M+n)r{\big )}+F{\big (}(M-n)r{\big )}\right]}{M^{\mu +2}[F(r)+2]}},}$

dónde

${\displaystyle F(A)=2A^{\mu +2}-(A+1)^{\mu +2}-|A-1|^{\mu +2}.}$

Aunque no se ha formulado formalmente, se ha inferido indirectamente como consecuencia del mapeo α – μ . Al comparar dos medidas de varianza de Allan para diferentes τ , asumiendo el mismo ruido dominante en forma del mismo coeficiente μ, se puede definir un sesgo como

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )={\frac {\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{2},\tau _{2})\right\rangle }{\left\langle \sigma _{y}^{2}(2,\tau _{1},\tau _{1})\right\rangle }}.}$

La función de sesgo se convierte en después del análisis

${\displaystyle B_{\tau }(\tau _{1},\tau _{2},\mu )=\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }.}$

Para convertir de un conjunto de mediciones a otro , se pueden combinar las funciones de sesgo B ₁ , B ₂ y τ. Primero, la función B _{1 convierte el valor (} N _​​1 , T ₁ , τ ₁ ) en (2, T ₁ , τ ₁ ), a partir del cual la función B _{2 lo convierte en un valor (2,} τ ₁ , τ ₁ ), es decir, la varianza de Allan en τ ₁ . La medida de varianza de Allan se puede convertir usando la función de sesgo τ de τ ₁ a τ ₂ , a partir del cual se obtiene (2, T ₂ , τ ₂ ) usando B ₂ y finalmente usando B ₁ en la varianza ( N ₂ , T ₂ , τ ₂ ). La conversión completa se convierte en

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle ,}$

dónde

${\displaystyle r_{1}={\frac {T_{1}}{r_{1}}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {T_{2}}{r_{2}}}.}$

De manera similar, para mediciones concatenadas que utilizan M secciones, la extensión lógica se convierte en

${\displaystyle \left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{2},M_{2},T_{2},\tau _{2})\right\rangle =\left({\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}\right)^{\mu }\left[{\frac {B_{3}(N_{2},M_{2},r_{2},\mu )B_{1}(N_{2},r_{2},\mu )B_{2}(r_{2},\mu )}{B_{3}(N_{1},M_{1},r_{1},\mu )B_{1}(N_{1},r_{1},\mu )B_{2}(r_{1},\mu )}}\right]\left\langle \sigma _{y}^{2}(N_{1},M_{1},T_{1},\tau _{1})\right\rangle .}$

Se espera que un sistema de medición tenga un ancho de banda igual o inferior a la frecuencia de Nyquist , como se describe en el teorema de Shannon-Hartley . Como se puede observar en las fórmulas de ruido de ley de potencias, las modulaciones de ruido blanco y de parpadeo dependen de la frecuencia de esquina superior.${\displaystyle f_{H}}$(se supone que estos sistemas solo están filtrados en paso bajo). Considerando la propiedad del filtro de frecuencia, se puede ver claramente que el ruido de baja frecuencia tiene un mayor impacto en el resultado. Para tipos de ruido de modulación de fase relativamente planos (por ejemplo, WPM y FPM), el filtrado tiene relevancia, mientras que para tipos de ruido con mayor pendiente el límite de frecuencia superior se vuelve menos importante, suponiendo que el ancho de banda del sistema de medición es amplio en relación con el${\displaystyle \tau }$según lo indicado por

${\displaystyle \tau \gg {\frac {1}{2\pi f_{H}}}.}$

Cuando no se cumple este supuesto, el ancho de banda efectivo${\displaystyle f_{H}}$Debe anotarse junto con la medición. Los interesados ​​deben consultar NBS TN394. ^{[ 15 ]}

Sin embargo, si se ajusta el ancho de banda del estimador utilizando múltiplos enteros del tiempo de muestreo${\displaystyle n\tau _{0}}$, entonces el impacto en el ancho de banda del sistema puede reducirse a niveles insignificantes. Para las necesidades de telecomunicaciones, tales métodos han sido necesarios para garantizar la comparabilidad de las mediciones y permitir cierta libertad a los proveedores para realizar diferentes implementaciones. La recomendación ITU-T G.813 ^{[ 21 ]} para la medición TDEV.

Se puede recomendar que el primero${\displaystyle \tau _{0}}$Se ignorarán los múltiplos, de modo que la mayor parte del ruido detectado se encuentre dentro de la banda de paso del ancho de banda del sistema de medición.

Se realizaron mejoras en la varianza de Allan para reducir el ancho de banda del hardware mediante software. Este desarrollo del ancho de banda por software permitió abordar el ruido restante, y el método ahora se conoce como varianza de Allan modificada . Esta técnica de reducción de ancho de banda no debe confundirse con la variante mejorada de la varianza de Allan modificada , que también modifica el ancho de banda de un filtro de suavizado.

Muchos instrumentos de medición de tiempo y frecuencia tienen las etapas de tiempo de armado, tiempo de base de tiempo, tiempo de procesamiento y pueden luego volver a disparar el armado. El tiempo de armado es desde el momento en que se dispara el armado hasta que ocurre el evento de inicio en el canal de inicio. La base de tiempo luego asegura que transcurra una cantidad mínima de tiempo antes de aceptar un evento en el canal de parada como evento de parada. El número de eventos y el tiempo transcurrido entre el evento de inicio y el evento de parada se registran y presentan durante el tiempo de procesamiento. Cuando ocurre el procesamiento (también conocido como tiempo de espera ), el instrumento generalmente no puede realizar otra medición. Después de que ha ocurrido el procesamiento, un instrumento en modo continuo dispara el circuito de armado nuevamente. El tiempo entre el evento de parada y el siguiente evento de inicio se convierte en tiempo muerto , durante el cual no se observa la señal. Dicho tiempo muerto introduce sesgos de medición sistemáticos, que deben compensarse para obtener resultados correctos. Para tales sistemas de medición, el tiempo T denotará el tiempo entre eventos de inicio adyacentes (y por lo tanto mediciones), mientras que${\displaystyle \tau }$denota la duración de la base de tiempo, es decir, la duración nominal entre el evento de inicio y el evento de finalización de cualquier medición.

Los efectos del tiempo muerto en las mediciones tienen tal impacto en el resultado que se han realizado numerosos estudios para cuantificar adecuadamente sus propiedades. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad de este análisis. Un contador de tiempo muerto cero tiene la propiedad de que el evento de parada de una medición también se utiliza como evento de inicio de la siguiente. Estos contadores crean una serie de pares de eventos y marcas de tiempo, uno para cada canal, espaciados por la base de tiempo. Dichas mediciones también han demostrado ser útiles en análisis de series temporales ordenados.

Las mediciones realizadas con tiempo muerto pueden corregirse mediante las funciones de sesgo B ₁ , B ₂ y B ₃ . Por lo tanto, el tiempo muerto en sí no impide el acceso a la varianza de Allan, pero sí lo hace más problemático. Es necesario conocer el tiempo muerto para poder determinar el intervalo de tiempo entre muestras T.

Al estudiar el efecto que tienen la longitud N de la serie de muestras y el efecto del parámetro variable τ n sobre los intervalos de confianza , los intervalos de confianza pueden volverse muy grandes ya que el grado de libertad efectivo puede volverse pequeño para alguna combinación de N y n para la forma de ruido dominante (para ese τ ).

El efecto puede ser que el valor estimado sea mucho menor o mucho mayor que el valor real, lo que puede llevar a conclusiones erróneas sobre el resultado.

Se recomienda que:

• El intervalo de confianza debe representarse gráficamente junto con los datos, de manera que quien lea el gráfico conozca la incertidumbre estadística de los valores.
• La longitud de la secuencia de muestras (es decir, el número de muestras N ) debe mantenerse lo más alta posible para garantizar que el intervalo de confianza sea pequeño en el rango τ de interés.
• Los estimadores que proporcionan mejores valores de grados de libertad pueden utilizarse en sustitución de los estimadores de varianza de Allan o como complemento cuando superan a estos últimos. Entre ellos, deben considerarse los estimadores de varianza total y de varianza de Theo .
• El rango de τ, tal como lo barre el multiplicador τ ₀ n, está limitado en el extremo superior relativo a N , de manera que el lector del gráfico no pueda confundirse con valores de estimador altamente inestables.

Un gran número de constantes de conversión, correcciones de sesgo e intervalos de confianza dependen del tipo de ruido dominante. Para una interpretación adecuada, es necesario identificar el tipo de ruido dominante para el valor de τ de interés mediante la identificación del ruido. Si no se identifica el tipo de ruido dominante, se obtendrán valores sesgados. Algunos de estos sesgos pueden ser de varios órdenes de magnitud , por lo que pueden tener una gran importancia.

Los efectos sistemáticos sobre la señal solo se cancelan parcialmente. El desfase de fase y frecuencia se cancela, pero la deriva lineal u otras formas de alto grado de curvas de fase polinómicas no se cancelarán y, por lo tanto, constituyen una limitación de la medición. Se puede emplear el ajuste de curvas y la eliminación del desfase sistemático. A menudo, la eliminación de la deriva lineal puede ser suficiente. También se pueden emplear estimadores de deriva lineal, como la varianza de Hadamard . La eliminación de la deriva lineal se puede realizar mediante un estimador basado en momentos.

Los instrumentos tradicionales solo proporcionaban la medición de eventos individuales o pares de eventos. La introducción de la herramienta estadística mejorada de mediciones superpuestas por JJ Snyder ^{[ 10 ]} permitió una resolución mucho mejor en las lecturas de frecuencia, rompiendo el equilibrio tradicional de dígitos/base de tiempo. Si bien estos métodos son útiles para su propósito previsto, el uso de tales mediciones suavizadas para cálculos de varianza de Allan daría una falsa impresión de alta resolución, ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} pero para τ más largo el efecto se elimina gradualmente, y la región de τ más bajo de la medición tiene valores sesgados. Este sesgo proporciona valores más bajos de lo que deberían, por lo que es un sesgo demasiado optimista (suponiendo que se desean números bajos), lo que reduce la utilidad de la medición en lugar de mejorarla. Estos algoritmos inteligentes generalmente se pueden deshabilitar o eludir de otra manera usando el modo de marca de tiempo, que es mucho más preferible si está disponible.

Todas las mediciones de la varianza de Allan consistirán, en efecto, en la comparación de dos relojes diferentes. Consideremos un reloj de referencia y un dispositivo bajo prueba ( DUT ), ambos con una frecuencia nominal común de 10  MHz. Se utiliza un contador de intervalos de tiempo para medir el tiempo transcurrido entre el flanco ascendente del reloj de referencia (canal A) y el flanco ascendente del dispositivo bajo prueba.

Para obtener mediciones con intervalos uniformes, la señal del reloj de referencia se divide para generar la frecuencia de medición, activando así el contador de intervalos (entrada ARM). Esta frecuencia puede ser de 1  Hz (utilizando la salida de 1 PPS del reloj de referencia), pero también se pueden usar otras frecuencias como 10  Hz y 100  Hz. La velocidad con la que el contador de intervalos completa la medición, emite el resultado y se prepara para la siguiente medición limitará la frecuencia de activación.

Un ordenador resulta útil entonces para registrar la serie de diferencias de tiempo que se observan.

Las series temporales registradas requieren un procesamiento posterior para desenrollar la fase envuelta, de modo que se obtenga un error de fase continuo. Si es necesario, también deben corregirse los errores de registro y medición. Debe realizarse una estimación y eliminación de la deriva, y es preciso identificar y comprender el mecanismo de deriva en las fuentes. Las limitaciones de deriva en las mediciones pueden ser severas, por lo que es necesario permitir que los osciladores se estabilicen, manteniéndolos encendidos durante un tiempo suficiente.

La varianza de Allan se puede calcular utilizando los estimadores proporcionados, y, a efectos prácticos, se recomienda usar el estimador de solapamiento debido a su mejor aprovechamiento de los datos en comparación con el estimador sin solapamiento. También se pueden usar otros estimadores, como los de varianza total o de Theo, si se aplican correcciones de sesgo para obtener resultados compatibles con la varianza de Allan.

Para formar los gráficos clásicos, la desviación de Allan (raíz cuadrada de la varianza de Allan) se representa en formato logarítmico-logarítmico frente al intervalo de observación τ . 

El contador de intervalos de tiempo suele ser un contador comercial estándar. Los factores limitantes incluyen la resolución de una sola medición, la fluctuación del disparo, la velocidad de medición y la estabilidad del reloj de referencia. La adquisición y el procesamiento posterior de los datos se pueden realizar con software comercial o de dominio público. Existen soluciones muy avanzadas que integran la medición y el cálculo en un solo dispositivo.