Diferencia absoluta media

La diferencia absoluta media (univariada) es una medida de dispersión estadística igual a la diferencia absoluta media de dos valores independientes extraídos de una distribución de probabilidad . Una estadística relacionada es la diferencia absoluta media relativa , que es la diferencia absoluta media dividida por la media aritmética , e igual al doble del coeficiente de Gini . La diferencia absoluta media también se conoce como diferencia media absoluta (que no debe confundirse con el valor absoluto de la diferencia media con signo ) y diferencia media de Gini (GMD). ^{[ 1 ]} La diferencia absoluta media a veces se denota por Δ o como MD.

La diferencia absoluta media se define como el "promedio" o "media", formalmente el valor esperado , de la diferencia absoluta de dos variables aleatorias X e Y distribuidas de forma independiente e idéntica con la misma distribución (desconocida) que en adelante se denominará Q.

${\displaystyle \mathrm {MD}$ :=E[|XY|].}

Específicamente, en el caso discreto,

• Para una muestra aleatoria de tamaño n de una población distribuida uniformemente según Q , por la ley de la esperanza total, la diferencia absoluta media (empírica) de la secuencia de valores de muestra y _i , i = 1 a n se puede calcular como la media aritmética del valor absoluto de todas las diferencias posibles:

${\displaystyle \mathrm {MD} =E[|XY|]=E_{X}[E_{Y|X}[|XY|]]={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-y_{j}|.}$

• Si Q tiene una función de probabilidad discreta f ( y ), donde y _i , i = 1 a n , son los valores con probabilidades distintas de cero:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|.}$

En el caso continuo,

• si${\displaystyle Q}$tiene una función de densidad de probabilidad${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,f(y)\,|x-y|\,dx\,dy.}$

Una forma alternativa de la ecuación viene dada por:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }2\,f(x)\,f(x+\delta )\,\delta \,dx\,d\delta .}$

• si${\displaystyle Q}$tiene una función de distribución acumulativa${\displaystyle F(x)}$con función cuantil${\displaystyle Q(F)}$, entonces, ya que${\textstyle f(x)=dF(x)/dx}$y${\displaystyle Q(F(x))=x}$De ello se deduce que:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.}$

Cuando la distribución de probabilidad tiene una media aritmética finita y distinta de cero AM, la diferencia absoluta media relativa, a veces denotada por Δ o RMD, se define por

${\displaystyle \mathrm {RMD} ={\frac {\mathrm {MD} }{\mathrm {AM} }}.}$

La diferencia absoluta media relativa cuantifica la diferencia absoluta media en comparación con la magnitud de la media y es una magnitud adimensional . La diferencia absoluta media relativa es igual al doble del coeficiente de Gini , que se define en términos de la curva de Lorenz . Esta relación ofrece perspectivas complementarias tanto para la diferencia absoluta media relativa como para el coeficiente de Gini, incluyendo métodos alternativos para calcular sus valores.

La diferencia absoluta media es invariante a las traslaciones y la negación, y varía proporcionalmente a la escala positiva. Es decir, si X es una variable aleatoria y c es una constante:

• ${\displaystyle \mathrm {MD(X+c)=MD(X)} }$,
• ${\displaystyle \mathrm {MD(-X)=MD(X)} }$, y
• ${\displaystyle \mathrm {MD(cX)=|c|MD(X)} }$.

La diferencia absoluta media relativa es invariante a la escala positiva, conmuta con la negación y varía bajo traslación en proporción a la razón de las medias aritméticas original y trasladada. Es decir, si X es una variable aleatoria y c es una constante:

• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (X+c)=\mathrm {RMD} (X)\cdot {\frac {\mathrm {mean} (X)}{\mathrm {mean} (X)+c}}={\frac {\mathrm {RMD} (X)}{1+{\frac {c}{\mathrm {mean} (X)}}}}\quad {\text{for }}c\neq -\mathrm {mean} (X)}$,
• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (-X)=-\mathrm {RMD} (X)}$, y
• ${\displaystyle \mathrm {RMD} (cX)=\mathrm {RMD} (X)\quad {\text{for }}c>0}$.

Si una variable aleatoria tiene una media positiva, su diferencia absoluta media relativa siempre será mayor o igual que cero. Si, además, la variable aleatoria solo puede tomar valores mayores o iguales que cero, su diferencia absoluta media relativa será menor que 2.

La diferencia absoluta media es el doble de la escala L (el segundo momento L ), mientras que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza respecto a la media (el segundo momento central convencional ). Las diferencias entre los momentos L y los momentos convencionales se aprecian primero al comparar la diferencia absoluta media y la desviación estándar (tanto el primer momento L como el primer momento convencional son la media).

Tanto la desviación estándar como la diferencia absoluta media miden la dispersión: cuán dispersos están los valores de una población o las probabilidades de una distribución. La diferencia absoluta media no se define en términos de una medida específica de tendencia central , mientras que la desviación estándar se define en términos de la desviación respecto a la media aritmética. Dado que la desviación estándar eleva al cuadrado sus diferencias, tiende a dar mayor peso a las diferencias mayores y menor peso a las menores en comparación con la diferencia absoluta media. Cuando la media aritmética es finita, la diferencia absoluta media también lo será, incluso cuando la desviación estándar sea infinita. Consulte los ejemplos para ver comparaciones específicas.

La desviación estándar de la distancia, introducida recientemente, desempeña un papel similar al de la diferencia absoluta media, pero trabaja con distancias centradas. Véase también E-statistics .

Para una muestra aleatoria S de una variable aleatoria X , que consta de n valores y _i , el estadístico

${\displaystyle \mathrm {MD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{n(n-1)}}}$

es un estimador consistente e insesgado de MD( X ). El estadístico:

${\displaystyle \mathrm {RMD} (S)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-y_{j}|}{(n-1)\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}}$

es un estimador consistente de RMD( X ), pero en general no es insesgado .

Los intervalos de confianza para RMD( X ) se pueden calcular utilizando técnicas de muestreo bootstrap.

En general, no existe un estimador insesgado para RMD( X ), en parte debido a la dificultad de encontrar una estimación insesgada para multiplicar por el inverso de la media. Por ejemplo, incluso cuando se sabe que la muestra se toma de una variable aleatoria X ( p ) para un p desconocido , y X ( p )  −  1 tiene la distribución de Bernoulli , de modo que Pr( X ( p ) = 1) = 1  − p  y Pr( X ( p ) = 2) = p , entonces

RMD( X ( p )) = 2 p (1  − p )/(1 + p )    .

Pero el valor esperado de cualquier estimador R ( S ) de RMD( X ( p )) tendrá la forma:

${\displaystyle \operatorname {E} (R(S))=\sum _{i=0}^{n}p^{i}(1-p)^{n-i}r_{i},}$

donde las r _i son constantes. Por lo tanto, E( R ( S )) nunca puede ser igual a RMD( X ( p )) para todo p entre 0 y 1.

†${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$es la función Beta

• Error absoluto medio
• Desviación media
• Estimador
• Coeficiente de variación
• momento L

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