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momento L

En estadística , los L-momentos son una secuencia de estadísticos que se utilizan para resumir la forma de una distribución de probabilidad . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Son combina...

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En estadística , los L-momentos son una secuencia de estadísticos que se utilizan para resumir la forma de una distribución de probabilidad . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Son combinaciones lineales de estadísticos de orden ( estadísticos L ) análogos a los momentos convencionales , y se pueden usar para calcular cantidades análogas a la desviación estándar , la asimetría y la curtosis , denominadas escala L, asimetría L y curtosis L respectivamente (la media L es idéntica a la media convencional ). Los L-momentos estandarizados se llaman razones de L-momentos y son análogos a los momentos estandarizados . Al igual que con los momentos convencionales, una distribución teórica tiene un conjunto de L-momentos poblacionales. Los L-momentos muestrales se pueden definir para una muestra de la población y se pueden usar como estimadores de los L-momentos poblacionales.

Momentos L de la población

Para una variable aleatoria X , el r -ésimo momento L poblacional es [ 1 ]

λr=1r∑k=0r−1(−1)k(r−1k)mi⁡[incógnitar−k:r],{\displaystyle \lambda _{r}={\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{k}{\binom {r-1}{k}}\operatorname {\mathbb {E} } [X_{rk:r}]\,,}

donde X k:n denota el k -ésimo estadístico de orden ( k -ésimo valor más pequeño) en una muestra independiente de tamaño n de la distribución de X ymi{\displaystyle \mathbb {E} }denota el operador de valor esperado . En particular, los primeros cuatro momentos L de la población son

λ1=mi⁡[incógnita]λ2=12(mi⁡[incógnita2:2]−mi⁡[incógnita1:2])λ3=13(mi⁡[incógnita3:3]−2mi⁡[incógnita2:3]+mi⁡[incógnita1:3])λ4=14(mi⁡[incógnita4:4]−3mi⁡[incógnita3:4]+3mi⁡[incógnita2:4]−mi⁡[incógnita1:4]).{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {\mathbb {E} } [X]\\[4pt]\lambda _{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X_{2:2}]-\operatorname {\mathbb {E} } [X_{1:2}]\right)\\[4pt]\lambda _{3}&={\tfrac {1}{3}}\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X_{3:3}]-2\operatorname {\mathbb {E} } [X_{2:3}]+\operatorname {\mathbb {E} } [X_{1:3}]\right)\\[4pt]\lambda _{4}&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X_{4:4}]-3\operatorname {\mathbb {E} } [X_{3:4}]+3\operatorname {\mathbb {E} } [X_{2:4}]-\operatorname {\mathbb {E} } [X_{1:4}]\right).\end{aligned}}}

Nótese que los coeficientes del r -ésimo momento L son los mismos que en el r -ésimo término de la transformada binomial , tal como se utiliza en la diferencia finita de orden r (análogo finito de la derivada).

Los dos primeros de estos momentos L tienen nombres convencionales:

  • λ1{\displaystyle \lambda _{1}}es la "media", "media L" o "ubicación L",
  • λ2{\displaystyle \lambda _{2}}es la "escala L".

La escala L es igual a la mitad de la diferencia absoluta media . [ 5 ]

Cálculo analítico

Las expectativas a menudo se definen en términos de funciones de densidad de probabilidad , pero la conexión en términos de estas entre las estadísticas de ordenincógnitar:norte{\displaystyle X_{r:n}}y su variable aleatoria subyacenteincógnita{\displaystyle X}es bastante remoto. Se puede encontrar una conexión más cercana en términos de funciones de distribución acumulativa (CDF), ya que estas (véase esta sección ) satisfacen Fincógnitar:norte(incógnita)=∑j=rnorte(nortej)Fincógnita(incógnita)j(1−Fincógnita(incógnita))norte−j.{\displaystyle F_{X_{r:n}}(x)=\sum _{j=r}^{n}{\binom {n}{j}}F_{X}(x)^{j}{\bigl (}1-F_{X}(x){\bigr )}^{nj}.} En particular, se pueden definir polinomiosbr:norte(y)=∑j=rnorte(nortej)yj(1−y)norte−j{\displaystyle b_{r:n}(y)=\sum _{j=r}^{n}{\binom {n}{j}}y^{j}(1-y)^{n-j}}y expresarFincógnitar:norte=br:norte∘Fincógnita{\displaystyle F_{X_{r:n}}=b_{r:n}\circ F_{X}}.

Tener un CDFFincógnita{\displaystyle F_{X}}, la expectativami{incógnita}{\displaystyle \mathbb {E} \{X\}}puede expresarse utilizando una integral de Stieltjes como mi{incógnita}=∫RincógnitadFincógnita(incógnita),{\displaystyle \mathbb {E} \{X\}=\int _{\mathbb {R} }x\,dF_{X}(x),} de este modo mi{incógnitar:norte}=∫Rincógnitad(br:norte∘Fincógnita)(incógnita)=∫Rincógnitabr:norte′(Fincógnita(incógnita))dFincógnita(incógnita){\displaystyle \mathbb {E} \{X_{r:n}\}=\int _{\mathbb {R} }x\,d(b_{r:n}\circ F_{X})(x)=\int _{\mathbb {R} }xb_{r:n}'{\bigl (}F_{X}(x){\bigr )}\,dF_{X}(x)} dóndebr:norte′{\displaystyle b_{r:n}'}es directamente derivado debr:norte{\displaystyle b_{r:n}}Esta integral a menudo se puede simplificar introduciendo la función cuantil .Qincógnita{\displaystyle Q_{X}}mediante el cambio de variablesy=Fincógnita(incógnita),incógnita=Qincógnita(y){\displaystyle y=F_{X}(x),x=Q_{X}(y)}: mi{incógnitar:norte}=∫Rincógnitabr:norte′(Fincógnita(incógnita))dFincógnita(incógnita)=∫01Qincógnita(y)br:norte′(y)dy.{\displaystyle \mathbb {E} \{X_{r:n}\}=\int _{\mathbb {R} }xb_{r:n}'{\bigl (}F_{X}(x){\bigr )}\,dF_{X}(x)=\int _{0}^{1}Q_{X}(y)b_{r:n}'(y)\,dy.} Dado que los momentos L son combinaciones lineales de tales expectativas, las integrales correspondientes se pueden combinar en una para cada momento, donde el integrando esQincógnita(y){\displaystyle Q_{X}(y)}veces un polinomio. Tenemos [ 1 ]λnorte=∫01Qincógnita(y)PAG~norte−1(y)dy{\displaystyle \lambda _{n}=\int _{0}^{1}Q_{X}(y){\widetilde {P}}_{n-1}(y)\,dy} dónde PAG~metro(y)=∑k=0metro(−1)metro−k(metrok)(metro+kk)yk{\displaystyle {\widetilde {P}}_{m}(y)=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}{\binom {m}{k}}{\binom {m+k}{k}}y^{k}} son los polinomios de Legendre desplazados , ortogonales en [ 0,1 ] .

En particular λ1=∫01Qincógnita(y)dy,λ2=∫01Qincógnita(y)(2y−1)dy,λ3=∫01Qincógnita(y)(6y2−6y+1)dy,λ4=∫01Qincógnita(y)(20y3−30y2+12y−1)dy.{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\int _{0}^{1}Q_{X}(y)\,dy,\\[2pt]\lambda _{2}&=\int _{0}^{1}Q_{X}(y)\left(2y-1\right)dy,\\[2pt]\lambda _{3}&=\int _{0}^{1}Q_{X}(y)\left(6y^{2}-6y+1\right)dy,\\[2pt]\lambda _{4}&=\int _{0}^{1}Q_{X}(y)\left(20y^{3}-30y^{2}+12y-1\right)dy.\end{aligned}}}

Teorema de Sillitto

La fórmula integral anterior paraλnorte{\displaystyle \lambda _{n}}tiene la forma de un coeficiente de Fourier generalizado , y aparecieron como tales en la literatura años antes de ser denominados momentos. En la notación de este artículo, Sillitto [ 6 ] demostró

Teorema — Seaincógnita{\displaystyle X}Sea una variable aleatoria continua de valor real con varianza finita, función cuantil.Qincógnita(y){\displaystyle Q_{X}(y)}y momentos L{λr}r=1∞{\displaystyle \{\lambda _{r}\}_{r=1}^{\infty }}. Luego la representaciónQincógnita(y)=∑r=1∞(2r−1)λrPAG~r−1(y)para 0<y<1{\displaystyle Q_{X}(y)=\sum _{r=1}^{\infty }(2r-1)\lambda _{r}{\widetilde {P}}_{r-1}(y)\qquad {\text{for }}0<y<1}es convergente enL2{\displaystyle L^{2}}norma .

Sin embargo, Hosking [ 1 ] advierte que las sumas parciales de esta serie tienden a dar malas aproximaciones para las colas de la distribución y no necesariamente son monótonas. Problemas similares surgen con la expansión de Cornish-Fisher deQincógnita{\displaystyle Q_{X}}en términos de los cumulantes deincógnita{\displaystyle X}.

Momentos L de muestra

Los momentos L de la muestra se pueden calcular como los momentos L de la población de la muestra, sumando sobre subconjuntos de r elementos de la muestra.{incógnita1<⋯<incógnitaj<⋯<incógnitar},{\displaystyle \left\{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}\right\},}Por lo tanto, promediando dividiendo por el coeficiente binomial : λr=1r⋅(norter)∑incógnita1<⋯<incógnitaj<⋯<incógnitar(−1)r−j(r−1j)incógnitaj.{\displaystyle \lambda _{r}={\frac {1}{r\cdot {\tbinom {n}{r}}}}\,\sum _{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}}(-1)^{r-j}{\binom {r-1}{j}}\,x_{j}\,.}

Agrupar estos por estadística de orden cuenta el número de maneras en que un elemento de una muestra de n  elementos puede ser el j -ésimo elemento de un subconjunto de r  elementos, y produce fórmulas de la forma que se muestra a continuación. Los estimadores directos para los primeros cuatro L-momentos en una muestra finita de n  observaciones son: [ 7 ]

ℓ1=1(norte1)∑i=1norteincógnita(i)ℓ2=12(norte2)∑i=1norte[(i−11)−(norte−i1)]incógnita(i)ℓ3=13(norte3)∑i=1norte[(i−12)−2(i−11)(norte−i1)+(norte−i2)]incógnita(i)ℓ4=14(norte4)∑i=1norte[(i−13)−3(i−12)(norte−i1)+3(i−11)(norte−i2)−(norte−i3)]incógnita(i){\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{1}&={\frac {1}{\tbinom {n}{1}}}\sum _{i=1}^{n}x_{(i)}\\[1ex]\ell _{2}&={\frac {1}{2{\tbinom {n}{2}}}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\tbinom {i-1}{1}}-{\tbinom {n-i}{1}}\right]x_{(i)}\\[1ex]\ell _{3}&={\frac {1}{3{\tbinom {n}{3}}}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\tbinom {i-1}{2}}-2{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{1}}+{\tbinom {n-i}{2}}\right]x_{(i)}\\[1ex]\ell _{4}&={\frac {1}{4{\tbinom {n}{4}}}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\tbinom {i-1}{3}}-3{\tbinom {i-1}{2}}{\tbinom {n-i}{1}}+3{\tbinom {i-1}{1}}{\tbinom {n-i}{2}}-{\tbinom {n-i}{3}}\right]x_{(i)}\end{aligned}}}

donde x ( i ) es el i- ésimo estadístico de orden y(⋅⋅){\displaystyle {\tbinom {\boldsymbol {\cdot }}{\boldsymbol {\cdot }}}}es un coeficiente binomial . Los momentos L de muestra también pueden definirse indirectamente en términos de momentos ponderados por probabilidad , [ 1 ] [ 8 ] [ 9 ] lo que conduce a un algoritmo más eficiente para su cálculo. [ 7 ] [ 10 ]

Relaciones de momento L

Un conjunto de razones de momentos L , o momentos L escalados, se define por τr=λr/λ2,r=3,4,… .{\displaystyle \tau _{r}=\lambda _{r}/\lambda _{2},\qquad r=3,4,\dots ~.} Los más útiles de estos sonτ3,{\displaystyle \tau _{3},}llamada asimetría L yτ4,{\displaystyle \tau _{4},}la curtosis L.

Las razones de los momentos L se encuentran dentro del intervalo (−1, 1) . Se pueden encontrar límites más ajustados para algunas razones de momentos L específicas; en particular, la curtosis L.τ4{\displaystyle \tau _{4}}se encuentra en [ −1 /4, 1) , y [ 1 ]14(5τ32−1)≤τ4<1.{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(5\tau _{3}^{2}-1\right)\leq \tau _{4}<1\,.}

También se puede definir una magnitud análoga al coeficiente de variación , pero basada en los momentos L: τ=λ2/λ1,{\displaystyle \tau =\lambda _{2}/\lambda _{1}\,,} que se denomina "coeficiente de variación L" o "CV-L". Para una variable aleatoria no negativa, este se encuentra en el intervalo (0, 1) [ 1 ] y es idéntico al coeficiente de Gini . [ 11 ]

Los momentos L son cantidades estadísticas que se derivan de los momentos ponderados por probabilidad [ 12 ] (PWM) que se definieron anteriormente (1979). [ 8 ] Los PWM se utilizan para estimar eficientemente los parámetros de distribuciones que se pueden expresar en forma inversa, como las distribuciones de Gumbel , [ 9 ] lambda de Tukey y Wakeby .

Uso

Existen dos formas comunes de utilizar los momentos L, en ambos casos de forma análoga a los momentos convencionales:

  1. Como estadísticas descriptivas para los datos.
  2. Para obtener estimadores de los parámetros de las distribuciones de probabilidad , se aplica el método de los momentos a los L-momentos en lugar de a los momentos convencionales.

Además de realizar estos cálculos con momentos estándar, la estimación se suele realizar mediante métodos de máxima verosimilitud ; sin embargo, el uso de momentos L ofrece varias ventajas. En concreto, los momentos L son más robustos que los momentos convencionales, y la existencia de momentos L de orden superior solo requiere que la variable aleatoria tenga una media finita. Una desventaja de las razones de los momentos L para la estimación es su sensibilidad, generalmente menor. Por ejemplo, la distribución de Laplace tiene una curtosis de 6 y colas exponenciales débiles, pero una razón de cuarto momento L mayor que, por ejemplo, la distribución t de Student con gl=3, que tiene una curtosis infinita y colas mucho más pesadas.

Como ejemplo, consideremos un conjunto de datos con pocos puntos y un valor atípico. Si se utiliza la desviación estándar ordinaria , esta se verá muy influenciada por dicho valor. Sin embargo, si se utiliza la escala L, esta será mucho menos sensible a este valor. Por consiguiente, los momentos L son mucho más significativos que los momentos convencionales al tratar con valores atípicos en los datos. No obstante, existen otros métodos más adecuados para lograr una robustez aún mayor que la simple sustitución de momentos por momentos L. Un ejemplo de ello es el uso de momentos L como estadísticos descriptivos en la teoría de valores extremos  (TVE). Esta aplicación muestra la limitada robustez de los momentos L; es decir, los estadísticos L no son estadísticos resistentes , ya que un único valor extremo puede alterarlos. Sin embargo, al ser lineales (no estadísticos de orden superior ), se ven menos afectados por los valores extremos que los momentos convencionales.

Otra ventaja de los momentos L sobre los momentos convencionales es que su existencia solo requiere que la variable aleatoria tenga una media finita, por lo que los momentos L existen incluso si no existen los momentos convencionales de orden superior (por ejemplo, para la distribución t de Student con pocos grados de libertad ). Además, se requiere una varianza finita para que los errores estándar de las estimaciones de los momentos L sean finitos. [ 1 ]

Algunas apariciones de los momentos L en la literatura estadística incluyen el libro de David y Nagaraja (2003, Sección 9.9) [ 13 ] y varios artículos. [ 11 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] Se han reportado varias comparaciones favorables de los momentos L con los momentos ordinarios. [ 19 ] [ 20 ]

Valores para algunas distribuciones comunes

La tabla siguiente proporciona expresiones para los dos primeros  momentos L y valores numéricos de las dos primeras razones de los momentos L de algunas distribuciones de probabilidad continuas comunes con razones de momentos L constantes. [ 1 ] [ 5 ] Se han derivado expresiones más complejas para otras distribuciones en las que las razones de los momentos L varían con uno o más parámetros de la distribución, incluidas las distribuciones log-normal , Gamma , Pareto generalizada , de valores extremos generalizada y logística generalizada . [ 1 ]

La notación para los parámetros de cada distribución es la misma que la utilizada en el artículo enlazado. En la expresión para la media de la distribución de Gumbel , γ e es la constante de Euler-Mascheroni 0,5772 1566 4901 ... .

Extensiones

Los momentos L recortados son generalizaciones de los momentos L que dan un peso cero a las observaciones extremas. Por lo tanto, son más robustos ante la presencia de valores atípicos y, a diferencia de los momentos L, pueden estar bien definidos para distribuciones para las que no existe la media, como la distribución de Cauchy . [ 21 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hosking, JRM (1990). "Momentos L: análisis y estimación de distribuciones mediante combinaciones lineales de estadísticas de orden". Journal of the Royal Statistical Society, Serie B. 52 ( 1): 105– 124. doi : 10.1111/j.2517-6161.1990.tb01775.x . JSTOR 2345653 . 
  2. ↑ Hosking, JRM (1992). "¿Momentos o momentos L? Un ejemplo que compara dos medidas de la forma de la distribución". The American Statistician . 46 (3): 186– 189. doi : 10.2307/2685210 . JSTOR 2685210 . 
  3. ↑ Hosking, JRM (2006). "Sobre la caracterización de distribuciones mediante sus L-momentos". Journal of Statistical Planning and Inference . 136 : 193–198 . doi : 10.1016/j.jspi.2004.06.004 .
  4. ↑ Asquith, WH (2011) Análisis de distribución con estadísticas de momentos L utilizando el entorno R para computación estadística , Create Space Independent Publishing Platform, [impresión bajo demanda], ISBN 1-463-50841-7
  5. 1 2 Jones, MC (2002). "Distribución más simple de Student". Journal of the Royal Statistical Society, Serie D . 51 (1): 41– 49. doi : 10.1111/1467-9884.00297 . JSTOR 3650389 . 
  6. ↑ Sillitto, GP (1969). "Derivación de aproximaciones a la función de distribución inversa de una población continua univariada a partir de las estadísticas de orden de una muestra". Biometrika . 56 (3): 641– 650. doi : 10.1093/biomet/56.3.641 .
  7. 1 2 Wang, QJ (1996). "Estimadores de muestra directa de L-momentos". Water Resources Research . 32 (12): 3617– 3619. Bibcode : 1996WRR....32.3617W . doi : 10.1029/96WR02675 .
  8. 1 2 Greenwood, JA; Landwehr, JM; Matalas, NC; Wallis, JR (1979). "Momentos ponderados por probabilidad: Definición y relación con parámetros de varias distribuciones expresadas en forma inversa" (PDF) . Water Resources Research . 15 (5): 1049– 1054. doi : 10.1029/WR015i005p01049 . S2CID 121955257. Archivado del original (PDF) el 10 de febrero de 2020. 
  9. 1 2 Landwehr, JM; Matalas, NC; Wallis, JR (1979). "Comparación de momentos ponderados por probabilidad con algunas técnicas tradicionales en la estimación de parámetros y cuantiles de Gumbel". Water Resources Research . 15 (5): 1055– 1064. Bibcode : 1979WRR....15.1055L . doi : 10.1029/WR015i005p01055 .
  10. ↑ " Momentos L" . NIST Dataplot. itl.nist.gov (documentación). Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . 6 de enero de 2006. Consultado el 19 de enero de 2013 . 
  11. 1 2 Valbuena, R.; Maltamo, M.; Mehtätalo, L.; Packalen, P. (2017). "Las características estructurales clave de los bosques boreales pueden detectarse directamente utilizando momentos L a partir de datos lidar aerotransportados" . Remote Sensing of Environment . 194 : 437–446 . Bibcode : 2017RSEnv.194..437V . doi : 10.1016/j.rse.2016.10.024 .
  12. ↑ Hosking, JRM; Wallis, JR (2005). Análisis de frecuencia regional: un enfoque basado en momentos L. Cambridge University Press. pág. 3. ISBN  978-0521019408Consultado el 22 de enero de 2013 .
  13. ^ David, HA; Nagaraja, HN (2003). Estadísticas de pedidos (3ª ed.). Wiley. ISBN  978-0-471-38926-2.
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  18. ↑ Jones, MC (2009). "Distribución de Kumaraswamy: una distribución de tipo beta con algunas ventajas de manejabilidad". Metodología estadística . 6 (1): 70– 81. doi : 10.1016/j.stamet.2008.04.001 .
  19. ↑ Royston, P. (1992). "¿Qué medidas de asimetría y curtosis son las mejores?". Statistics in Medicine . 11 (3): 333– 343. doi : 10.1002/sim.4780110306 . PMID 1609174 . 
  20. ↑ Ulrych, TJ; Velis, DR; Woodbury, AD; Sacchi, MD (2000). "Momentos L y momentos C" . Investigación ambiental estocástica y evaluación de riesgos . 14 (1): 50– 68. Bibcode : 2000SERRA..14...50U . doi : 10.1007/s004770050004 . S2CID 120542594 . 
  21. ↑ Elamir, Elsayed AH; Seheult, Allan H. (2003). "L-momentos recortados". Computational Statistics & Data Analysis . 43 (3): 299– 314. doi : 10.1016/S0167-9473(02)00250-5 .
  • La página de L-moments Jonathan RM Hosking, IBM Research
  • Momentos L. Manual de referencia de Dataplot , vol. 1, capítulo auxiliar. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología , 2006. Consultado el 25 de mayo de 2010.
  • Lmo, una biblioteca ligera para Python, incluye funciones para el cálculo rápido de momentos L, momentos L recortados y momentos L multivariados.