Distancia de energía

La distancia energética es una distancia estadística entre distribuciones de probabilidad . Si X e Y son vectores aleatorios independientes en R ^d con funciones de distribución acumulativa (cdf) F y G respectivamente, entonces la distancia energética entre las distribuciones F y G se define como la raíz cuadrada de

${\displaystyle D^{2}(F,G)=2\operatorname {E} \|XY\|-\operatorname {E} \|XX'\|-\operatorname {E} \|YY'\|\geq 0,}$

donde (X, X', Y, Y') son independientes, la función de distribución acumulada de X y X' es F, la función de distribución acumulada de Y y Y' es G,${\displaystyle \operatorname {E} }$es el valor esperado , y || . || denota la longitud de un vector. La distancia de energía satisface todos los axiomas de una métrica, por lo tanto, la distancia de energía caracteriza la igualdad de distribuciones: D(F,G) = 0 si y solo si F = G. La distancia de energía para aplicaciones estadísticas fue introducida en 1985 por Gábor J. Székely , quien demostró que para variables aleatorias de valor real${\displaystyle D^{2}(F,G)}$es exactamente el doble de la distancia de Cramér : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(F(x)-G(x))^{2}\,dx.}$

Para una demostración sencilla de esta equivalencia, véase Székely (2002). ^{[ 2 ]}

En dimensiones superiores, sin embargo, las dos distancias son diferentes porque la distancia de energía es invariante a la rotación, mientras que la distancia de Cramér no lo es. (Nótese que la distancia de Cramér no es la misma que el criterio de Cramér-von Mises libre de distribución ).

Se puede generalizar la noción de distancia energética a distribuciones de probabilidad en espacios métricos. Sea${\displaystyle (M,d)}$sea ​​un espacio métrico con su álgebra sigma de Borel${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$denota el conjunto de todas las medidas de probabilidad en el espacio medible${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$. Si μ y ν son medidas de probabilidad en${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$, entonces la distancia de energía${\displaystyle D}$de μ y ν se puede definir como la raíz cuadrada de

${\displaystyle D^{2}(\mu ,\nu )=2\operatorname {E} [d(X,Y)]-\operatorname {E} [d(X,X')]-\operatorname {E} [d(Y,Y')].}$

Sin embargo, esto no es necesariamente no negativo. Si${\displaystyle (M,d)}$es un núcleo fuertemente definido negativo, entonces ${\displaystyle D}$es una métrica , y viceversa. ^{[ 3 ]} Esta condición se expresa diciendo que${\displaystyle (M,d)}$tiene tipo negativo. El tipo negativo no es suficiente para${\displaystyle D}$ser una métrica; esta última condición se expresa diciendo que${\displaystyle (M,d)}$tiene un tipo negativo fuerte. En esta situación, la distancia de energía es cero si y solo si X e Y tienen la misma distribución. Un ejemplo de una métrica de tipo negativo pero no de tipo negativo fuerte es el plano con la métrica de taxicab . Todos los espacios euclidianos e incluso los espacios de Hilbert separables tienen un tipo negativo fuerte. ^{[ 4 ]}

En la literatura sobre métodos de kernel para aprendizaje automático , estas nociones generalizadas de distancia energética se estudian bajo el nombre de discrepancia media máxima. Varios autores abordan la equivalencia de los métodos basados ​​en distancia y en kernel para la prueba de hipótesis. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Un concepto estadístico relacionado, la noción de estadística E o estadística energética ^{[ 7 ],} fue introducido por Gábor J. Székely en la década de 1980 durante sus conferencias en Budapest, Hungría, y en el MIT, Yale y Columbia. Este concepto se basa en la noción de energía potencial de Newton ^{[ 8 ]} . La idea es considerar las observaciones estadísticas como cuerpos celestes regidos por una energía potencial estadística que es cero solo cuando una hipótesis nula estadística subyacente es verdadera. Las estadísticas energéticas son funciones de las distancias entre las observaciones estadísticas.

La distancia energética y el estadístico E se consideraron como N -distancias y N-estadístico en Zinger AA, Kakosyan AV, Klebanov LB Caracterización de distribuciones mediante valores medios de algunos estadísticos en conexión con algunas métricas de probabilidad, Problemas de estabilidad para modelos estocásticos. Moscú, VNIISI, 1989, 47-55. (en ruso), Traducción al inglés: Una caracterización de distribuciones mediante valores medios de estadísticos y ciertas métricas probabilísticas AA Zinger, AV Kakosyan, LB Klebanov en Journal of Soviet Mathematics (1992). En el mismo artículo se dio una definición de núcleo fuertemente definido negativo y se proporcionó una generalización en espacios métricos, discutidos anteriormente. El libro ^{[ 3 ]} presenta estos resultados y sus aplicaciones a pruebas estadísticas. El libro también contiene algunas aplicaciones para recuperar la medida a partir de su potencial.

Las aplicaciones incluyen:

• Agrupamiento jerárquico (una generalización del método de Ward) ^{[ 11 ] [ 12 ]}
• Prueba de normalidad multivariante ^{[ 9 ]}
• Probar la hipótesis de muestras múltiples de distribuciones iguales, ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• Detección de puntos de cambio ^{[ 16 ]}
• Independencia multivariada:
  • correlación de distancia , ^{[ 17 ]}
  • covarianza browniana . ^{[ 18 ]}
• Reglas de puntuación :

Gneiting y Raftery ^{[ 19 ]} aplican la distancia de energía para desarrollar un nuevo y muy general tipo de regla de puntuación adecuada para predicciones probabilísticas, la puntuación de energía.

• Estadísticas robustas ^{[ 20 ]}
• Reducción de escenarios ^{[ 21 ]}
• Selección genética ^{[ 22 ]}
• Análisis de datos de microarrays ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}
• Análisis de la estructura del material ^{[ 26 ]}
• Datos morfométricos y quimiométricos ^{[ 27 ]}

Las aplicaciones de las estadísticas energéticas se implementan en el paquete de energía de código abierto ^{[ 28 ]} para R .