raíz unitaria

En teoría de la probabilidad y estadística , una raíz unitaria es una propiedad de ciertos procesos estocásticos (como un paseo aleatorio ) que puede plantear dificultades para la inferencia estadística en modelos de series temporales . Un proceso estocástico lineal contiene una raíz unitaria si 1 es una solución de su ecuación característica .

Los procesos con raíz unitaria no son estacionarios , porque no necesariamente presentan una tendencia determinista.

Si las demás raíces de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo unitario —es decir, tienen un módulo ( valor absoluto ) menor que uno— entonces la primera diferencia del proceso será estacionaria; de lo contrario, el proceso deberá diferenciarse varias veces para volverse estacionario. ^{[ 1 ]} Si hay d raíces unitarias, el proceso deberá diferenciarse d veces para que sea estacionario. ^{[ 2 ]} Debido a esta característica, los procesos con raíz unitaria también se denominan estacionarios en diferencias. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Los procesos de raíz unitaria a veces se confunden con los procesos estacionarios en tendencia ; si bien comparten muchas propiedades, difieren en muchos aspectos. Es posible que una serie temporal no sea estacionaria, pero no tenga raíz unitaria y sea estacionaria en tendencia. Tanto en los procesos de raíz unitaria como en los estacionarios en tendencia, la media puede crecer o disminuir con el tiempo; sin embargo, ante una perturbación, los procesos estacionarios en tendencia son transitorios (la serie temporal convergerá nuevamente hacia la media creciente, que no se vio afectada por la perturbación), mientras que los procesos de raíz unitaria tienen un impacto permanente en la media (es decir, no hay convergencia en el tiempo). ^{[ 5 ]}

Si una raíz de la ecuación característica del proceso es mayor que 1, entonces se le llama proceso explosivo , aunque a veces a dichos procesos se les llama erróneamente procesos de raíz unitaria.

La presencia de una raíz unitaria se puede comprobar mediante una prueba de raíz unitaria .

Consideremos un proceso estocástico de tiempo discreto.${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$y supongamos que se puede escribir como un proceso autorregresivo de orden p : 

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon _{t}.}$

Aquí,${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$es un proceso estocástico de media cero, sin correlación serial y con varianza constante.${\displaystyle \sigma ^{2}}$Para mayor comodidad, supongamos que...${\displaystyle y_{0}=0}$. Si${\displaystyle m=1}$es una raíz de la ecuación característica , de multiplicidad 1:

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

entonces el proceso estocástico tiene una raíz unitaria o, alternativamente, es integrado de orden uno, denotado${\displaystyle I(1)}$. Si m = 1 es una raíz de multiplicidad r , entonces el proceso estocástico está integrado de orden r , denotado I ( r ).

El modelo autorregresivo de primer orden,${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$, tiene una raíz unitaria cuando${\displaystyle a_{1}=1}$En este ejemplo, la ecuación característica es${\displaystyle m-a_{1}=0}$La raíz de la ecuación es${\displaystyle m=1}$.

Si el proceso tiene una raíz unitaria, entonces es una serie temporal no estacionaria. Es decir, los momentos del proceso estocástico dependen de${\displaystyle t}$Para ilustrar el efecto de una raíz unitaria, podemos considerar el caso de primer orden, partiendo de y ₀  =  0:

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Mediante sustitución repetida, podemos escribir${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$. Entonces la varianza de${\displaystyle y_{t}}$está dado por:

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

La varianza depende de t ya que${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$, mientras${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$. La varianza de la serie diverge hacia el infinito con t . 

Existen diversas pruebas para comprobar la existencia de una raíz unitaria, algunas de ellas se presentan a continuación:

1. Las pruebas de Dickey-Fuller (DF) o Dickey-Fuller aumentada (ADF)
2. Prueba de significancia de más de un coeficiente ( prueba F )
3. La prueba de Phillips-Perron (PP)
4. Prueba de Dickey Pantula

Además de los modelos autorregresivos (AR) y autorregresivos de media móvil (ARMA), en el análisis de regresión surgen otros modelos importantes donde los errores del modelo pueden tener una estructura de serie temporal y, por lo tanto, pueden requerir ser modelados mediante un proceso AR o ARMA que puede tener una raíz unitaria, como se mencionó anteriormente. Se han analizado las propiedades de muestra finita de los modelos de regresión con errores ARMA de primer orden, incluidas las raíces unitarias. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

A menudo, se utiliza el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para estimar los coeficientes de pendiente del modelo autorregresivo . El uso de MCO se basa en que el proceso estocástico sea estacionario. Cuando el proceso estocástico no es estacionario, el uso de MCO puede producir estimaciones inválidas. Granger y Newbold denominaron a estas estimaciones resultados de «regresión espuria»: ^{[ 8 ]} valores altos ^de R² y altos índices t que producen resultados sin significado real (en su contexto, económico).

Para estimar los coeficientes de pendiente, primero se debe realizar una prueba de raíz unitaria , cuya hipótesis nula es la presencia de una raíz unitaria. Si se rechaza esta hipótesis, se puede utilizar el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Sin embargo, si no se rechaza la presencia de una raíz unitaria, se debe aplicar el operador de diferencia a la serie. Si otra prueba de raíz unitaria muestra que la serie temporal diferenciada es estacionaria, se puede aplicar el MCO a esta serie para estimar los coeficientes de pendiente.

Por ejemplo, en el caso AR(1),${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$está estacionario.

En el caso AR(2),${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$se puede escribir como${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$donde L es un operador de retardo que disminuye el índice de tiempo de una variable en un período:${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$. Si${\displaystyle \lambda _{2}=1}$, el modelo tiene una raíz unitaria y podemos definir${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$; entonces

${\ Displaystyle z_ {t} = \ lambda _ {1} z_ {t-1} + \ varepsilon _ {t}}$

es estacionario si${\displaystyle |\lambda _ {1}|<1}$. El método MCO se puede utilizar para estimar el coeficiente de pendiente,${\displaystyle \lambda _{1}}$.

Si el proceso tiene múltiples raíces unitarias, el operador de diferencia se puede aplicar varias veces.

• Las perturbaciones en un proceso de raíz unitaria tienen efectos permanentes que no se desvanecen como lo harían si el proceso fuera estacionario.
• Como se indicó anteriormente, un proceso de raíz unitaria tiene una varianza que depende de t y diverge hacia el infinito.
• Si se sabe que una serie tiene una raíz unitaria, la serie se puede diferenciar para hacerla estacionaria. Por ejemplo, si una serie${\displaystyle Y_{t}}$es I(1), la serie${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$ es I(0) (estacionaria). Por lo tanto, se denomina serie estacionaria de diferencias .

Los economistas debaten si varias estadísticas económicas, especialmente la producción , tienen una raíz unitaria o son estacionarias en tendencia . ^{[ 9 ]} Un proceso de raíz unitaria con deriva viene dado en el caso de primer orden por

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

donde c es un término constante denominado término de "deriva", y${\displaystyle e_{t}}$es ruido blanco. Cualquier valor distinto de cero del término de ruido, que ocurra solo durante un período, afectará permanentemente el valor de${\displaystyle y_{t}}$como se muestra en el gráfico, por lo que las desviaciones de la línea${\displaystyle y_{t}=a+ct}$no son estacionarios; no hay reversión a ninguna línea de tendencia. Por el contrario, un proceso estacionario en tendencia viene dado por

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

donde k es la pendiente de la tendencia y${\displaystyle u_{t}}$es ruido (ruido blanco en el caso más simple; más generalmente, ruido que sigue su propio proceso autorregresivo estacionario). Aquí, cualquier ruido transitorio no alterará la tendencia a largo plazo de${\displaystyle y_{t}}$para estar sobre la línea de tendencia, como también se muestra en el gráfico. Se dice que este proceso es estacionario en cuanto a la tendencia porque las desviaciones de la línea de tendencia son estacionarias.

El tema es particularmente popular en la literatura sobre ciclos económicos. ^{[ 10 ] [ 11 ]} La investigación sobre el tema comenzó con Nelson y Plosser, cuyo artículo sobre el PNB y otros agregados de producción no logró rechazar la hipótesis de raíz unitaria para estas series. ^{[ 12 ]} Desde entonces, se ha producido un debate, entrelazado con disputas técnicas sobre métodos estadísticos. Algunos economistas ^{[ 13 ]} argumentan que el PIB tiene una raíz unitaria o un quiebre estructural , lo que implica que las recesiones económicas resultan en niveles de PIB permanentemente más bajos a largo plazo. Otros economistas argumentan que el PIB es estacionario en tendencia: es decir, cuando el PIB cae por debajo de la tendencia durante una recesión, luego regresa al nivel implícito por la tendencia, de modo que no hay una disminución permanente en la producción. Si bien la literatura sobre la hipótesis de raíz unitaria puede consistir en un debate arcano sobre métodos estadísticos, la hipótesis tiene implicaciones prácticas significativas para los pronósticos y las políticas económicas.

• Prueba de Dickey-Fuller
• Prueba de Dickey-Fuller aumentada
• Prueba ADF-GLS
• Prueba de raíz unitaria
• Prueba de Phillips-Perron
• Cointegración , determinación de la relación entre dos variables que tienen raíces unitarias
• Prueba de raíz unitaria simétrica ponderada (WS)
• Prueba de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin, conocida como prueba KPSS .