Superficie de traslación (geometría diferencial)

En geometría diferencial, una superficie de traslación es una superficie que se genera mediante traslaciones :

• Para dos curvas espaciales${\displaystyle c_{1},c_{2}}$con un punto en común${\displaystyle P}$, la curva${\displaystyle c_{1}}$se desplaza de tal manera que el punto${\displaystyle P}$sigue adelante${\displaystyle c_{2}}$. Mediante este procedimiento, curva${\displaystyle c_{1}}$genera una superficie: la superficie de traslación .

Si ambas curvas están contenidas en un plano común, la superficie de traslación es plana (parte de un plano). Este caso generalmente se ignora.

Ejemplos sencillos:

1. Cilindro circular recto :${\displaystyle c_{1}}$es un círculo (u otra sección transversal) y${\displaystyle c_{2}}$es una línea.
2. El paraboloide elíptico${\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}$puede ser generado por${\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }$y${\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }$(ambas curvas son parábolas ).
3. El paraboloide hiperbólico${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$puede ser generado por${\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}$(parábola) y${\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}$(parábola abierta hacia abajo).

Las superficies de traslación son populares en geometría descriptiva ^{[ 1 ] [ 2 ]} y arquitectura, ^{[ 3 ]} porque se pueden modelar fácilmente.

En geometría diferencial, las superficies mínimas se representan mediante superficies de traslación o como superficies de cuerda media (véase más abajo). ^{[ 4 ]}

Las superficies de traslación definidas aquí no deben confundirse con las superficies de traslación en geometría compleja .

Para dos curvas espaciales${\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }$y${\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }$con${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$la superficie de traslación${\displaystyle \Phi }$puede representarse mediante: ^{[ 5 ]}

(TS)${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

y contiene el origen. Obviamente, esta definición es simétrica con respecto a las curvas.${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Por lo tanto, ambas curvas se llaman generatrices (una: generatriz ). Cualquier punto${\displaystyle X}$de la superficie está contenida en una copia desplazada de${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$respectivamente, el plano tangente en${\displaystyle X}$se genera mediante los vectores tangentes de las generatrices en este punto, si estos vectores son linealmente independientes .

Si la condición previa${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$no se cumple, la superficie definida por (TS) puede no contener el origen y las curvas${\displaystyle c_{1},c_{2}}$. Pero en cualquier caso la superficie contiene copias desplazadas de cualquiera de las curvas.${\displaystyle c_{1},c_{2}}$como curvas paramétricas${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$y${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$respectivamente.

Las dos curvas${\displaystyle c_{1},c_{2}}$puede utilizarse para generar la denominada superficie de cuerda media correspondiente . Su representación paramétrica es

(SCM)${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

Un helicoide es un caso especial de helicoide generalizado y superficie reglada . Es un ejemplo de superficie mínima y puede representarse como una superficie de traslación.

El helicoide con la representación paramétrica

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

tiene un turno de vuelta (alemán: Ganghöhe)${\displaystyle 2\pi k}$Introducción de nuevos parámetros${\displaystyle \alpha,\varphi}$^{[ 6 ]} de tal manera que

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

y${\displaystyle a}$un número real positivo, se obtiene una nueva representación paramétrica

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

que es la representación paramétrica de una superficie de traslación con las dos generatrices idénticas (!)

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$y

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}$

El punto común utilizado para el diagrama es${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$Las generatrices (idénticas) son hélices con el cambio de giro${\displaystyle k\pi \;,}$que se encuentran sobre el cilindro con la ecuación${\displaystyle (xa)^{2}+y^{2}=a^{2}}$Cualquier curva paramétrica es una copia desplazada de la generatriz.${\displaystyle c_{1}}$(en el diagrama: morado) y está contenido en el cilindro circular recto con radio${\displaystyle a}$, que contiene el eje z .

La nueva representación paramétrica representa solo aquellos puntos del helicoide que se encuentran dentro del cilindro con la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$.

A partir de la nueva representación paramétrica, se reconoce que el helicoide también es una superficie de cuerda media:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$y

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

son dos generatrices idénticas.

En el diagrama:${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$yace en la hélice${\displaystyle d_{1}}$y${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$en la hélice (idéntica)${\displaystyle d_{2}}$. El punto medio del acorde es${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$.

Arquitectura

Una superficie (por ejemplo, un techo) se puede fabricar utilizando una plantilla para curvas. ${\displaystyle c_{2}}$y varias plantillas idénticas de curva${\displaystyle c_{1}}$Las plantillas se pueden diseñar sin necesidad de conocimientos matemáticos. Al posicionarlas, solo es necesario respetar las reglas de una superficie de traslación.

Geometría descriptiva

Para establecer una proyección paralela de una superficie de traslación, se debe 1) producir proyecciones de las dos generatrices, 2) hacer una plantilla de curvas.${\displaystyle c_{1}}$y 3) dibujar con la ayuda de esta plantilla copias de la curva respetando las reglas de una superficie de traslación. El contorno de la superficie es la envolvente de las curvas dibujadas con la plantilla. Este procedimiento funciona para proyecciones ortogonales y oblicuas, pero no para proyecciones centrales .

Geometría diferencial

Para una superficie de traslación con representación paramétrica ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$ las derivadas parciales de${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$son derivadas simples de las curvas. Por lo tanto, las derivadas mixtas siempre son${\displaystyle 0}$y el coeficiente${\displaystyle M}$de la segunda forma fundamental es${\displaystyle 0}$, también. Esto es una facilitación esencial para demostrar que (por ejemplo) un helicoide es una superficie mínima.

• Superficie de revolución (una curva es un círculo)
• Superficie del canal (una curva se reemplaza por una esfera)
• Modelado de superficies de forma libre (se puede trasladar una curva para generar una superficie).

• G. Darboux : Leçons sur la théorie générale des Surfaces et ses application géométriques du calcul infinitésimal , 1–4, Chelsea, reimpresión, 972, págs. Sects. 81–84, 218
• Georg Glaeser . Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik . Springer-Verlag. 2014.ISBN​ 364241852Xpág.  259
  • Georg Glaeser. Geometría y sus aplicaciones en las artes, la naturaleza y la tecnología . pág.  322. ISBN 978-3030613976
• W. Haack : Geometría diferencial elemental , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509pág.  140
• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Kohlhammer Verlag , Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-Xpág.  122
• DJ Struik : Lecciones sobre geometría diferencial clásica , Dover, reimpresión, 1988, págs.  103, 109, 184

• "Superficie de traslación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]