Helicoide generalizado

Mover un punto en una curva helicoidal significa que el punto se rota y se desplaza a lo largo de una línea (eje) de tal manera que el desplazamiento sea proporcional al ángulo de rotación. El resultado es una hélice circular .

Si el eje es el eje z , el movimiento de un punto${\ Displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$puede describirse paramétricamente por

${\displaystyle \mathbf {p} (\varphi )={\begin{pmatrix}x_{0}\cos \varphi -y_{0}\sin \varphi \\x_{0}\sin \varphi +y_{0}\cos \varphi \\z_{0}+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

${\displaystyle c\neq 0}$se llama inclinación , el ángulo${\displaystyle \varphi }$, medido en radianes, se denomina ángulo de tornillo y${\displaystyle h=c\;2\pi }$el paso (verde). La traza del punto es una hélice circular (roja). Está contenida en la superficie de un cilindro circular recto . Su radio es la distancia del punto ${\displaystyle P_{0}}$al eje z .

En caso de ${\displaystyle c>0}$, la hélice se llama dextrógira ; de lo contrario, se dice que es levógira . (En caso de${\displaystyle c=0}$El movimiento es una rotación alrededor del eje z .

El movimiento helicoidal de la curva

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x(t),y(t),z(t))^{T},\ t_{1}\leq t\leq t_{2}\ ,}$

produce un helicoide generalizado con la representación paramétrica

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}x(t)\cos \varphi -y(t)\sin \varphi \\x(t)\sin \varphi +y(t)\cos \varphi \\z(t)+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\quad t_{1}\leq t\leq t_{2},\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

Las curvas${\displaystyle \mathbf {S} (t={\text{constante}},\varphi )}$son hélices circulares. Las curvas${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi ={\text{constante}})}$son copias de la curva de perfil dada.

Ejemplo: En la primera imagen de arriba, el meridiano es una parábola .

Si la curva de perfil es una línea, se obtiene un helicoide generalizado reglamentado . Hay cuatro tipos:

(1) La línea interseca el eje ortogonalmente. Se obtiene un helicoide ( helicoide generalizado cerrado con regla derecha ).

(2) La línea interseca el eje, pero no ortogonalmente. Se obtiene un tipo cerrado oblicuo .

Si la línea dada y el eje son líneas oblicuas, se obtiene un tipo abierto y el eje no forma parte de la superficie (ver imagen).

(3) Si la línea dada y el eje son líneas oblicuas y la línea está contenida en un plano ortogonal al eje, se obtiene un helicoide abierto derecho o, abreviado, abierto .

(4) Si la línea y el eje son oblicuos y la línea no está contenida en ... (s. 3) se obtiene un tipo abierto oblicuo .

Los tipos oblicuos sí se cruzan entre sí (ver imagen), los tipos rectos (helicoides) no.

Se obtiene un caso interesante si la línea es oblicua al eje y el producto de su distancia${\displaystyle d}$al eje y su pendiente es exactamente${\displaystyle c}$En este caso, la superficie es una superficie desarrollable tangente y es generada por la directriz. ${\displaystyle (d\cos \varphi,d\sin \varphi,c\varphi)}$.

Observación:

1. Los helicoides (abiertos y cerrados) son superficies de Catalan . El tipo cerrado (helicoide común) es incluso un conoide.
2. Los helicoides generalizados reglamentados no son superficies algebraicas.

Un helicoide generalizado cerrado tiene una línea de perfil que interseca el eje. Si la línea de perfil se describe por ${\displaystyle (t,0,z_{0}+m\;t)^{T}}$ se obtiene la siguiente representación paramétrica

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}t\cos \varphi \\t\sin \varphi \\z_{0}+mt+c\varphi \end{pmatrix}}\ .}$

Si${\displaystyle m=0}$(helicoide común) la superficie no se interseca a sí misma. Si${\displaystyle m\neq 0}$(tipo oblicuo) la superficie se interseca a sí misma y las curvas (en la superficie)

${\displaystyle \mathbf {S} (t_{i},\varphi )}$con${\displaystyle t_{i}={\frac {h}{4m}}(2i+1),\ i=1,2,\ldots }$

Constan de puntos dobles . Existen infinitas curvas dobles. Las más pequeñas ${\displaystyle |m|}$cuanto mayores sean las distancias entre las curvas dobles.

Para la directriz (una hélice)

${\displaystyle \mathbf {x} (\varphi )=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,c\varphi )^{T}}$

Se obtiene la siguiente representación paramétrica de la superficie desarrollable tangente :

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )=\mathbf {x} (\varphi )+t\mathbf {\dot {x}} (\varphi )={\begin{pmatrix}r\cos \varphi -tr\sin \varphi \\r\sin \varphi +tr\cos \varphi \\c(t+\varphi )\end{pmatrix}}\ .}$

El vector normal de la superficie es

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {S} _{t}\times \mathbf {S} _{\varphi }=\mathbf {\dot {x}} \times (\mathbf {\dot {x}} +t\mathbf {\ddot {x}} )=t(\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {\ddot {x}} )=t{\begin{pmatrix}cr\sin \varphi \\-cr\cos \varphi \\r^{2}\end{pmatrix}}\ .}$

Para${\displaystyle t=0}$El vector normal es el vector nulo. Por lo tanto, la directriz consta de puntos singulares. La directriz separa dos partes regulares de la superficie (véase la imagen).