ecuación de tres ondas

En sistemas no lineales , las ecuaciones de tres ondas , a veces llamadas ecuaciones de interacción resonante de tres ondas o resonancias de tríada , describen ondas de pequeña amplitud en diversos medios no lineales , incluyendo ondas de agua en aguas poco profundas, ondas capilares , el acoplamiento de ondas acústicas en la zona litoral , ondas acústicas en plasma , oscilaciones en circuitos eléctricos y en óptica no lineal . Son un conjunto de tres ecuaciones diferenciales parciales no lineales completamente integrables .

Las ecuaciones de tres ondas representan un modelo determinista fundamental que subyace a la teoría de la turbulencia ondulatoria y sirven como ejemplo paradigmático de interacciones resonantes en medios dispersivos . Surgen cuando tres ondas con vectores de onda${\displaystyle {\vec {k}}_{1}}$,${\displaystyle {\vec {k}}_{2}}$, y${\displaystyle {\vec {k}}_{3}}$satisfacer ambas condiciones de resonancia (comúnmente expresadas como${\displaystyle {\vec {k}}_{1}={\vec {k}}_{2}+{\vec {k}}_{3}}$) y la condición de coincidencia de frecuencia${\displaystyle \omega _ {1} = \ omega _ {2} + \ omega _ {3}}$, dónde${\displaystyle \omega _{i}}$denota la frecuencia angular de cada componente de onda. Estas interacciones de tríada resonante permiten una transferencia de energía eficiente entre los tres modos de onda.

Debido a que proporcionan un ejemplo directo y manejable de interacciones de ondas resonantes, tienen una amplia aplicabilidad en las ciencias físicas y poseen la notable propiedad de la integrabilidad completa , las ecuaciones de tres ondas se han estudiado extensamente desde la década de 1970. ^{[ 1 ]} Su integrabilidad permite obtener soluciones analíticas exactas mediante métodos como la transformada de dispersión inversa , lo que las convierte en una piedra angular en la teoría matemática de sistemas integrables y en el estudio de fenómenos tipo solitón . Las ecuaciones también han desempeñado un papel crucial en el desarrollo de formulaciones hamiltonianas de la dinámica de ondas y en el avance de la comprensión de las cascadas de energía en sistemas de ondas débilmente no lineales.

La ecuación de tres ondas surge al considerar algunos de los sistemas no lineales más simples imaginables . Los sistemas diferenciales lineales tienen la forma genérica

${\displaystyle D\psi =\lambda \psi }$

para algún operador diferencial${\displaystyle D}$. La extensión no lineal más simple de esto es escribir

${\displaystyle D\psi -\lambda \psi =\varepsilon \psi ^{2}.}$

¿Cómo se puede resolver esto? Existen varios enfoques. En algunos casos excepcionales, podrían existir soluciones exactas conocidas para ecuaciones de esta forma. En general, estas se encuentran de alguna manera ad hoc después de aplicar algún ansatz . Un segundo enfoque consiste en suponer que${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$y utilizar la teoría de perturbaciones para encontrar "correcciones" a la teoría linealizada. Un tercer enfoque consiste en aplicar técnicas de la teoría de la matriz de dispersión ( matriz S ).

En el enfoque de la matriz S, se consideran partículas u ondas planas que llegan desde el infinito, interactúan y luego se mueven hacia el infinito. Contando desde cero, el caso de cero partículas corresponde al vacío , que consiste enteramente en el fondo. El caso de una partícula es una onda que llega desde el pasado lejano y luego desaparece en el aire; esto puede ocurrir cuando el fondo es absorbente, amortiguador o disipativo . Alternativamente, una onda aparece de la nada y se aleja. Esto ocurre cuando el fondo es inestable y genera ondas: se dice que el sistema " irradia ". El caso de dos partículas consiste en una partícula que llega y luego sale. Esto es apropiado cuando el fondo no es uniforme: por ejemplo, una onda plana acústica llega, se dispersa en un submarino enemigo y luego se mueve hacia el infinito; mediante un análisis cuidadoso de la onda saliente, se pueden deducir características de la inhomogeneidad espacial. Hay dos posibilidades más: creación de pares y aniquilación de pares . En este caso, un par de ondas se crea "de la nada" (al interactuar con algún fondo) o desaparece en el aire.

A continuación, en este sentido, tenemos la interacción de tres partículas. Es única, ya que no requiere ningún fondo interactuante ni vacío, ni es "aburrida" en el sentido de una onda plana no interactuante en un fondo homogéneo.${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}}$Para estas tres ondas que se mueven desde/hacia el infinito, esta interacción cuadrática más simple toma la forma de

${\displaystyle (D-\lambda )\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

y permutaciones cíclicas de las mismas. Esta forma genérica puede denominarse ecuación de tres ondas ; a continuación se presenta una forma específica. Un punto clave es que todas las interacciones resonantes cuadráticas pueden escribirse de esta forma (dadas las suposiciones apropiadas). Para sistemas que varían en el tiempo donde${\displaystyle \lambda }$puede interpretarse como energía , uno puede escribir

${\displaystyle (Di\partial /\partial t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

para una versión dependiente del tiempo.

Formalmente, la ecuación de tres ondas es

${\displaystyle {\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

dónde${\displaystyle j,\ell ,m=1,2,3}$cíclico,${\displaystyle v_{j}}$es la velocidad de grupo para la onda que tiene${\displaystyle {\vec {k}}_{j},\omega _{j}}$como el vector de onda y la frecuencia angular , y${\displaystyle \nabla }$el gradiente , tomado en un espacio euclidiano plano en n dimensiones.${\displaystyle \eta _{j}}$son los coeficientes de interacción; al reescalar la onda, se pueden tomar${\displaystyle \eta _{j}=\pm 1}$. Mediante permutación cíclica , existen cuatro clases de soluciones. Escribiendo${\displaystyle \eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}}$uno tiene${\displaystyle \eta =\pm 1}$. El${\displaystyle \eta =-1}$son todos equivalentes bajo permutación. En 1+1 dimensiones, hay tres distintos${\displaystyle \eta =+1}$soluciones: la${\displaystyle +++}$soluciones, denominadas explosivas ;${\displaystyle --+}$casos, denominados retrodispersión estimulada y el${\displaystyle -+-}$caso, denominado intercambio de solitones . Estos corresponden a procesos físicos muy distintos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Una solución interesante se denomina simultón , consiste en tres solitones comóviles, que se mueven a una velocidad v que difiere de cualquiera de las tres velocidades de grupo.${\ Displaystyle v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}}$Esta solución tiene una posible relación con las "tres hermanas" observadas en las olas gigantes , aunque las aguas profundas no presentan una interacción resonante de tres ondas.

Los apuntes de clase de Harvey Segur proporcionan una introducción. ^{[ 4 ]}

Las ecuaciones tienen un par de Lax y, por lo tanto, son completamente integrables . ^{[ 1 ] [ 5 ]} El par de Lax es un par de matrices de 3x3, al cual se puede aplicar el método de dispersión inversa , utilizando técnicas de Fokas . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Se conoce la clase de soluciones espacialmente uniformes, que vienen dadas por la función elíptica ℘ de Weierstrass . ^{[ 8 ]} Las relaciones de interacción resonante se denominan en este caso relaciones de Manley-Rowe ; los invariantes que describen están fácilmente relacionados con los invariantes modulares.${\displaystyle g_{2}}$y${\displaystyle g_{3}.}$^{[ 9 ]} Que esto aparezca quizás no sea del todo sorprendente, ya que existe un argumento intuitivo simple. Al restar un vector de onda de los otros dos, se obtienen dos vectores que generan unared periódica. Todas las posiciones relativas posibles de dos vectores vienen dadas porel invariante j, por lo que cabría esperar que las soluciones se caracterizaran por esto.

Se conocen diversas soluciones exactas para diferentes condiciones de contorno. ^{[ 10 ]} Recientemente se ha presentado una «solución casi general» para la ecuación diferencial parcial no lineal completa de la ecuación de tres ondas. Se expresa en términos de cinco funciones que pueden elegirse libremente y una serie de Laurent para el sexto parámetro. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Algunas aplicaciones seleccionadas de las ecuaciones de tres ondas incluyen:

• En óptica no lineal , se pueden crear láseres sintonizables que cubren un amplio espectro de frecuencias mediante mezcla paramétrica de tres ondas en cuadrática (${\displaystyle \chi ^{(2)}}$) cristales no lineales . ^{[ 11 ]}
• Ondas acústicas superficiales y en amplificadores paramétricos electrónicos .
• Las olas de aguas profundas no tienen por sí mismas una interacción de tres ondas; sin embargo, esto se evita en múltiples escenarios:
  • Las ondas capilares de aguas profundas se describen mediante la ecuación de tres ondas. ^{[ 4 ]}
  • Las ondas acústicas se acoplan a las ondas de aguas profundas en una interacción de tres ondas, ^{[ 12 ]}
  • Las ondas de vorticidad se acoplan en una tríada.
  • Una corriente uniforme (necesariamente inhomogénea espacialmente debido a la profundidad) presenta interacciones triádicas.

Todos estos casos se describen de forma natural mediante la ecuación de tres ondas.

• En física de plasmas , la ecuación de tres ondas describe el acoplamiento en plasmas. ^{[ 13 ]}