Oscilador paramétrico

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico controlado en el que las oscilaciones se controlan variando algunos parámetros del sistema a algunas frecuencias, normalmente diferentes de la frecuencia natural del oscilador. Un ejemplo sencillo de un oscilador paramétrico es un niño que bombea un columpio de patio de recreo poniéndose de pie y en cuclillas periódicamente para aumentar el tamaño de las oscilaciones del columpio. ^{[1] [2] [3]} Los movimientos del niño varían el momento de inercia del columpio como un péndulo . Los movimientos de "bombeo" del niño deben ser al doble de la frecuencia de las oscilaciones del columpio. Algunos ejemplos de parámetros que se pueden variar son la frecuencia de resonancia del oscilador y la amortiguación . ${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización \beta}$

Los osciladores paramétricos se utilizan en varias áreas de la física. El oscilador paramétrico varactor clásico consiste en un diodo varactor semiconductor conectado a un circuito resonante o resonador de cavidad . Se activa variando la capacitancia del diodo mediante la aplicación de un voltaje de polarización variable . El circuito que varía la capacitancia del diodo se denomina "bomba" o "controlador". En la electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados ​​en guías de onda / YAG funcionan de la misma manera. Otro ejemplo importante es el oscilador paramétrico óptico , que convierte una onda de luz láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia ( ). ${\displaystyle \omega_{s},\omega_{i}}$

Cuando se opera a niveles de bombeo por debajo de la oscilación, el oscilador paramétrico puede amplificar una señal, formando un amplificador paramétrico ( paramp ). Los amplificadores paramétricos varactores se desarrollaron como amplificadores de bajo ruido en el rango de frecuencia de radio y microondas. La ventaja de un amplificador paramétrico es que tiene un ruido mucho menor que un amplificador basado en un dispositivo de ganancia como un transistor o un tubo de vacío . Esto se debe a que en el amplificador paramétrico se varía una reactancia en lugar de una resistencia (que produce ruido) . Se utilizan en receptores de radio de muy bajo ruido en radiotelescopios y antenas de comunicación de naves espaciales . ^[4]

La resonancia paramétrica se produce en un sistema mecánico cuando un sistema se excita paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica se diferencia de la excitación forzada porque la acción aparece como una modificación que varía con el tiempo en un parámetro del sistema.

Las oscilaciones paramétricas se observaron por primera vez en mecánica. Michael Faraday (1831) fue el primero en notar oscilaciones de una frecuencia excitadas por fuerzas del doble de la frecuencia, en las crispaciones (ondas superficiales onduladas) observadas en una copa de vino excitada para "cantar". ^[5] Franz Melde (1860) generó oscilaciones paramétricas en una cuerda empleando un diapasón para variar periódicamente la tensión al doble de la frecuencia de resonancia de la cuerda. ^[6] La oscilación paramétrica fue tratada por primera vez como un fenómeno general por Rayleigh (1883,1887). ^{[7] [8] [9]}

Uno de los primeros en aplicar el concepto a los circuitos eléctricos fue George Francis FitzGerald , quien en 1892 intentó excitar oscilaciones en un circuito LC bombeándolo con una inductancia variable proporcionada por un dinamo. ^{[10] [11]} Los amplificadores paramétricos ( paramps ) se utilizaron por primera vez en 1913-1915 para radiotelefonía desde Berlín a Viena y Moscú, y se predijo que tendrían un futuro útil ( Ernst Alexanderson , 1916). ^{[12] Estos primeros amplificadores paramétricos utilizaban la no linealidad de un} inductor de núcleo de hierro , por lo que solo podían funcionar a bajas frecuencias.

En 1948, Aldert van der Ziel señaló una ventaja importante del amplificador paramétrico: debido a que utilizaba una reactancia variable en lugar de una resistencia para la amplificación, tenía un ruido inherentemente bajo. ^[13] Un amplificador paramétrico utilizado como parte frontal de un receptor de radio podría amplificar una señal débil mientras introducía muy poco ruido. En 1952, Harrison Rowe, de los Laboratorios Bell, amplió parte del trabajo matemático de 1934 sobre oscilaciones bombeadas de Jack Manley y publicó la teoría matemática moderna de las oscilaciones paramétricas, las relaciones Manley-Rowe . ^[13]

El diodo varactor inventado en 1956 tenía una capacitancia no lineal que se podía utilizar en frecuencias de microondas. El amplificador paramétrico varactor fue desarrollado por Marion Hines en 1956 en Western Electric . ^[13] En el momento en que se inventó, las microondas apenas se estaban explotando, y el amplificador varactor fue el primer amplificador semiconductor en frecuencias de microondas. ^[13] Se aplicó a receptores de radio de bajo ruido en muchas áreas y se ha utilizado ampliamente en radiotelescopios , estaciones terrestres de satélite y radares de largo alcance . Es el principal tipo de amplificador paramétrico utilizado en la actualidad. Desde entonces, se han construido amplificadores paramétricos con otros dispositivos activos no lineales, como las uniones Josephson .

La técnica se ha extendido a frecuencias ópticas en osciladores y amplificadores paramétricos ópticos que utilizan cristales no lineales como elemento activo.

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico cuyas propiedades físicas varían con el tiempo. La ecuación de un oscilador de este tipo es

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta(t){\frac {dx}{dt}}+\omega^{2}(t)x=0}$

Esta ecuación es lineal en . Por supuesto, los parámetros y dependen solo del tiempo y no del estado del oscilador. En general, se supone que y/o varían periódicamente, con el mismo período . ${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\estilo de visualización \beta}$${\displaystyle \beta(t)}$${\displaystyle \omega ^{2}(t)}$${\estilo de visualización T}$

Si los parámetros varían aproximadamente al doble de la frecuencia natural del oscilador (definida a continuación), el oscilador se bloquea en fase con la variación paramétrica y absorbe energía a una tasa proporcional a la energía que ya tiene. Sin un mecanismo de compensación de pérdida de energía proporcionado por , la amplitud de oscilación crece exponencialmente. (Este fenómeno se llama excitación paramétrica , resonancia paramétrica o bombeo paramétrico ). Sin embargo, si la amplitud inicial es cero, seguirá siendo cero; esto lo distingue de la resonancia no paramétrica de osciladores armónicos simples accionados , en los que la amplitud crece linealmente en el tiempo independientemente del estado inicial. ${\estilo de visualización \beta}$

Una experiencia familiar tanto de oscilación paramétrica como impulsada es jugar en un columpio. ^{[1] [2] [3]} El balanceo hacia adelante y hacia atrás impulsa el columpio como un oscilador armónico impulsado , pero una vez que se mueve, el columpio también puede ser impulsado paramétricamente al pararse y agacharse alternativamente en puntos clave en el arco del columpio. Esto cambia el momento de inercia del columpio y, por lo tanto, la frecuencia de resonancia, y los niños pueden alcanzar rápidamente grandes amplitudes siempre que tengan cierta amplitud con la que comenzar (por ejemplo, recibir un empujón). Sin embargo, pararse y agacharse en reposo no conduce a ninguna parte.

Comenzamos haciendo un cambio de variable

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def}}{=}}\ e^{D(t)}x(t)}$

¿Dónde está la integral temporal del coeficiente de amortiguamiento? ${\estilo de visualización D(t)}$

${\displaystyle D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\beta (\tau )\ ,d\tau }$.

Este cambio de variable elimina el término de amortiguamiento en la ecuación diferencial, reduciéndola a

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\Omega ^{2}(t)q=0}$

donde la frecuencia transformada se define como

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega ^{2}(t)-{\frac {1}{2}}{\frac {d\beta }{dt}}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}(t)}$.

En general, las variaciones en la amortiguación y la frecuencia son perturbaciones relativamente pequeñas.

${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}{\big [}b+g(t){\big ]}}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}{\big [}1+h(t){\big ]}}$

donde y son constantes, es decir, la frecuencia del oscilador promediada en el tiempo y la amortiguación, respectivamente. La frecuencia transformada se puede escribir de manera similar como ${\displaystyle \omega _{0}}$${\estilo de visualización b}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)=\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}}$,

¿Dónde está la frecuencia natural del oscilador armónico amortiguado? ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}$

y

${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}\left[h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}{\frac {dg}{dt}}-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right]}$.

Por lo tanto, nuestra ecuación transformada se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}q=0}$.

Las variaciones independientes de la amortiguación del oscilador y de la frecuencia de resonancia, respectivamente, se pueden combinar en una única función de bombeo . La conclusión inversa es que cualquier forma de excitación paramétrica se puede lograr variando la frecuencia de resonancia o la amortiguación, o ambas. ${\estilo de visualización g(t)}$${\estilo de visualización h(t)}$${\displaystyle f(t)}$

Supongamos que es sinusoidal con una frecuencia aproximadamente el doble de la frecuencia natural del oscilador: ${\estilo de visualización \ f(t)\}$

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$

donde la frecuencia de bombeo no necesariamente debe ser exactamente igual. Usando el método de variación de parámetros , la solución de nuestra ecuación transformada puede escribirse como ${\displaystyle \ \omega _{p}\approx \omega _{n}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$${\estilo de visualización \ q(t)\ }$

${\displaystyle \ q(t)\ =\ A(t)\ \cos(\omega _{p}t)\ +\ B(t)\ \sin(\omega _{p}t)\ }$

donde los componentes que varían rápidamente y se han factorizado para aislar las amplitudes que varían lentamente y${\displaystyle \ \cos(\omega _{p}t)\ }$${\displaystyle \ \sin(\omega _{p}t)\ ,}$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)~.}$

Procedemos a sustituir esta solución en la ecuación diferencial y a considerar que ambos coeficientes delante de y deben ser cero para satisfacer la ecuación diferencial de manera idéntica. También omitimos las segundas derivadas de y debido a que y varían lentamente, así como omitimos los términos sinusoidales que no están cerca de la frecuencia natural, ya que no contribuyen significativamente a la resonancia. El resultado es el siguiente par de ecuaciones diferenciales acopladas: ${\displaystyle \ \cos(\omega _{p}t)\ }$${\displaystyle \ \sin(\omega _{p}t)\ }$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)\ }$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ ,}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {\ \operatorname {d} A\ }{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\ A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\ B\ ,}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {\ \operatorname {d} B\ }{\operatorname {d} t}}=\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\ A-{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\ B~.}$

Este sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se puede desacoplar y resolver mediante métodos de valores propios y vectores propios . Esto da como resultado la solución

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A(t)\\B(t)\end{bmatrix}}=c_{1}\ {\vec {V_{1}}}\ e^{\lambda _{1}t}+c_{2}\ {\vec {V_{2}}}\ e^{\lambda _{2}t}}$

donde y son los valores propios de la matriz ${\displaystyle \ \lambda _{1}\ }$${\displaystyle \ \lambda _{2}\ }$

${\displaystyle {\frac {1}{\ 2\omega _{p}\ }}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}&-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\\+\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)&-{\frac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}\end{bmatrix}}\ ,}$

${\displaystyle \ {\vec {V_{1}}}\ }$y son vectores propios correspondientes, y y son constantes arbitrarias. ${\displaystyle \ {\vec {V_{2}}}\ }$${\displaystyle \ c_{1}\ }$${\displaystyle \ c_{2}\ }$

Los valores propios se dan por

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\frac {1}{\ 2\omega _{p}\ }}{\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}f_{0}\ \omega _{n}^{2}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}{\Bigr )}^{2}\;}}~.}$

Si escribimos la diferencia entre y como y reemplazamos con en todos los lugares donde la diferencia no es importante, obtenemos ${\displaystyle \ \omega _{p}\ }$${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$${\displaystyle \ \Delta \omega =\omega _{p}-\omega _{n}\ ,}$${\displaystyle \ \omega _{p}\ }$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\Delta \omega {\Bigr )}^{2}\;}}}$.

Si entonces los valores propios son reales y exactamente uno es positivo, lo que conduce a un crecimiento exponencial para y Esta es la condición para la resonancia paramétrica, con la tasa de crecimiento para dada por el valor propio positivo${\displaystyle \ {\bigl |}\Delta \omega {\bigr |}<{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}\ ,}$${\displaystyle \ A(t)\ }$${\displaystyle \ B(t)~.}$${\displaystyle \ q(t)\ }$${\displaystyle \ \lambda _{1}=+{\sqrt {{\Bigl (}{\tfrac {1}{4}}f_{0}\ \omega _{n}{\Bigr )}^{2}-{\Bigl (}\Delta \omega {\Bigr )}^{2}\;}}~.}$

Obsérvese, sin embargo, que esta tasa de crecimiento corresponde a la amplitud de la variable transformada, mientras que la amplitud de la variable original, no transformada, puede crecer o decaer dependiendo de si es una función creciente o decreciente del tiempo.${\displaystyle \ q(t)\ ,}$${\displaystyle \ x(t)=q(t)\ e^{-D(t)}\ }$${\displaystyle \ \lambda _{1}t-D(\ t\ )\ }$${\displaystyle \ t~.}$

La derivación anterior puede parecer un truco matemático, por lo que puede resultar útil dar una derivación intuitiva. La ecuación puede escribirse en la forma ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

que representa un oscilador armónico simple (o, alternativamente, un filtro de paso de banda ) impulsado por una señal que es proporcional a su respuesta . ${\displaystyle -\omega _{n}^{2}f(t)q}$${\displaystyle q(t)}$

Supongamos que ya hay una oscilación en la frecuencia y que el bombeo tiene el doble de frecuencia y una pequeña amplitud . Aplicando una identidad trigonométrica para productos de senos, su producto produce dos señales de excitación, una en la frecuencia y la otra en la frecuencia . ${\displaystyle q(t)=A\cos(\omega _{p}t)}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$${\displaystyle f_{0}\ll 1}$${\displaystyle q(t)f(t)}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle 3\omega _{p}}$

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A{\big [}\sin(\omega _{p}t)+\sin(3\omega _{p}t){\big ]}}$

Al estar fuera de resonancia, la señal se atenúa y puede ignorarse inicialmente. Por el contrario, la señal está en resonancia, sirve para amplificar y es proporcional a la amplitud . Por lo tanto, la amplitud de crece exponencialmente a menos que sea inicialmente cero. ${\displaystyle 3\omega _{p}}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle q(t)}$

Expresada en el espacio de Fourier, la multiplicación es una convolución de sus transformadas de Fourier y . La retroalimentación positiva surge porque el componente de convierte el componente de en una señal de excitación en , y viceversa (invierte los signos). Esto explica por qué la frecuencia de bombeo debe estar cerca de , el doble de la frecuencia natural del oscilador. El bombeo a una frecuencia muy diferente no se acoplaría (es decir, no proporcionaría retroalimentación positiva mutua) entre los componentes y de . ${\displaystyle f(t)q(t)}$${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$${\displaystyle +2\omega _{p}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle -\omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle +\omega _{p}}$${\displaystyle 2\omega _{n}}$${\displaystyle -\omega _{p}}$${\displaystyle +\omega _{p}}$${\displaystyle q(t)}$

La resonancia paramétrica es el fenómeno de la perturbación mecánica y la oscilación en determinadas frecuencias (y los armónicos asociados ). Este efecto es diferente de la resonancia regular porque presenta el fenómeno de inestabilidad .

La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema es excitado paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias resonantes. La excitación paramétrica difiere de la forzada ya que la acción aparece como una modificación que varía en el tiempo en un parámetro del sistema. El ejemplo clásico de resonancia paramétrica es el del péndulo forzado verticalmente. La resonancia paramétrica tiene lugar cuando la frecuencia de excitación externa es igual al doble de la frecuencia natural del sistema dividida por un entero positivo . Para una excitación paramétrica con pequeña amplitud en ausencia de fricción, el ancho de banda de la resonancia es de orden principal . ^[14] El efecto de la fricción es introducir un umbral finito para la amplitud de la excitación paramétrica para dar como resultado una inestabilidad. ^[15]${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(|h|^{n})}$

Para amplitudes pequeñas y por linealización, la estabilidad de la solución periódica viene dada por la ecuación de Mathieu :

${\displaystyle {\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0}$

donde es una perturbación de la solución periódica. Aquí el término actúa como una fuente de "energía" y se dice que excita paramétricamente el sistema. La ecuación de Mathieu describe muchos otros sistemas físicos con una excitación paramétrica sinusoidal, como un circuito LC donde las placas del capacitor se mueven sinusoidalmente. ${\displaystyle u}$${\displaystyle B\ \cos(t)}$

La resonancia autoparamétrica se produce en un sistema con dos osciladores acoplados, de modo que las vibraciones de uno actúan como resonancia paramétrica en el segundo. El punto cero del segundo oscilador se vuelve inestable y, por lo tanto, comienza a oscilar. ^{[16] [17]}

Un amplificador paramétrico se implementa como un mezclador . La ganancia del mezclador aparece en la salida como ganancia del amplificador. La señal débil de entrada se mezcla con una señal fuerte del oscilador local y la salida fuerte resultante se utiliza en las siguientes etapas del receptor.

Los amplificadores paramétricos también funcionan modificando un parámetro del amplificador. Intuitivamente, esto se puede entender de la siguiente manera, para un amplificador basado en un condensador variable. La carga en un condensador obedece a: , por lo tanto, el voltaje a través de es . ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q=C\times V}$
${\displaystyle V={\frac {Q}{C}}}$

Sabiendo lo anterior, si se carga un capacitor hasta que su voltaje sea igual al voltaje muestreado de una señal débil entrante, y si luego se reduce la capacitancia del capacitor (por ejemplo, separando manualmente las placas), entonces el voltaje a través del capacitor aumentará. De esta manera, se amplifica el voltaje de la señal débil.

Si el capacitor es un diodo varicap , entonces se pueden "mover las placas" simplemente aplicando un voltaje de CC variable en el tiempo al diodo varicap. Este voltaje de excitación generalmente proviene de otro oscilador, a veces llamado "bomba".

La señal de salida resultante contiene frecuencias que son la suma y la diferencia de la señal de entrada (f1) y la señal de bombeo (f2): (f1 + f2) y (f1 − f2).

Un oscilador paramétrico práctico necesita las siguientes conexiones: una para el "común" o " tierra ", una para alimentar la bomba, una para recuperar la salida y tal vez una cuarta para polarizar. Un amplificador paramétrico necesita un quinto puerto para introducir la señal que se está amplificando. Dado que un diodo varactor tiene solo dos conexiones, solo puede ser parte de una red LC con cuatro vectores propios con nodos en las conexiones. Esto se puede implementar como un amplificador de transimpedancia , un amplificador de onda viajera o por medio de un circulador .

La ecuación del oscilador paramétrico se puede ampliar añadiendo una fuerza impulsora externa : ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=E(t)}$.

Suponemos que la amortiguación es lo suficientemente fuerte como para que, en ausencia de la fuerza impulsora , la amplitud de las oscilaciones paramétricas no diverja, es decir, que . En esta situación, el bombeo paramétrico actúa para reducir la amortiguación efectiva en el sistema. A modo de ilustración, dejemos que la amortiguación sea constante y supongamos que la fuerza impulsora externa está en la frecuencia de resonancia media , es decir, . La ecuación se convierte en${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha t<D}$${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}b}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b\omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

cuya solución es aproximadamente

${\displaystyle x(t)={\frac {2E_{0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t}$.

A medida que se acerca al umbral , la amplitud diverge. Cuando el sistema entra en resonancia paramétrica, la amplitud comienza a crecer exponencialmente, incluso en ausencia de una fuerza impulsora . ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle 2b}$${\displaystyle h_{0}\geq 2b}$${\displaystyle E(t)}$

1. Es muy sensible
2. Amplificador de bajo nivel de ruido para señales de radio de ultraalta frecuencia y microondas

Si los parámetros de cualquier ecuación diferencial lineal de segundo orden varían periódicamente, el análisis de Floquet muestra que las soluciones deben variar de forma sinusoidal o exponencial.

La ecuación anterior, que varía periódicamente, es un ejemplo de ecuación de Hill . Si es una sinusoide simple, la ecuación se denomina ecuación de Mathieu . ${\displaystyle q}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t)}$

• Oscilador armónico
• Ecuación de Mathieu
• Amplificador paramétrico óptico
• Oscilador paramétrico óptico

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• Resonancia autoparamétrica de Tim: un video de Tim Rowett que muestra cómo aparece la resonancia autoparamétrica en un péndulo hecho con un resorte.