Notación matemática

Las letras se utilizan normalmente para nombrar —en jerga matemática , se dice que para representar— objetos matemáticos . Los alfabetos latino y griego se utilizan ampliamente, pero también se utilizan esporádicamente algunas letras de otros alfabetos, como el hebreo .${\displaystyle \aleph }$⁠ , Cirílico Ш , e Hiraganaよ. Las letras mayúsculas y minúsculas se consideran símbolos diferentes. Para el alfabeto latino, las diferentes tipografías también proporcionan diferentes símbolos. Por ejemplo,${\displaystyle r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},}$y${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$teóricamente podría aparecer en el mismo texto matemático con seis significados diferentes. Normalmente, la tipografía romana vertical no se utiliza para símbolos, excepto para símbolos que representan una función estándar, como el símbolo "${\displaystyle \sin }$" de la función seno . ^{[ 2 ]}

Para tener más símbolos y permitir que los objetos matemáticos relacionados se representen mediante símbolos relacionados, se suelen utilizar diacríticos , subíndices y superíndices . Por ejemplo,${\displaystyle {\sombrero {f'_{1}}}}$puede denotar la transformada de Fourier de la derivada de una función llamada${\displaystyle f_{1}.}$

Los símbolos no solo se utilizan para nombrar objetos matemáticos. También se pueden utilizar para operaciones.${\displaystyle (+,-,/,\oplus ,\ldots ),}$para relaciones${\displaystyle (=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),}$para conectores lógicos${\displaystyle (\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),}$para cuantificadores${\displaystyle (\forall ,\exists ),}$y para otros fines.

Algunos símbolos son similares a las letras latinas o griegas, otros se obtienen deformando letras, algunos son símbolos tipográficos tradicionales , pero muchos han sido diseñados especialmente para las matemáticas.

La Organización Internacional de Normalización (ISO) es una organización internacional de desarrollo de normas compuesta por representantes de las organizaciones nacionales de normalización de los países miembros. La norma internacional ISO 80000-2 (anteriormente ISO 31-11 ) especifica los símbolos que deben utilizarse en ecuaciones matemáticas. La norma exige el uso de fuentes cursivas para las variables (p. ej., E = mc² ) y fuentes romanas ( ^verticales ) para las constantes matemáticas (p. ej., e o π).

Se cree que la notación para representar números se desarrolló por primera vez hace al menos 50 000 años. ^{[ 7 ]} Las primeras ideas matemáticas, como el conteo con los dedos ^{[ 8 ],} también se han representado mediante colecciones de rocas, palos, huesos, arcilla, piedra, tallas de madera y cuerdas anudadas. El palo de conteo es una forma de contar que se remonta al Paleolítico Superior . Quizás los textos matemáticos más antiguos conocidos sean los de la antigua Sumeria . El Quipu del Censo de los Andes y el Hueso de Ishango de África utilizaron el método de marcas de conteo para registrar conceptos numéricos.

El concepto de cero y la introducción de una notación para representarlo constituyen avances importantes en las primeras matemáticas, que preceden en siglos al concepto de cero como número. Fue utilizado como marcador de posición por los babilonios y los egipcios griegos , y posteriormente como número entero por los mayas , los indios y los musulmanes (véase la historia del cero ).

Hasta el siglo XVI, las matemáticas eran esencialmente retóricas , en el sentido de que todo, excepto los números explícitos, se expresaba con palabras. Sin embargo, algunos autores, como Diofanto , utilizaron ciertos símbolos como abreviaturas.

La obra más importante de Michael Stifel (1487–1567), Arithmetica integra (1544), contiene importantes innovaciones en la notación matemática. Es la primera en utilizar la multiplicación por yuxtaposición (sin símbolo entre los términos) en Europa. Fue el primero en usar el término exponente .

El primer uso sistemático de fórmulas, y en particular del uso de símbolos ( variables ) para números no especificados, se atribuye generalmente a François Viète (1540-1603). Sin embargo, él utilizó símbolos diferentes a los que ahora son estándar.

Más tarde, René Descartes (1596–1650) introdujo la notación moderna para variables y ecuaciones ; en particular, el uso de${\displaystyle x,y,z}$para cantidades desconocidas y${\displaystyle a,b,c}$para los conocidos ( constantes ). También introdujo la notación i y el término imaginario para la unidad imaginaria .

Los siglos XVIII y XIX vieron la estandarización de la notación matemática tal como se usa hoy en día. Leonhard Euler (1707-1783) fue responsable de muchas de las notaciones que se utilizan actualmente: la notación funcional${\displaystyle f(x),}$e para la base del logaritmo natural ,${\textstyle \sum }$para la suma , etc. ^{[ 9 ]} También popularizó el uso de π para la constante de Arquímedes (propuesta por William Jones , basada en una notación anterior de William Oughtred ). ^{[ 10 ]}

Desde entonces se han introducido muchas notaciones nuevas, a menudo específicas de un área particular de las matemáticas. Algunas notaciones llevan el nombre de sus inventores, como la notación de Leibniz , el símbolo de Legendre , la convención de suma de Einstein , etc.

Los sistemas de composición tipográfica generales no suelen ser adecuados para la notación matemática. Una de las razones es que, en la notación matemática, los símbolos a menudo se disponen en figuras bidimensionales, como en:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.}$

TeX ( / t ɛ x / ) es un sistema de composición tipográfica orientado a las matemáticas, creado en 1978 por Donald Knuth . Se utiliza ampliamente en matemáticas, a través de su extensión llamada LaTeX ( / ˈ l ɑː t ɛ x / o / ˈ l eɪ t ɛ x / ), y es un estándar de facto . (La expresión anterior está escrita en LaTeX).

Más recientemente, MathML ofrece otro método para la composición tipográfica matemática . Sin embargo, no cuenta con un buen soporte en los navegadores web, que son su principal objetivo.

Dado un lenguaje formal , una interpretación le asigna un dominio de discurso . Específicamente, asigna cada uno de los símbolos constantes a objetos del dominio, las letras de función a funciones dentro del dominio, las letras de predicado a enunciados, y se supone que las variables abarcan todo el dominio.

La relación mapa-territorio describe la relación entre un objeto y su representación, como la Tierra y su mapa . En matemáticas, así es como el número 4 se relaciona con su representación "4". Las comillas son la forma formalmente correcta de usar el número, ya que lo distinguen de su nombre. Sin embargo, es bastante común en matemáticas cometer la falacia de decir "Sea x denotado por...", en lugar de "Sea "x" denotado por...", lo cual generalmente no causa problemas.