Raíz cuadrada

En matemáticas , la raíz cuadrada de un número x es un número y tal que${\displaystyle y^{2}=x}$; en otras palabras, un número y cuyo cuadrado (el resultado de multiplicar el número por sí mismo, o${\displaystyle y\cdot y}$) es x . ^{[ 1 ]} Por ejemplo, 4 y −4 son raíces cuadradas de 16 porque${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$.

Todo número real no negativo x tiene una única raíz cuadrada no negativa, llamada raíz cuadrada principal o simplemente raíz cuadrada (con artículo definido, véase más abajo), que se denota por${\displaystyle {\sqrt {x}},}$donde el símbolo √ se llama radical , entre otros nombres, ^{[ 2 ]} y la línea sobre el número se llama vínculo ^{[ 3 ]} (a veces considerada parte del propio símbolo radical ^{[ 4 ]} ). Por ejemplo, para expresar que la raíz cuadrada principal de 9 es 3, escribimos${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$El término (o número) cuya raíz cuadrada se está considerando se conoce como radicando . El radicando es el número o expresión que se encuentra debajo del signo radical, en este caso, 9. Para x no negativo , la raíz cuadrada principal también se puede escribir en notación exponencial , como${\displaystyle x^{1/2}}$.

Todo número positivo x tiene dos raíces cuadradas:${\displaystyle {\sqrt {x}}}$(lo cual es positivo) y${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$(que es negativo). Las dos raíces se pueden escribir de forma más concisa usando el signo ±  como${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$Aunque la raíz cuadrada principal de un número positivo es solo una de sus dos raíces cuadradas, la designación " la raíz cuadrada" se usa a menudo para referirse a la raíz cuadrada principal. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Las raíces cuadradas de números negativos pueden analizarse dentro del marco de los números complejos . De forma más general, las raíces cuadradas pueden considerarse en cualquier contexto en el que se defina la noción del " cuadrado " de un objeto matemático. Esto incluye espacios de funciones y matrices cuadradas , entre otras estructuras matemáticas .

La tablilla de arcilla YBC 7289 de la Colección Babilónica de Yale fue creada entre el 1800 a. C. y el 1600 a. C., mostrando  ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$respectivamente como 1;24,51,10 y 0;42,25,35 números en base 60 en un cuadrado atravesado por dos diagonales. ^{[ 7 ]} (1;24,51,10) en base 60 corresponde a 1.41421296, que es correcto hasta 5 decimales (1.41421356...).

El Papiro Matemático de Rhind es una copia de 1650  a. C. de un papiro de Berlín anterior y otros textos —posiblemente el Papiro de Kahun— que muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas mediante un método de proporción inversa. ^{[ 8 ]}  

En la India antigua , el conocimiento de los aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada era al menos tan antiguo como los Sulba Sutras , datados alrededor del 800-500  a. C. (posiblemente mucho antes). ^{[ 9 ]} En el Baudhayana Sulba Sutra se da un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3. ^{[ 10 ]} Apastamba , datado alrededor del 600 a. C., ha dado un valor sorprendentemente preciso para${\displaystyle {\sqrt {2}}}$que es correcto hasta cinco decimales como${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Aryabhata , en el Aryabhatiya (sección 2.4), ha dado un método para hallar la raíz cuadrada de números que tienen muchos dígitos.

Los antiguos griegos sabían que las raíces cuadradas de enteros positivos que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales : números que no se pueden expresar como una razón de dos enteros (es decir, no se pueden escribir exactamente como${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, donde m y n son enteros). Este es el teorema de Euclides X, 9 , casi con certeza debido a Teeteto que data de c. 380  a . C. ^{[ 14 ]} El descubrimiento de los números irracionales, incluido el caso particular de la raíz cuadrada de 2 , está ampliamente asociado con la escuela pitagórica. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Aunque algunos relatos atribuyen el descubrimiento a Hipaso , el contribuyente específico sigue siendo incierto debido a la escasez de fuentes primarias y la naturaleza secreta de la hermandad. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado con longitud de lado 1 .

En la obra matemática china Escritos sobre el cálculo , escrita entre el 202  a. C. y el 186  a. C. durante la primera dinastía Han , la raíz cuadrada se aproxima utilizando un método de "exceso y deficiencia", que dice: "...combinar el exceso y la deficiencia como divisor; (tomando) el numerador de la deficiencia multiplicado por el denominador del exceso y el numerador del exceso por el denominador de la deficiencia, combinarlos como dividendo." ^{[ 19 ]}

Regiomontanus (1436–1476) inventó un símbolo para las raíces cuadradas, escrito como una R elaborada. También se utilizó una R para indicar raíces cuadradas en el Ars Magna de Gerolamo Cardano . ^{[ 20 ]}

Según el historiador de las matemáticas DE Smith , el método de Aryabhata para hallar la raíz cuadrada fue introducido por primera vez en Europa por Cataneo en 1546.

Según Jeffrey A. Oaks, los árabes usaban la letra jīm/ĝīm ( ج ), la primera letra de la palabra " جذر " (transliterada de diversas maneras como jaḏr , jiḏr , ǧaḏr o ǧiḏr , "raíz"), colocada en su forma inicial ( ﺟ ) sobre un número para indicar su raíz cuadrada. La letra jīm se asemeja a la forma actual de la raíz cuadrada. Su uso se remonta a finales del siglo XII en las obras del matemático marroquí Ibn al-Yasamin . ^{[ 21 ]}

El símbolo "√" para la raíz cuadrada se utilizó por primera vez en una obra impresa en 1525, en el Coss de Christoph Rudolff . ^{[ 22 ]}

La función principal de raíz cuadrada${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$La función raíz cuadrada (generalmente conocida como "función de raíz cuadrada") es una función que relaciona el conjunto de números reales no negativos consigo mismo. En términos geométricos , la función raíz cuadrada relaciona el área de un cuadrado con la longitud de su lado.

La raíz cuadrada de x es racional si y solo si x es un número racional que puede representarse como la razón de dos cuadrados perfectos. (Véase raíz cuadrada de 2 para demostraciones de que es un número irracional, y cuadrático irracional para una demostración para todos los números naturales no cuadrados). La función raíz cuadrada transforma los números racionales en números algebraicos (siendo estos últimos un superconjunto de los números racionales).

Para todos los números reales x ,$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{si }}x\geq 0\\-x,&{\text{si }}x<0.\end{cases}}}$$(véase valor absoluto ).

Para todos los números reales no negativos x e y ,$${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ y $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

La función raíz cuadrada es continua para todo x no negativo y diferenciable para todo x positivo . Si f denota la función raíz cuadrada, cuya derivada viene dada por:$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

La serie Taylor de${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$La función aproximadamente x = 0 converge para | x | ≤ 1 , y está dada por

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

La raíz cuadrada de un número no negativo se utiliza en la definición de la norma euclidiana (y la distancia ), así como en generalizaciones como los espacios de Hilbert . Define un concepto importante de desviación estándar utilizado en la teoría de la probabilidad y la estadística . Tiene un uso fundamental en la fórmula para las soluciones de una ecuación cuadrática . Los cuerpos cuadráticos y los anillos de enteros cuadráticos , que se basan en raíces cuadradas, son importantes en álgebra y tienen aplicaciones en geometría. Las raíces cuadradas aparecen con frecuencia en fórmulas matemáticas en otros ámbitos, así como en muchas leyes físicas .

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son opuestas entre sí. Cuando se habla de la raíz cuadrada de un entero positivo, generalmente se hace referencia a la raíz cuadrada positiva.

Las raíces cuadradas de un número entero son números enteros algebraicos , más específicamente números enteros cuadráticos .

La raíz cuadrada de un entero positivo es el producto de las raíces de sus factores primos , porque la raíz cuadrada de un producto es el producto de las raíces cuadradas de los factores. Dado que ${\estilo de texto {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$Solo son necesarias las raíces de aquellos primos que tienen una potencia impar en la factorización . Más precisamente, la raíz cuadrada de una factorización prima es$${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

Las raíces cuadradas de números positivos no son, en general, números racionales y, por lo tanto, no pueden escribirse como una expresión decimal finita o periódica. En consecuencia, cualquier intento de calcular una raíz cuadrada expresada en forma decimal solo puede dar como resultado una aproximación, aunque se puede obtener una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas.

La mayoría de las calculadoras de bolsillo tienen una tecla de raíz cuadrada. Las hojas de cálculo y otros programas informáticos también se utilizan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Las calculadoras de bolsillo suelen implementar rutinas eficientes, como el método de Newton (frecuentemente con una estimación inicial de 1), para calcular la raíz cuadrada de un número real positivo. ^{[ 23 ] [ 24 ]} Al calcular raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo , se pueden aprovechar las identidades$${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$ donde ln y log ₁₀ son los logaritmos natural y en base 10 .

Mediante ensayo y error, ^{[ 25 ]} se puede elevar al cuadrado una estimación para${\displaystyle {\sqrt {a}}}$y aumentar o disminuir la estimación hasta que coincida con la precisión suficiente. Para esta técnica es prudente utilizar la identidad$${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$ ya que permite ajustar la estimación x por una cantidad c y medir el cuadrado del ajuste en términos de la estimación original y su cuadrado.

El método iterativo más común para calcular la raíz cuadrada a mano se conoce como el " método babilónico " o "método de Herón", en honor al filósofo griego del siglo I, Herón de Alejandría , quien lo describió por primera vez. ^{[ 26 ]} El método utiliza el mismo esquema iterativo que el método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función y = f ( x ) = x ² − a , aprovechando que su pendiente en cualquier punto es dy / dx = f ′ ( x ) = 2 x , pero lo precede por muchos siglos. ^{[ 27 ]} El algoritmo consiste en repetir un cálculo simple que produce un número más cercano a la raíz cuadrada real cada vez que se repite, utilizando su resultado como nueva entrada. La motivación es que si x es una sobreestimación de la raíz cuadrada de un número real no negativo a, entonces a / x será una subestimación y, por lo tanto, el promedio de estos dos números es una mejor aproximación que cualquiera de ellos. Sin embargo, la desigualdad de las medias aritmética y geométrica muestra que este promedio siempre sobreestima la raíz cuadrada (como se indica más adelante ), por lo que puede servir como una nueva sobreestimación con la que repetir el proceso, que converge como consecuencia de que las sucesivas sobreestimaciones y subestimaciones se acercan entre sí después de cada iteración. Para hallar x :

1. Comience con un valor inicial positivo arbitrario x . Cuanto más cerca esté de la raíz cuadrada de a , menos iteraciones serán necesarias para lograr la precisión deseada.
2. Reemplaza x por el promedio ( x + a / x ) / 2 entre x y a / x .
3. Repita desde el paso 2, utilizando este promedio como el nuevo valor de x .

Es decir, si una suposición arbitraria para${\displaystyle {\sqrt {a}}}$es x ₀ , y x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2 , entonces cada x _n es una aproximación de${\displaystyle {\sqrt {a}}}$lo cual es mejor para n grande que para n pequeño . Si a es positivo, la convergencia es cuadrática , lo que significa que al acercarse al límite, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente en cada iteración siguiente. Si a = 0 , la convergencia es solo lineal; sin embargo,${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$Por lo tanto, en este caso no se necesita ninguna iteración.

Utilizando la identidad$${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$ El cálculo de la raíz cuadrada de un número positivo se puede reducir al de un número en el intervalo [ 1, 4) . Esto simplifica la búsqueda de un valor inicial para el método iterativo que sea cercano a la raíz cuadrada, para lo cual se puede utilizar una aproximación polinómica o lineal por tramos .

La complejidad temporal para calcular una raíz cuadrada con n dígitos de precisión es equivalente a la de multiplicar dos números de n dígitos.

Otro método útil para calcular la raíz cuadrada es el algoritmo de raíz enésima desplazada, aplicado para n = 2 .

El nombre de la función de raíz cuadrada varía de un lenguaje de programación a otro, siendo sqrt^{[ 28 ]} (a menudo pronunciado "squirt" ^{[ 29 ]} ) común, utilizado en C y lenguajes derivados como C++ , JavaScript , PHP y Python .

Primera hoja de la raíz cuadrada compleja

Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja

Utilizando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se muestra cómo encajan las dos hojas.

El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada real . Sin embargo, es posible trabajar con un conjunto más inclusivo de números, llamados números complejos , que sí contiene soluciones para la raíz cuadrada de un número negativo. Esto se hace introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces por j , especialmente en el contexto de la electricidad donde i tradicionalmente representa ^la corriente eléctrica) y llamado unidad imaginaria , que se define de tal manera que i² = −1 . Usando esta notación, podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero también tenemos (−i ) ² ⁼ i² = −1 ^y por lo tanto −i también es una raíz cuadrada de −1. Por convención, la raíz cuadrada principal de −1 es i , o más generalmente, si x es cualquier número no negativo, entonces la raíz cuadrada principal de −x es $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

El lado derecho (así como su negativo) es de hecho una raíz cuadrada de − x , ya que$${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

Para cada número complejo distinto de cero z existen precisamente dos números w tales que w ² = z : la raíz cuadrada principal de z (definida más adelante) y su negativo.

Raíz cuadrada principal de un número complejo

Para encontrar una definición de la raíz cuadrada que nos permita elegir consistentemente un único valor, llamado valor principal , comenzamos observando que cualquier número complejo${\displaystyle x+iy}$puede ser visto como un punto en el plano,${\displaystyle (x,y),}$expresado usando coordenadas cartesianas . El mismo punto puede ser reinterpretado usando coordenadas polares como el par${\displaystyle (r,\varphi ),}$dónde${\displaystyle r\geq 0}$es la distancia del punto al origen, y${\displaystyle \varphi }$es el ángulo que forma la línea desde el origen hasta el punto con el real positivo (${\displaystyle x}$) eje. En análisis complejo, la ubicación de este punto se escribe convencionalmente${\displaystyle re^{i\varphi }.}$Si$${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ con }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$ entonces elraíz cuadrada principal de${\displaystyle z}$se define de la siguiente manera:$${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ La función de raíz cuadrada principal se define así utilizando el eje real no positivo como un corte de rama . Si${\displaystyle z}$es un número real no negativo (lo cual sucede si y solo si${\displaystyle \varphi =0}$) entonces la raíz cuadrada principal de${\displaystyle z}$es${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$En otras palabras, la raíz cuadrada principal de un número real no negativo es simplemente la raíz cuadrada no negativa usual. Es importante que${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$porque si, por ejemplo,${\displaystyle z=-2i}$(entonces${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$) entonces la raíz cuadrada principal es$${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ pero usando${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$en cambio produciría la otra raíz cuadrada${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

La función principal de raíz cuadrada es holomorfa en todas partes excepto en el conjunto de números reales no positivos (en los reales estrictamente negativos ni siquiera es continua ). La serie de Taylor anterior para${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$sigue siendo válido para números complejos.${\displaystyle x}$con${\displaystyle |x|<1.}$

Lo anterior también puede expresarse en términos de funciones trigonométricas :$${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

Fórmula algebraica

Cuando el número se expresa utilizando sus partes real e imaginaria, se puede utilizar la siguiente fórmula para la raíz cuadrada principal: ^{[ 30 ] [ 31 ]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

donde sgn( y ) = 1 si y ≥ 0 y sgn( y ) = −1 en caso contrario. ^{[ 32 ]} En particular, las partes imaginarias del número original y el valor principal de su raíz cuadrada tienen el mismo signo. La parte real del valor principal de la raíz cuadrada siempre es no negativa.

Por ejemplo, las raíces cuadradas principales de ± i vienen dadas por:

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

La definición de raíz cuadrada de${\displaystyle x}$como un número${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle y^{2}=x}$se ha generalizado de la siguiente manera.

Una raíz cúbica de${\displaystyle x}$es un número${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle y^{3}=x}$; se denota${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

Si n es un entero mayor que dos, una raíz n -ésima de${\displaystyle x}$es un número${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle y^{n}=x}$; se denota${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

Dado cualquier polinomio p , una raíz de p es un número y tal que p ( y ) = 0. Por ejemplo, las raíces n -ésimas de x son las raíces del polinomio (en y ).${\displaystyle y^{n}-x.}$

El teorema de Abel-Ruffini establece que, en general, las raíces de un polinomio de grado cinco o superior no pueden expresarse en términos de raíces n -ésimas.

Si A es una matriz u operador definido positivo , entonces existe exactamente una matriz u operador definido positivo B tal que B² = A ; entonces definimos A¹ ^/² = B. En general ^, las matrices pueden tener múltiples raíces cuadradas o incluso una infinidad de ellas. Por ejemplo, la matriz identidad de 2 × 2 tiene una infinidad de raíces cuadradas, ^{[ 34 ]} aunque solo una de ellas es definida positiva.

Cada elemento de un dominio de integridad tiene como máximo dos raíces cuadradas. La identidad de diferencia de cuadrados u² ⁻ v² = ( u − ^v )( u + v ) se demuestra utilizando la conmutatividad de la multiplicación . Si u y v son raíces cuadradas del mismo elemento, entonces u² − v² = 0. Dado que no hay divisores de cero, esto implica u = v o u ⁺ v = 0 , donde esto último significa que dos raíces son inversas aditivas entre sí. En otras palabras, si existe un elemento a que sea raíz cuadrada ^u de un elemento a , entonces las únicas raíces cuadradas de a son u y −u . La única raíz cuadrada de 0 en un dominio de integridad es el propio 0.

En un cuerpo de característica  2, un elemento tiene una raíz cuadrada o ninguna, ya que cada elemento es su propio inverso aditivo, de modo que − u = u . Si el cuerpo es finito de característica  2, entonces cada elemento tiene una única raíz cuadrada. En un cuerpo de cualquier otra característica, cualquier elemento distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, como se explicó anteriormente, o ninguna.

Dado un número primo impar p , sea q = p ^e para algún entero positivo e . Un elemento no nulo del cuerpo F _q con q elementos es un residuo cuadrático si tiene una raíz cuadrada en F _q . De lo contrario, es un no residuo cuadrático. Hay ( q − 1)/2 residuos cuadráticos y ( q − 1)/2 no residuos cuadráticos; el cero no se cuenta en ninguna de las dos clases. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en la teoría de números .

A diferencia de lo que ocurre en un dominio integral, una raíz cuadrada en un anillo arbitrario (unitario) no tiene por qué ser única salvo por el signo. Por ejemplo, en el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$De los enteros módulo 8 (que es conmutativo, pero tiene divisores cero), el elemento 1 tiene cuatro raíces cuadradas distintas: ±1 y ±3.

Otro ejemplo lo proporciona el anillo de cuaterniones.${\displaystyle \mathbb {H} ,}$que no tiene divisores de cero, pero no es conmutativo. Aquí, el elemento −1 tiene infinitas raíces cuadradas , incluyendo ± i , ± j y ± k . De hecho, el conjunto de raíces cuadradas de −1 es exactamente$${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

Una raíz cuadrada de 0 es 0 o un divisor de cero. Por lo tanto, en anillos donde no existen divisores de cero, es única y exclusivamente 0. Sin embargo, los anillos con divisores de cero pueden tener múltiples raíces cuadradas de 0. Por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$Cualquier múltiplo de n es una raíz cuadrada de 0.

La raíz cuadrada de un número positivo se define generalmente como la longitud del lado de un cuadrado con un área igual al número dado. Pero la forma cuadrada no es necesaria para ello: si uno de dos objetos euclidianos planos similares tiene un área a veces mayor que la del otro, la razón de sus tamaños lineales es${\displaystyle {\sqrt {a}}}$.

Una raíz cuadrada se puede construir con un compás y una regla. En sus Elementos , Euclides ( activo hacia el 300  a. C.) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en dos lugares diferentes: Proposición II.14 y Proposición VI.13 . Dado que la media geométrica de a y b es${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$, uno puede construir${\displaystyle {\sqrt {a}}}$simplemente tomando b = 1 .

La construcción también la presenta Descartes en su obra La Géométrie (véase la figura 2 en la página 2 ). Sin embargo, Descartes no reivindicó su originalidad, y su público probablemente estaba bastante familiarizado con Euclides.

La segunda demostración de Euclides en el Libro VI depende de la teoría de triángulos semejantes . Sea AHB un segmento de recta de longitud a + b con AH = a y HB = b . Construyamos la circunferencia con AB como diámetro, y sea C una de las dos intersecciones de la cuerda perpendicular en H con la circunferencia, y denotemos la longitud CH como h . Entonces, usando el teorema de Tales y, como en la demostración del teorema de Pitágoras por triángulos semejantes , el triángulo AHC es semejante al triángulo CHB (como ambos lo son al triángulo ACB, aunque no necesitamos eso, pero es la esencia de la demostración del teorema de Pitágoras) de modo que AH:CH es como HC:HB, es decir a / h = h / b , de lo cual concluimos por multiplicación cruzada que h ² = ab , y finalmente que${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$. Al marcar el punto medio O del segmento de línea AB y dibujar el radio OC de longitud ( a + b )/2 , entonces claramente OC > CH, es decir, es decir${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$(con igualdad si y solo si a = b ), que es la desigualdad de la media aritmético-geométrica para dos variables y, como se señaló anteriormente , es la base de la comprensión griega antigua del "método de Herón".

Otro método de construcción geométrica utiliza triángulos rectángulos e inducción :${\displaystyle {\sqrt {1}}}$se puede construir y una vez${\displaystyle {\sqrt {x}}}$Se ha construido el triángulo rectángulo con catetos 1 y${\displaystyle {\sqrt {x}}}$tiene una hipotenusa de${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$La construcción de raíces cuadradas sucesivas de esta manera produce la espiral de Teodoro que se muestra arriba.

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• Algoritmos, implementaciones y más : la página web de raíces cuadradas de Paul Hsieh. 
• Cómo hallar manualmente una raíz cuadrada
• Columna destacada de la AMS, La aritmética de Galileo por Tony Philips : incluye una sección sobre cómo Galileo descubrió las raíces cuadradas.