Desigualdad de Sobolev

En matemáticas , en el análisis matemático existe una clase de desigualdades de Sobolev que relacionan normas, incluidas las de los espacios de Sobolev . Estas se utilizan para demostrar el teorema de inmersión de Sobolev , que establece inclusiones entre ciertos espacios de Sobolev , y el teorema de Rellich-Kondrachov, que demuestra que, bajo condiciones ligeramente más estrictas, algunos espacios de Sobolev se encuentran compactamente incrustados en otros. Reciben su nombre de Sergei Lvovich Sobolev .

Sea W ^k,p ( R ⁿ ) el espacio de Sobolev que consta de todas las funciones de valor real en R ⁿ cuyas derivadas débiles hasta el orden k son funciones en L ^p . Aquí k es un entero no negativo y 1 ≤ p < ∞ . La primera parte del teorema de inmersión de Sobolev establece que si k > ℓ , p < n y 1 ≤ p < q < ∞ son dos números reales tales que

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}$

(dado${\displaystyle n}$,${\displaystyle p}$,${\displaystyle k}$y${\displaystyle \ell }$Esto se satisface para algunos.${\displaystyle q\in [1,\infty )}$proporcionó${\displaystyle (k-\ell )p<n}$), entonces

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

y la incrustación es continua: para cada${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$, uno tiene ${\displaystyle f\in W^{l,q}(\mathbf {R} ^{n})}$, y

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{\ell }f\vert ^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

En el caso especial de k = 1 y ℓ = 0 , la inmersión de Sobolev da

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

donde p ^∗ es el conjugado de Sobolev de p , dado por

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}}$

y por cada${\displaystyle f\in W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}$, uno tiene ${\displaystyle f\in L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$y

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert f\vert ^{p^{*}}{\biggr )}^{\frac {1}{p^{*}}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

Este caso especial de la incrustación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev . El resultado debe interpretarse como que si una función${\displaystyle f}$en${\displaystyle L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}$tiene un derivado en${\displaystyle L^{p}}$, entonces${\displaystyle f}$en sí mismo ha mejorado el comportamiento local, lo que significa que pertenece al espacio${\displaystyle L^{p^{*}}}$dónde${\displaystyle p^{*}>p}$. (Tenga en cuenta que${\displaystyle 1/p^{*}<1/p}$, de modo que${\displaystyle p^{*}>p}$.) Por lo tanto, cualquier singularidad local en${\displaystyle f}$debe ser más suave que para una función típica en${\displaystyle L^{p}}$.

La segunda parte del teorema de incrustación de Sobolev se aplica a las incrustaciones en espacios de Hölder C ^r,α ( R ⁿ ) . Si n < pk y

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ o, equivalentemente, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}$

con α ∈ (0, 1) entonces se tiene la incrustación

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}$

En otras palabras, por cada${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$y${\displaystyle x,y\in \mathbf {R} ^{n}}$, uno tiene${\displaystyle f\in C^{r}(\mathbf {R} ^{n})}$, además,

${\displaystyle \vert \nabla ^{r}f(x)-\nabla ^{r}f(y)\vert \leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\vert x-y\vert ^{\alpha }.}$

Esta parte de la inmersión de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Morrey . Intuitivamente, esta inclusión expresa el hecho de que la existencia de suficientes derivadas débiles implica cierta continuidad de las derivadas clásicas. Si${\displaystyle \alpha =1}$entonces${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$por cada${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$.

En particular, siempre que${\displaystyle pk>n}$, el criterio de incrustación se cumplirá con${\displaystyle r=0}$y algún valor positivo de${\displaystyle \alpha }$. Es decir, para una función${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, si${\displaystyle f}$tiene${\displaystyle k}$derivados en${\displaystyle L^{p}}$y${\displaystyle pk>n}$, entonces${\displaystyle f}$será continua (y de hecho continua de Hölder con algún exponente positivo)${\displaystyle \alpha }$).

Supongamos que u es una función real continuamente diferenciable en R ⁿ con soporte compacto . Entonces, para 1 ≤ p < n existe una constante C que depende solo de n y p tal que

${\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

con${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}$El caso${\displaystyle 1<p<n}$se debe a Sobolev ^{[ 2 ]} y el caso${\displaystyle p=1}$a Gagliardo y Nirenberg independientemente. ^{[ 3 ] [ 4 ]} La desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev implica directamente la incrustación de Sobolev

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

Las incrustaciones en otros órdenes en R ⁿ se obtienen luego mediante una iteración adecuada.

La demostración original de Sobolev del teorema de inmersión de Sobolev se basó en lo siguiente, a veces conocido como el teorema de integración fraccionaria de Hardy-Littlewood-Sobolev. Una afirmación equivalente se conoce como el lema de Sobolev en ( Aubin 1982 , Capítulo 2) . Una demostración se encuentra en ( Stein 1970 , Capítulo V, §1.3) .

Sea 0 < α < n y 1 < p < q < ∞ . Sea I _α = (−Δ) ^{− α /2} el potencial de Riesz en R ⁿ . Entonces, para q definido por

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}$

Existe una constante C que depende únicamente de p tal que

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

Si p = 1 , entonces se tienen dos posibles estimaciones de reemplazo. La primera es la estimación de tipo débil más clásica:

${\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}$

donde 1/ q = 1 − α / n . Alternativamente, se tiene la estimación$${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}$$dónde${\displaystyle Rf}$es la transformada de Riesz con valores vectoriales , cf. ( Schikorra, Spector y Van Schaftingen 2017 ) . La acotación de las transformadas de Riesz implica que esta última desigualdad proporciona una forma unificada de escribir la familia de desigualdades para el potencial de Riesz.

El lema de Hardy-Littlewood-Sobolev implica la incrustación de Sobolev esencialmente por la relación entre las transformadas de Riesz y los potenciales de Riesz.

Supongamos que n < p ≤ ∞ . Entonces existe una constante C , que depende solo de p y n , tal que

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}$

para todo u ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ ) , donde

${\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}$

Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , entonces u es de hecho Hölder continua de exponente γ , después de posiblemente ser redefinida en un conjunto de medida 0.

Un resultado similar se cumple en un dominio acotado U con frontera de Lipschitz. En este caso,

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}$

donde la constante C ahora depende de n , p y U. Esta versión de la desigualdad se deduce de la anterior aplicando la extensión que preserva la norma de W ^{1, p} ( U ) a W ^{1, p} ( R ⁿ ) . La desigualdad recibe su nombre de Charles B. Morrey Jr.

Sea U un subconjunto abierto y acotado de R ⁿ , con una frontera C ¹ . ( U también puede ser no acotado, pero en este caso su frontera, si existe, debe comportarse de forma suficientemente regular).

Supongamos que u ∈ W ^k,p ( U ) . Entonces consideramos dos casos:

Si${\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}$, entonces u es una función de oscilación media acotada y

${\displaystyle |u|_{\operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}$

para alguna constante C que depende solo de n . ^{[ 5 ] : §I.2} Esta estimación es un corolario de la desigualdad de Poincaré . (También cabe destacar que en el lado izquierdo se encuentra la seminorma BMO ).

El resultado anterior puede extenderse a grado arbitrario${\displaystyle k}$^{[ 6 ] : §12.2}. Para${\displaystyle k\geq 2}$, si${\displaystyle kp=n}$, entonces para cada${\displaystyle u\in W^{k,n/k}(\mathbf {R} ^{n})}$existe un polinomio${\displaystyle P}$de grado${\displaystyle k-1}$de tal manera que

${\displaystyle \Vert u-P\circ u\Vert _{\operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})}\leq C\Vert D^{k}u\Vert _{L^{n/k}(\mathbf {R} ^{n})}}$

Además, para cualquier${\displaystyle j=1,\dots ,k-1}$, tenemos

${\displaystyle \Vert D^{j}(u-P\circ u)\Vert _{L^{n/j}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\Vert D^{k}u\Vert _{L^{n/k}(\mathbf {R} ^{n})}}$

En particular, esto implica la incrustación de inclusión.

${\displaystyle W^{k,n/k}(\mathbf {R} ^{n})\hookrightarrow \operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})\cap W^{1,q_{1}}(\mathbf {R} ^{n})\cap \dots \cap W^{k-1,q_{k-1}}(\mathbf {R} ^{n})}$

para todos los exponentes${\displaystyle q_{j}}$satisfactorio${\displaystyle n/k\leq q_{j}\leq n/j}$,${\displaystyle j=1,\dots ,k-1}$.

La desigualdad de Nash, introducida por John Nash ( 1958 ) , establece que existe una constante C > 0 , tal que para todo u ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ ) , 

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

La desigualdad se deduce de las propiedades básicas de la transformada de Fourier . En efecto, integrando sobre el complemento de la bola de radio ρ ,

porque${\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}$. Por otro lado, uno tiene

${\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}$

que, cuando se integra sobre la bola de radio ρ, da

donde ω _n es el volumen de la n -bola . Eligiendo ρ para minimizar la suma de ( 1 ) y ( 2 ) y aplicando el teorema de Parseval:

${\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}$

da la desigualdad.

En el caso especial de n = 1 , la desigualdad de Nash puede extenderse al caso L ^p , en cuyo caso es una generalización de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev ( Brezis 2011 , Comentarios sobre el Capítulo 8). De hecho, si I es un intervalo acotado, entonces para todo 1 ≤ r < ∞ y todo 1 ≤ q ≤ p < ∞ se cumple la siguiente desigualdad.

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}$

dónde:

${\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}$

El más simple de los teoremas de incrustación de Sobolev, descrito anteriormente, establece que si una función${\displaystyle f}$en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$tiene un derivado en${\displaystyle L^{p}}$, entonces${\displaystyle f}$en sí mismo está en${\displaystyle L^{p^{*}}}$, dónde

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

Podemos ver eso como${\displaystyle n}$tiende al infinito,${\displaystyle p^{*}}$aproches${\displaystyle p}$. Por lo tanto, si la dimensión${\displaystyle n}$del espacio en el que${\displaystyle f}$se define como grande, la mejora en el comportamiento local de${\displaystyle f}$de tener un derivado en${\displaystyle L^{p}}$es pequeño (${\displaystyle p^{*}}$es solo un poco más grande que${\displaystyle p}$). En particular, para funciones en un espacio de dimensión infinita, no podemos esperar ningún análogo directo de los teoremas de incrustación clásicos de Sobolev.

Sin embargo, existe un tipo de desigualdad de Sobolev, establecida por Leonard Gross ( Gross 1975 ) y conocida como desigualdad de Sobolev logarítmica , que tiene constantes independientes de la dimensión y, por lo tanto, sigue siendo válida en el contexto de dimensión infinita. La desigualdad de Sobolev logarítmica dice, aproximadamente, que si una función está en${\displaystyle L^{p}}$con respecto a una medida gaussiana y tiene una derivada que también está en${\displaystyle L^{p}}$, entonces${\displaystyle f}$está en "${\displaystyle L^{p}}$-log", lo que significa que la integral de${\displaystyle |f|^{p}\log |f|}$es finito. La desigualdad que expresa este hecho tiene constantes que no dependen de la dimensión del espacio y, por lo tanto, la desigualdad se cumple en el contexto de una medida gaussiana en un espacio de dimensión infinita. Ahora se sabe que las desigualdades de Sobolev logarítmicas se cumplen para muchos tipos diferentes de medidas, no solo para las medidas gaussianas.

Aunque podría parecer que el${\displaystyle L^{p}}$-log condition es una mejora muy pequeña con respecto a estar en${\displaystyle L^{p}}$, esta mejora es suficiente para derivar un resultado importante, a saber, la hipercontractilidad para el operador de forma de Dirichlet asociado . Este resultado significa que si una función está en el rango de la exponencial del operador de forma de Dirichlet, lo que significa que la función tiene, en cierto sentido, infinitas derivadas en${\displaystyle L^{p}}$—entonces la función sí pertenece a${\displaystyle L^{p^{*}}}$para algunos${\displaystyle p^{*}>p}$( Gross 1975 Teorema 6).

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