Integración compacta

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio topológico y sea${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$ser subconjuntos de${\displaystyle X}$Decimos que${\displaystyle V}$está incrustado de forma compacta en${\displaystyle W}$si

• ${\displaystyle V\subseteq \operatorname {Cl} (V)\subseteq \operatorname {Int} (W)}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$denota el cierre de${\displaystyle V}$, y${\displaystyle \operatorname {Int} (W)}$denota el interior de${\displaystyle W}$; y
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$es compacto .

Para los espacios de Hausdorff , esto es equivalente a que exista algún conjunto compacto.${\displaystyle K}$de tal manera que${\displaystyle V\subseteq K\subseteq \operatorname {Int} (W)}$.

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean dos espacios vectoriales normados con normas${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$y${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$respectivamente, y supongamos que${\displaystyle X\subsetequ Y}$Decimos que${\displaystyle X}$está incrustado de forma compacta en${\displaystyle Y}$, si

• ${\displaystyle X}$está continuamente integrado en${\displaystyle Y}$; es decir, hay una constante${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$; y
• La incrustación de${\displaystyle X}$en${\displaystyle Y}$es un operador compacto : cualquier conjunto acotado en${\displaystyle X}$está totalmente limitado en${\displaystyle Y}$, es decir, toda secuencia en un conjunto acotado de este tipo tiene una subsecuencia que es de Cauchy en la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$.

Si${\displaystyle Y}$es un espacio de Banach , una definición equivalente es que el operador de incrustación (la identidad)${\displaystyle i\colon X\to Y}$es un operador compacto .