Incorporación de Cocompact

En matemáticas, las incrustaciones cocompactas son incrustaciones de espacios vectoriales normados que poseen una cierta propiedad similar a la compacidad pero más débil que ella . La cocompactitud se ha utilizado en el análisis matemático desde la década de 1980, sin que se la haya mencionado con ningún nombre ^[1] (Lema 6), ^[2] (Lema 2.5), ^[3] (Teorema 1), o con apodos ad hoc como lema de desaparición o incrustación inversa . ^[4]

La propiedad de cocompactitud permite verificar la convergencia de secuencias, basándose en la invariancia traslacional o de escala en el problema, y ​​se considera habitualmente en el contexto de los espacios de Sobolev . El término incrustación cocompacta se inspira en la noción de espacio topológico cocompacto .

Sea un grupo de isometrías en un espacio vectorial normado . Se dice que una sucesión converge a -débilmente, si para cada sucesión , la sucesión es débilmente convergente a cero. ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle (x_{k})\subconjunto X}$${\displaystyle x\en X}$ ${\estilo de visualización G}$${\displaystyle (g_{k})\subconjunto G}$$Estilo de visualización g_{k}(x_{k}-x)}$

Una incrustación continua de dos espacios vectoriales normados se denomina cocompacta en relación con un grupo de isometrías en si cada secuencia -débilmente convergente es convergente en . ^[5]${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle (x_{k})\subconjunto X}$${\estilo de visualización Y}$

La incrustación del espacio en sí mismo es cocompacta en relación con el grupo de desplazamientos . De hecho, si , , es una secuencia -débilmente convergente a cero, entonces para cualquier elección de . En particular, se puede elegir tal que , lo que implica que en . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{nj}),j\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (x_{n})^{(k)}}$${\displaystyle k=1,2,\puntos}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle x_{n_{k}}^{(k)}\to 0}$$estilo de visualización n_ {k}}$$estilo de visualización n_ {k}}$${\displaystyle 2|x_{n_{k}}^{(k)}|\geq \sup _{n}|x_{n}^{(k)}|=\|(x_{n})^{ (k)}\|_{\infty }}$${\displaystyle (x_{n})^{(k)}\to 0}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

• ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow \ell ^{q}(\mathbb {Z} )}$, , relativo a la acción de las traducciones sobre : ^[6] .${\estilo de visualización q<p}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$ ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{nj}),j\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle H^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb {R} ^{N})}$, , , relativo a las acciones de las traducciones en . ^[1]${\displaystyle p<q<{\frac {pN}{Np}}}$$Estilo de visualización N>p$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• ${\displaystyle {\dot {H}}^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{\frac {pN}{Np}}(\mathbb {R} ^{N})}$, , relativo al grupo de productos de acciones de dilataciones y traslaciones en . ^{[2] [3] [6]}$Estilo de visualización N>p$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• Incrustaciones del espacio de Sobolev en el caso de Moser-Trudinger en el espacio de Orlicz correspondiente . ^[7]
• Incrustaciones de espacios de Besov y Triebel-Lizorkin. ^[8]
• Incrustaciones de espacios de Strichartz . ^[4]