Diferencial integral

En el cálculo fraccionario , un área del análisis matemático , la integral diferencial es un operador combinado de diferenciación / integración . Aplicada a una función ƒ, la integral diferencial q de f , aquí denotada por

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

es la derivada fraccionaria (si q > 0) o la integral fraccionaria (si q < 0). Si q = 0, entonces la integral diferencial q -ésima de una función es la función misma. En el contexto de la integración y diferenciación fraccionaria, existen varias definiciones de integral diferencial.

Las cuatro formas más comunes son:

• La integral diferencial de Riemann-Liouville
  Esta es la fórmula más sencilla y fácil de usar y, en consecuencia, la que se utiliza con más frecuencia. Es una generalización de la fórmula de Cauchy para la integración repetida a un orden arbitrario. Aquí, .${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$$
• La diferencia integral de Grunwald-Letnikov
  La integral diferida de Grunwald-Letnikov es una generalización directa de la definición de derivada . Es más difícil de utilizar que la integral diferida de Riemann-Liouville, pero a veces se puede utilizar para resolver problemas que la integral diferida de Riemann-Liouville no puede.$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$$
• La integral diferencial de Weyl
  Esto es formalmente similar a la integral diferencial de Riemann-Liouville, pero se aplica a funciones periódicas , con integral cero durante un período.
• La diferencia integral de Caputo
  A diferencia de la integral diferencial de Riemann-Liouville, la derivada de Caputo de una constante es igual a cero. Además, una forma de la transformada de Laplace permite evaluar de forma sencilla las condiciones iniciales calculando derivadas finitas de orden entero en el punto .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}}$$

Las definiciones de derivadas fraccionarias dadas por Liouville, Fourier y Grunwald y Letnikov coinciden. ^[1] Se pueden representar mediante transformadas de Laplace, de Fourier o mediante la expansión en serie de Newton.

Recordemos la transformada continua de Fourier , aquí denotada : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$$

Utilizando la transformada de Fourier continua, en el espacio de Fourier, la diferenciación se transforma en una multiplicación: $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$$

Entonces, ¿qué se generaliza a? $${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$$$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$$

Bajo la transformada bilateral de Laplace , aquí denotada por y definida como , la diferenciación se transforma en una multiplicación ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$$

Generalizando a un orden arbitrario y resolviendo para , se obtiene ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)}$$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$$

La representación mediante series de Newton es la interpolación de Newton sobre órdenes enteros consecutivos:

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).}$$

Para las definiciones de derivadas fraccionarias descritas en esta sección, se cumplen las siguientes identidades:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$^[2]

• Reglas de linealidad $${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$$

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$$

• Regla del cero $${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f}$$
• Regla del producto $${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$$

En general, la regla de composición (o semigrupo ) es una propiedad deseable, pero es difícil de lograr matemáticamente y, por lo tanto, no siempre se satisface completamente con cada operador propuesto; ^[3] esto forma parte del proceso de toma de decisiones sobre cuál elegir:

• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$(idealmente)
• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$(en la práctica)

• Integrador de orden fraccionario

• MathWorld – Cálculo fraccionario
• MathWorld – Derivada fraccionaria
• Revista especializada: Cálculo Fraccionario y Análisis Aplicado (1998-2014) y Cálculo Fraccionario y Análisis Aplicado (a partir de 2015)
• Revista especializada: Ecuaciones diferenciales fraccionarias (EDF)
• Revista especializada: Comunicaciones en Cálculo Fraccionario ( ISSN  2218-3892)
• Revista especializada: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). "Cálculo fraccionario inicializado". Tecnología de la información . Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Colección de libros, artículos, enlaces, software, etc. relacionados de Igor Podlubny.
• Podlubny, I. (2002). "Interpretación geométrica y física de la integración fraccionaria y la diferenciación fraccionaria" (PDF) . Cálculo fraccionario y análisis aplicado . 5 (4): 367–386. arXiv : math.CA/0110241 . Código bibliográfico :2001math.....10241P. Archivado desde el original (PDF) el 2006-04-07 . Consultado el 2004-05-18 .
• Zavada, P. (1998). "Operador de derivada fraccionaria en el plano complejo". Communications in Mathematical Physics . 192 (2): 261–285. arXiv : funct-an/9608002 . Bibcode :1998CMaPh.192..261Z. doi :10.1007/s002200050299. S2CID  1201395.