Grupo de rotación 3D

En mecánica y geometría , el grupo de rotación 3D , a menudo denotado SO (3) , es el grupo de todas las rotaciones alrededor del origen del espacio euclidiano tridimensional .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$bajo la operación de composición , que combina dos rotaciones realizándolas una tras otra. ^{[ 1 ]}

Una rotación alrededor de un punto es una transformación que conserva dicho punto, a la vez que preserva la distancia euclidiana entre dos puntos cualesquiera (por lo que constituye una isometría ) y la orientación (es decir, la quiralidad del espacio). La composición de dos rotaciones da como resultado otra rotación; toda rotación tiene una única rotación inversa , y la transformación identidad satisface la definición de rotación. Debido a estas propiedades (junto con la propiedad asociativa de las rotaciones compuestas ), el conjunto de todas las rotaciones constituye un grupo bajo composición.

Toda rotación no trivial está determinada por su eje de rotación (una línea que pasa por el origen) y su ángulo de rotación. Las rotaciones no son conmutativas (por ejemplo, rotar R 90° en el plano xy seguido de S 90° en el plano yz no es lo mismo que rotar S seguido de R ), lo que convierte al grupo de rotación 3D en un grupo no abeliano . Además, el grupo de rotación tiene una estructura natural como una variedad para la cual las operaciones de grupo son diferenciables suavemente , por lo que, de hecho, es un grupo de Lie . Es compacto y tiene dimensión 3.

Las rotaciones son transformaciones lineales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y por lo tanto pueden representarse mediante matrices una vez que se toma como base (los tres vectores unitarios ortogonales de los ejes x, y y z) de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ha sido elegido. Específicamente, si elegimos una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Cada rotación se describe mediante una matriz ortogonal de 3 × 3 (es decir, una matriz de 3 × 3 con entradas reales que, al multiplicarse por su transpuesta , da como resultado la matriz identidad ) con determinante 1. Por lo tanto, el grupo SO(3) puede identificarse con el grupo de estas matrices bajo la multiplicación de matrices . Estas matrices se conocen como "matrices ortogonales especiales", lo que explica la notación SO(3).

The group SO(3) is used to describe the possible rotational symmetries of an object, as well as the possible orientations of an object in space. Its representations are important in physics, where they give rise to the elementary particles of integerspin.

Besides just preserving length, rotations also preserve the angles between vectors. This follows from the fact that the standard dot product between two vectors u and v can be written purely in terms of length (see the law of cosines): $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

It follows that every length-preserving linear transformation in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ preserves the dot product, and thus the angle between vectors. Rotations are often defined as linear transformations that preserve the inner product on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, which is equivalent to requiring them to preserve length. See classical group for a treatment of this more general approach, where SO(3) appears as a special case.

Every rotation maps an orthonormal basis of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ to another orthonormal basis. Like any linear transformation of finite-dimensional vector spaces, a rotation can always be represented by a matrix. Let R be a given rotation. With respect to the standard basise₁, e₂, e₃ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ the columns of R are given by (Re₁, Re₂, Re₃). Since the standard basis is orthonormal, and since R preserves angles and length, the columns of R form another orthonormal basis. This orthonormality condition can be expressed in the form

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

where R^T denotes the transpose of R and I is the 3 × 3identity matrix. Matrices for which this property holds are called orthogonal matrices. The group of all 3 × 3 orthogonal matrices is denoted O(3), and consists of all proper and improper rotations.

Además de conservar la longitud, las rotaciones propias también deben conservar la orientación. Una matriz conservará o invertirá la orientación según si su determinante es positivo o negativo. Para una matriz ortogonal R , observe que det R ^T = det R implica (det R ) ² = 1 , de modo que det R = ±1 . El subgrupo de matrices ortogonales con determinante +1 se denomina grupo ortogonal especial , denotado SO(3) .

Por lo tanto, cada rotación puede representarse de forma única mediante una matriz ortogonal con determinante unitario. Además, dado que la composición de rotaciones corresponde a la multiplicación de matrices , el grupo de rotación es isomorfo al grupo ortogonal especial SO(3) .

Las rotaciones impropias corresponden a matrices ortogonales con determinante −1 , y no forman un grupo porque el producto de dos rotaciones impropias es una rotación propia.

El grupo de rotación es un grupo bajo la composición de funciones (o equivalentemente el producto de transformaciones lineales ). Es un subgrupo del grupo lineal general que consta de todas las transformaciones lineales invertibles del espacio real tridimensional.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ^{[ 2 ]}

Además, el grupo de rotación es no abeliano . Es decir, el orden en que se componen las rotaciones marca la diferencia. Por ejemplo, un cuarto de vuelta alrededor del eje x positivo seguido de un cuarto de vuelta alrededor del eje y positivo es una rotación diferente a la que se obtiene girando primero alrededor del eje y y luego alrededor del eje x .

El grupo ortogonal, que consta de todas las rotaciones propias e impropias, se genera mediante reflexiones. Toda rotación propia es la composición de dos reflexiones, un caso especial del teorema de Cartan-Dieudonné .

Cada rotación propia no trivial en 3 dimensiones fija un único subespacio lineal unidimensional de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Este eje se denomina eje de rotación (según el teorema de rotación de Euler ). Cada rotación actúa como una rotación bidimensional ordinaria en el plano ortogonal a este eje. Dado que toda rotación bidimensional puede representarse mediante un ángulo φ , una rotación tridimensional arbitraria puede especificarse mediante un eje de rotación y un ángulo de rotación alrededor de este. (Técnicamente, es necesario especificar la orientación del eje y si la rotación se considera en sentido horario o antihorario con respecto a dicha orientación).

Por ejemplo, la rotación en sentido antihorario alrededor del eje z positivo por un ángulo φ viene dada por

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Dado un vector unitario n en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y un ángulo φ , sea R ( φ , n ) una rotación en sentido antihorario alrededor del eje que pasa por n (con orientación determinada por n ). Entonces

• R (0, n ) es la transformación identidad para cualquier n
• R ( φ , norte ) = R ( − φ , − norte )
• R ( π + φ , norte ) = R ( π − φ , − norte ).

Utilizando estas propiedades se puede demostrar que cualquier rotación puede representarse mediante un ángulo único φ en el rango 0 ≤ φ ≤ π y un vector unitario n tal que

• n es arbitrario si φ = 0
• n es único si 0 < φ < π
• n es único salvo un signo si φ = π (es decir, las rotaciones R ( π , ± n ) son idénticas).

En la siguiente sección, esta representación de rotaciones se utiliza para identificar topológicamente SO(3) con el espacio proyectivo real tridimensional.

Consideremos la bola sólida en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$de radio π (es decir, todos los puntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ of distance π or less from the origin). Given the above, for every point in this ball there is a rotation, with axis through the point and the origin, and rotation angle equal to the distance of the point from the origin. The identity rotation corresponds to the point at the center of the ball. Rotations through an angle 𝜃 between 0 and π (not including either) are on the same axis at the same distance. Rotation through angles between 0 and −π correspond to the point on the same axis and distance from the origin but on the opposite side of the origin. The one remaining issue is that the two rotations through π and through −π are the same. So we identify (or "glue together") antipodal points on the surface of the ball. After this identification, we arrive at a topological spacehomeomorphic to the rotation group.

Indeed, the ball with antipodal surface points identified is a smooth manifold, and this manifold is diffeomorphic to the rotation group. It is also diffeomorphic to the real 3-dimensional projective space${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$ so the latter can also serve as a topological model for the rotation group.

These identifications illustrate that SO(3) is connected but not simply connected. As to the latter, in the ball with antipodal surface points identified, consider the path running from the "north pole" straight through the interior down to the south pole. This is a closed loop, since the north pole and the south pole are identified. This loop cannot be shrunk to a point, since no matter how it is deformed, the start and end point have to remain antipodal, or else the loop will "break open". In terms of rotations, this loop represents a continuous sequence of rotations about the z-axis starting (by example) at the identity (center of the ball), through the south pole, jumping to the north pole and ending again at the identity rotation (i.e., a series of rotation through an angle φ where φ runs from 0 to 2π).

Sorprendentemente, recorrer el camino dos veces, es decir, ir desde el polo norte hasta el polo sur, volver al polo norte (aprovechando que los polos norte y sur están identificados) y luego ir de nuevo desde el polo norte hasta el polo sur, de modo que φ va de 0 a 4π , ​​da como resultado un bucle cerrado que se puede reducir a un solo punto: primero, movemos los caminos continuamente a la superficie de la bola, conectando aún el polo norte con el polo sur dos veces. El segundo camino se puede reflejar hacia el lado antipodal sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un bucle cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un círculo máximo . Este círculo se puede reducir al polo norte sin problemas. El truco de la placa y otros trucos similares lo demuestran en la práctica.

El mismo argumento se puede realizar de forma general, y muestra que el grupo fundamental de SO(3) es el grupo cíclico de orden 2 (un grupo con dos elementos).

La cubierta universal de SO(3) es un grupo de Lie llamado Spin(3) . El grupo Spin(3) es isomorfo al grupo unitario especial SU(2); también es difeomorfo a la 3-esfera unitaria S ³ y puede entenderse como el grupo de versores ( cuaterniones con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos por computadora , se explica en cuaterniones y rotaciones espaciales . El mapa de S ³ sobre SO(3) que identifica puntos antipodales de S ³ es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con núcleo {±1}. Topológicamente, este mapa es un mapa de recubrimiento de dos a uno .

En aplicaciones físicas , especialmente en mecánica cuántica , esta doble cobertura permite la existencia de objetos conocidos como espinores y constituye una herramienta importante en el desarrollo del teorema de espín-estadística . (Véase también Espinores en tres dimensiones ).

En esta sección, presentamos dos construcciones diferentes de un homomorfismo dos a uno y sobreyectivo de SU(2) sobre SO(3).

Using Möbius transformations

The general reference for this section is Gelfand, Minlos & Shapiro (1963). The points P on the sphere

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\tfrac {1}{4}}\right\}}$

can, barring the north pole N, be put into one-to-one bijection with points S(P) = P' on the plane M defined by z = −⁠1/2⁠, see figure. The map S is called stereographic projection.

Let the coordinates on M be (ξ, η). The line L passing through N and P can be parametrized as

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Demanding that the z-coordinate of ${\displaystyle L(t_{0})}$ equals −⁠1/2⁠, one finds

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

We have ${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$ Hence the map

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\dfrac {x}{{\tfrac {1}{2}}-z}},{\dfrac {y}{{\tfrac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

where, for later convenience, the plane M is identified with the complex plane ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

For the inverse, write L as

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right),}$

and demand x² + y² + z² = ⁠1/4⁠ to find s = ⁠1/1 + ξ² + η²⁠ and thus

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\dfrac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

If g ∈ SO(3) is a rotation, then it will take points on S to points on S by its standard action Π_s(g) on the embedding space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ By composing this action with S one obtains a transformation S ∘ Π_s(g) ∘ S⁻¹ of M,

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

Thus Π_u(g) is a transformation of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ associated to the transformation Π_s(g) of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

It turns out that g ∈ SO(3) represented in this way by Π_u(g) can be expressed as a matrix Π_u(g) ∈ SU(2) (where the notation is recycled to use the same name for the matrix as for the transformation of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ it represents). To identify this matrix, consider first a rotation g_φ about the z-axis through an angle φ,

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

Hence

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\tfrac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\tfrac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

which, unsurprisingly, is a rotation in the complex plane. In an analogous way, if g_θ is a rotation about the x-axis through an angle θ, then

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

which, after a little algebra, becomes

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

These two rotations, ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$ thus correspond to bilinear transforms of R² ≃ C ≃ M, namely, they are examples of Möbius transformations.

A general Möbius transformation is given by

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

The rotations, ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$ generate all of SO(3) and the composition rules of the Möbius transformations show that any composition of ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$ translates to the corresponding composition of Möbius transformations. The Möbius transformations can be represented by matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

ya que un factor común de α , β , γ , δ se cancela.

Por la misma razón, la matriz no está definida de forma única, ya que la multiplicación por − I no afecta ni al determinante ni a la transformación de Möbius. La ley de composición de las transformaciones de Möbius sigue la de las matrices correspondientes. La conclusión es que cada transformación de Möbius corresponde a dos matrices g , − g ∈ SL(2, C ) .

Utilizando esta correspondencia se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Estas matrices son unitarias y, por lo tanto, Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . En términos de ángulos de Euler ^{[ nb 1 ]} se encuentra para una rotación general

uno tiene ^{[ 5 ]}

Para el caso contrario, consideremos una matriz general.

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

Realizar las sustituciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\tfrac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi )&=\arg \alpha ,&{\tfrac {1}{2}}(\psi -\phi )&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

Con las sustituciones, Π( g _{α , β} ) asume la forma del lado derecho ( RHS ) de ( 2 ), que corresponde bajo Π _u a una matriz en la forma del RHS de ( 1 ) con los mismos φ , θ , ψ . En términos de los parámetros complejos α , β ,

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

Para verificar esto, sustituya α . β por los elementos de la matriz del lado derecho de ( 2 ). Después de algunas manipulaciones, la matriz toma la forma del lado derecho de ( 1 ).

Es evidente, a partir de la forma explícita en términos de ángulos de Euler, que el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

Lo que se acaba de describir es un homomorfismo de grupos liso, 2:1 y sobreyectivo . Por lo tanto, es una descripción explícita del espacio de recubrimiento universal de SO(3) a partir del grupo de recubrimiento universal SU(2) .

Cada grupo de Lie está asociado a su álgebra de Lie , un espacio lineal de la misma dimensión que el grupo de Lie, cerrado bajo un producto alternante bilineal llamado corchete de Lie . El álgebra de Lie de${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$se denota por${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$y consta de todas matrices antisimétricas de 3 × 3. ^{[ 6 ]} Esto se puede ver diferenciando la condición de ortogonalidad ,${\displaystyle A^{T}A=I,\ A\in \operatorname {SO} (3)}$. ^{[ nb 2 ]} El corchete de Lie de dos elementos de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$es, como para el álgebra de Lie de cada grupo de matrices, dado por el conmutador de matrices ,${\displaystyle [A_{1},A_{2}]=A_{1}A_{2}-A_{2}A_{1}}$, que de nuevo es una matriz antisimétrica. El corchete del álgebra de Lie captura la esencia del producto del grupo de Lie en un sentido que se precisa mediante la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

Los elementos de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$son los "generadores infinitesimales" de rotaciones, es decir, son los elementos del espacio tangente de la variedad.${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$en el elemento identidad. Si${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$denota una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj con ángulo${\displaystyle \phi }$alrededor del eje especificado por el vector unitario${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$entonces

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

Esto se puede utilizar para demostrar que el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$(con conmutador) es isomorfo al álgebra de Lie.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(con producto vectorial ). Bajo este isomorfismo, un vector de Euler${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$corresponde al mapa lineal${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$definido por${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

En más detalle, con mayor frecuencia una base adecuada para${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$como un espacio vectorial tridimensional es

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Las relaciones de conmutación de estos elementos base son:

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

que concuerdan con las relaciones de los tres vectores unitarios estándar de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$bajo el producto cruzado.

Como se anunció anteriormente, se puede identificar cualquier matriz en esta álgebra de Lie con un vector de Euler.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

Esta identificación a veces se denomina mapa de sombreros . ^{[ 8 ]} Bajo esta identificación, el${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$El corchete corresponde en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$al producto cruzado ,

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

La matriz identificada con un vector${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$tiene la propiedad de que

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

donde en el lado izquierdo tenemos la multiplicación de matrices ordinaria. Esto implica${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$está en el espacio nulo de la matriz antisimétrica con la que se identifica, porque${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

Dado que SO(3) es un grupo de Lie matricial, su aplicación exponencial se define utilizando la serie exponencial matricial estándar,

${\displaystyle {\begin{cases}\exp$ :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}

Para cualquier matriz antisimétrica A ∈ 𝖘𝖔(3) , e ^A siempre está en SO(3) . La demostración utiliza las propiedades elementales de la exponencial matricial.

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

Dado que las matrices A y AT conmutan, esto se puede demostrar fácilmente con la condición de matriz antisimétrica. Sin embargo, esto no basta para demostrar que ^𝖘𝖔 (3) es el álgebra de Lie correspondiente a SO(3) , y deberá demostrarse por separado.

El nivel de dificultad de la demostración depende de cómo se defina un álgebra de Lie de grupo matricial. Hall (2003) define el álgebra de Lie como el conjunto de matrices

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

en cuyo caso es trivial. Rossmann (2002) utiliza para una definición derivadas de segmentos de curva suaves en SO(3) a través de la identidad tomada en la identidad, en cuyo caso es más difícil. ^{[ 10 ]}

Para un A ≠ 0 fijo , e ^tA , −∞ < t < ∞ es un subgrupo uniparamétrico a lo largo de una geodésica en SO(3) . Que esto dé un subgrupo uniparamétrico se deduce directamente de las propiedades del mapa exponencial. ^{[ 11 ]}

El mapa exponencial proporciona un difeomorfismo entre un entorno del origen en el 𝖘𝖔(3) y un entorno de la identidad en el SO(3) . ^{[ 12 ]} Para una demostración, véase el teorema del subgrupo cerrado .

La aplicación exponencial es sobreyectiva . Esto se deduce del hecho de que todo R ∈ SO(3) , puesto que toda rotación deja un eje fijo ( teorema de rotación de Euler ), y es conjugada a una matriz diagonal por bloques de la forma

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

de tal manera que A = BDB ⁻¹ , y que

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

junto con el hecho de que 𝖘𝖔(3) es cerrado bajo la acción adjunta de SO(3) , lo que significa que BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Así, por ejemplo, es fácil comprobar la identidad popular.

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

Como se muestra arriba, cada elemento A ∈ 𝖘𝖔(3) está asociado con un vector ω = θ u , donde u = ( x , y , z ) es un vector de magnitud unitaria. Dado que u está en el espacio nulo de A , si ahora se rota a una nueva base, a través de alguna otra matriz ortogonal O , con u como eje z , la última columna y fila de la matriz de rotación en la nueva base serán cero.

Por lo tanto, sabemos de antemano, a partir de la fórmula para la exponencial, que exp( OAO ^T ) debe dejar u fijo. Es matemáticamente imposible proporcionar una fórmula directa para tal base como función de u , porque su existencia violaría el teorema de la bola peluda ; pero la exponenciación directa es posible y produce

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&=I+s({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})+(1-c)({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}c+x^{2}(1-c)&-zs+xy(1-c)&ys+xz(1-c)\\zs+yx(1-c)&c+y^{2}(1-c)&-xs+yz(1-c)\\-ys+zx(1-c)&xs+zy(1-c)&c+z^{2}(1-c)\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

dónde${\textstyle c=\cos \theta }$y${\textstyle s=\sin \theta }$. Esto se reconoce como una matriz para una rotación alrededor del eje u por el ángulo θ : cf. Fórmula de rotación de Rodrigues .

Dado R ∈ SO(3) , sea${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$denotemos la parte antisimétrica y sea${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$Entonces, el logaritmo de R viene dado por ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

Esto se manifiesta al examinar la forma de simetría mixta de la fórmula de Rodrigues,

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

donde el primer y el último término del lado derecho son simétricos.

${\displaystyle SO(3)}$está doblemente cubierto por el grupo de cuaterniones unitarios, que es isomorfo a la 3-esfera. Dado que la medida de Haar en los cuaterniones unitarios es simplemente la medida de área tridimensional en 4 dimensiones, la medida de Haar en${\displaystyle SO(3)}$es simplemente el impulso de la medida de 3 áreas.

En consecuencia, generar una rotación uniformemente aleatoria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Esto equivale a generar un punto aleatorio uniforme en la 3-esfera. Esto se puede lograr mediante lo siguiente:$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

dónde${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$son muestras aleatorias uniformes de${\displaystyle [0,1]}$. ^{[ 13 ]}

Suppose X and Y in the Lie algebra are given. Their exponentials, exp(X) and exp(Y), are rotation matrices, which can be multiplied. Since the exponential map is a surjection, for some Z in the Lie algebra, exp(Z) = exp(X) exp(Y), and one may tentatively write

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

for C some expression in X and Y. When the rotation matrices exp(X) and exp(Y) commute (for example, the rotation is around the same axis) then Z = X + Y, mimicking the behavior of complex exponentiation.

The general case of non-commuting is given by the more elaborate BCH formula, a series expansion of nested Lie brackets.^[14] For matrices, the Lie bracket is the same operation as the commutator, which monitors lack of commutativity in multiplication. This general expansion unfolds as follows,^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

The infinite expansion in the BCH formula for SO(3) reduces to a compact form,

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

for suitable trigonometric function coefficients (α, β, γ).

It is worthwhile to write this composite rotation generator as

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

to emphasize that this is a Lie algebra identity.

The above identity holds for all faithful representations of 𝖘𝖔(3). The kernel of a Lie algebra homomorphism is an ideal, but 𝖘𝖔(3), being simple, has no nontrivial ideals and all nontrivial representations are hence faithful. It holds in particular in the doublet or spinor representation. The same explicit formula thus follows in a simpler way through Pauli matrices, cf. the 2×2 derivation for SU(2).

Para el caso general n × n , se podría utilizar la referencia ^{[ 15 ] .}