polinomio de Alexander

En matemáticas , el polinomio de Alexander es un invariante de nudos que asigna un polinomio con coeficientes enteros a cada tipo de nudo. James Waddell Alexander II descubrió este, el primer polinomio de nudos , en 1923. En 1969, John Conway demostró que una versión de este polinomio, ahora llamado polinomio de Alexander-Conway , podía calcularse utilizando una relación de trenzado , aunque su importancia no se comprendió hasta el descubrimiento del polinomio de Jones en 1984. Poco después de la reelaboración del polinomio de Alexander por parte de Conway, se comprendió que una relación de trenzado similar se exhibía en el artículo de Alexander sobre su polinomio. ^{[ a ]}

Sea K un nudo en la 3-esfera . Sea X el recubrimiento cíclico infinito del complemento del nudo de K. Este recubrimiento se puede obtener cortando el complemento del nudo a lo largo de una superficie de Seifert de K y pegando infinitas copias de la variedad resultante con frontera de manera cíclica. Hay una transformación de recubrimiento t que actúa sobre X. Consideremos la primera homología (con coeficientes enteros) de X , denotada${\displaystyle H_{1}(X)}$. La transformación t actúa sobre la homología y por eso podemos considerar${\displaystyle H_{1}(X)}$un módulo sobre el anillo de polinomios de Laurent${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$Esto se denomina invariante de Alexander o módulo de Alexander .

El módulo es finitamente presentable; una matriz de presentación para este módulo se llama matriz de Alexander . Si el número de generadores,${\displaystyle r}$, es menor o igual al número de relaciones,${\displaystyle s}$, entonces consideramos el ideal generado por todos${\displaystyle r\times r}$menores de la matriz; este es el ideal de Fitting cero o ideal de Alexander y no depende de la elección de la matriz de presentación. Si${\displaystyle r>s}$, establece el ideal igual a 0. Si el ideal de Alexander es principal , toma un generador; esto se llama un polinomio de Alexander del nudo. Dado que esto es único salvo multiplicación por el monomio de Laurent${\displaystyle \pm t^{n}}$, a menudo se fija una forma única particular. La elección de normalización de Alexander consiste en hacer que el polinomio tenga un término constante positivo .

Alexander demostró que el ideal de Alexander es distinto de cero y siempre principal. Por lo tanto, siempre existe un polinomio de Alexander, y es claramente un invariante de nudo, denotado${\displaystyle \Delta _ {K}(t)}$Resulta que el polinomio de Alexander de un nudo es el mismo que el de su nudo simétrico. En otras palabras, no puede distinguir entre un nudo y su imagen especular.

El siguiente procedimiento para calcular el polinomio de Alexander fue dado por JW Alexander en su artículo. ^{[ 2 ]}

Toma un diagrama orientado del nudo con${\displaystyle n}$cruces; hay${\displaystyle n+2}$regiones del diagrama de nudos. Para calcular el polinomio de Alexander, primero se debe crear una matriz de incidencia de tamaño${\displaystyle (n,n+2)}$. El${\displaystyle n}$Las filas corresponden a la${\displaystyle n}$los cruces y el${\displaystyle n+2}$columnas a las regiones. Los valores para las entradas de la matriz son o${\displaystyle 0,1,-1,t,-t}$.

Consideremos la entrada correspondiente a una región y un cruce específicos. Si la región no es adyacente al cruce, la entrada es 0. Si la región es adyacente al cruce, la entrada depende de su ubicación. La siguiente tabla muestra la entrada, determinada por la ubicación de la región en el cruce desde la perspectiva de la línea de cruce inferior entrante.

a la izquierda antes del cruce inferior:${\displaystyle -t}$

a la derecha antes del paso inferior:${\displaystyle 1}$

a la izquierda después de cruzar por debajo:${\displaystyle t}$

a la derecha después de pasar por debajo:${\displaystyle -1}$

Elimine de la matriz dos columnas correspondientes a regiones adyacentes y calcule el determinante de la nueva matriz .${\displaystyle n\times n}$matriz. Dependiendo de las columnas eliminadas, la respuesta diferirá en la multiplicación por${\displaystyle \pm t^{n}}$, donde el poder de${\displaystyle n}$no es necesariamente el número de cruces en el nudo. Para resolver esta ambigüedad, divida por la mayor potencia posible de${\displaystyle t}$y multiplicar por${\displaystyle -1}$Si es necesario, de modo que el término constante sea positivo. Esto da como resultado el polinomio de Alexander. Por ejemplo, esto muestra inmediatamente que el polinomio de Alexander del nudo simple es 1 (aunque esto también se deduce inmediatamente de la definición).

El polinomio de Alexander también se puede calcular a partir de la matriz de Seifert .

Tras el trabajo de JW Alexander, Ralph Fox consideró una copresentación del grupo de nudos.${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$y introdujo el cálculo diferencial no conmutativo, que también permite calcular${\displaystyle \Delta _ {K}(t)}$. ^{[ 3 ] [ b ]}

El polinomio de Alexander es simétrico:${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$para todos los nudos K.

Desde el punto de vista de la definición, esta es una expresión del isomorfismo de dualidad de Poincaré.${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$dónde${\displaystyle G}$es el cociente del campo de fracciones de${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$por${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$, considerado como un${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-módulo, y dónde${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$es el conjugado${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-módulo a${\displaystyle H_{1}X}$es decir: como grupo abeliano es idéntico a${\displaystyle H_{1}X}$pero la transformación de la cubierta${\displaystyle t}$actos por${\displaystyle t^{-1}}$.

Además, el polinomio de Alexander se evalúa a una unidad en 1:${\displaystyle \Delta _ {K}(1)=\pm 1}$.

Desde el punto de vista de la definición, esto es una expresión del hecho de que el complemento del nudo es un círculo de homología, generado por la transformación de recubrimiento.${\displaystyle t}$. De manera más general si${\displaystyle M}$es una 3-variedad tal que${\displaystyle rank(H_{1}M)=1}$Tiene un polinomio de Alexander.${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$definido como el ideal de orden de su espacio de recubrimiento cíclico infinito. En este caso${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$es, salvo signo, igual al orden del subgrupo de torsión de${\displaystyle H_{1}M}$.

El valor del polinomio de Alexander evaluado en -1 se conoce como el determinante del nudo. Todo polinomio de Laurent entero que sea simétrico y evalúe a la unidad en 1 es el polinomio de Alexander de un nudo. ^{[ 4 ]}

Dado que el ideal de Alejandro es principal,${\displaystyle \Delta _ {K}(t)=1}$si y solo si el subgrupo conmutador del grupo de nudos es perfecto (es decir, igual a su propio subgrupo conmutador ).

Para un nudo topológicamente segmentado , el polinomio de Alexander satisface la condición de Fox-Milnor.${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$dónde${\displaystyle f(t)}$es algún otro polinomio integral de Laurent.

El género del nudo, que es el doble, está acotado inferiormente por el grado del polinomio de Alexander.

Michael Freedman demostró que un nudo en la 3-esfera es topológicamente plano ; es decir, delimita un disco topológico "localmente plano" en la 4-bola, si el polinomio de Alexander del nudo es trivial. ^{[ 5 ]}

Kauffman describe la primera construcción del polinomio de Alexander mediante sumas de estados derivadas de modelos físicos. En ^{[ 6 ] [ 7 ] se ofrece una revisión de estos temas y otras conexiones con la física.}

Existen otras relaciones con superficies y topología suave de 4 dimensiones. Por ejemplo, bajo ciertas suposiciones, existe una forma de modificar una 4-variedad suave mediante una cirugía que consiste en eliminar un entorno de un toro bidimensional y reemplazarlo con un complemento de nudo cruzado con S ¹ . El resultado es una 4-variedad suave homeomorfa a la original, aunque ahora el invariante de Seiberg-Witten ha sido modificado por la multiplicación con el polinomio de Alexander del nudo. ^{[ 8 ]}

Se sabe que los nudos con simetrías tienen polinomios de Alexander restringidos. ^{[ 9 ]} Sin embargo, el polinomio de Alexander puede no detectar algunas simetrías, como la invertibilidad fuerte.

Si el nudo complementa las fibras sobre el círculo, entonces se sabe que el polinomio de Alexander del nudo es mónico (los coeficientes de los términos de orden más alto y más bajo son iguales a${\displaystyle \pm 1}$). De hecho, si${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$es un haz de fibras donde${\displaystyle C_{K}}$es el complemento del nudo, dejemos${\displaystyle g:S\to S}$representar la monodromía , entonces${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$dónde${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$es el mapa inducido en homología.

Si un nudo${\displaystyle K}$es un nudo satélite con nudo de patrón${\displaystyle K'}$(existe una incrustación)${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$de tal manera que${\displaystyle K=f(K')}$, dónde${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$es un toro sólido sin nudos que contiene${\displaystyle K'}$), entonces${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$, dónde${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$es el número entero que representa${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$en${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$.

Ejemplos: Para una suma de conexión${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$. Si${\displaystyle K}$es un doble Whitehead sin torcer , entonces${\displaystyle \Delta _ {K}(t)=\pm 1}$.

El polinomio de Alexander no es un invariante completo para nudos; es decir, dos nudos distintos pueden tener el mismo polinomio de Alexander. Por ejemplo, según la base de datos KnotInfo ^{[ 10 ],} solo existen 212 polinomios de Alexander únicos entre los 250 nudos con hasta 10 cruces.

El polinomio de Alexander no detecta el nudo destorcido: existen infinitos nudos cuyo polinomio de Alexander es igual a 1. Por ejemplo, esto incluye todos los nudos dobles de Whitehead de un nudo sin torsión. Ejemplos explícitos de nudos con pocos cruces que tienen un polinomio de Alexander igual a 1 son el nudo de Conway y el nudo de Kinoshita-Terasaka , ambos con 11 cruces. En cambio, aún se desconoce si el polinomio de Jones (o el polinomio HOMFLY, más fuerte ) determina el nudo destorcido.

El polinomio de Alexander no detecta la primalidad de un nudo; es decir, un nudo primo puede tener el mismo polinomio de Alexander que un nudo compuesto . Existen muchas otras propiedades que no son detectadas por el polinomio de Alexander. ^{[ 11 ]}

Alexander demostró que el polinomio de Alexander satisface una relación de trenza. John Conway redescubrió esto más tarde en una forma diferente y demostró que la relación de trenza junto con una elección de valor en el nudo simple era suficiente para determinar el polinomio. La versión de Conway es un polinomio en z con coeficientes enteros, denotado${\displaystyle \nabla (z)}$y se denomina polinomio de Alexander-Conway (también conocido como polinomio de Conway o polinomio de Conway-Alexander ).

Supongamos que se nos da un diagrama de enlaces orientado, donde${\ Displaystyle L_ {+}, L_ {-}, L_ {0}}$son diagramas de enlace que resultan de cambios de cruce y suavizado en una región local de un cruce específico del diagrama, como se indica en la figura.

Aquí están las relaciones de la madeja de Conway:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$(donde O es cualquier diagrama del nudo deshecho)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

La relación con el polinomio de Alexander estándar viene dada por${\displaystyle \Delta _ {L}(t^{2})=\nabla _ {L}(tt^{-1})}$. Aquí${\displaystyle \Delta _{L}}$debe estar debidamente normalizado (mediante la multiplicación de${\displaystyle \pm t^{n/2}}$) para satisfacer la relación de la madeja${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$. Nótese que esta relación da un polinomio de Laurent en t ^1/2 .

Consulte la teoría de nudos para ver un ejemplo del cálculo del polinomio de Conway del trébol.

Utilizando curvas pseudoholomórficas, Ozsváth-Szabó ^{[ 12 ]} y Rasmussen ^{[ 13 ]} asociaron un grupo abeliano bigradado, denominado homología de Floer de nudos, a cada clase isotópica de nudos. La característica de Euler graduada de la homología de Floer de nudos es el polinomio de Alexander. Si bien el polinomio de Alexander proporciona una cota inferior para el género de un nudo, Ozsváth-Szabó ^{[ 14 ]} demostró que la homología de Floer de nudos detecta el género. De manera similar, mientras que el polinomio de Alexander proporciona una obstrucción a la fibración del complemento de un nudo sobre el círculo, Ni ^{[ 15 ]} demostró que la homología de Floer de nudos determina completamente cuándo la fibración del complemento de un nudo se produce sobre el círculo. Los grupos de homología de Floer de nudos forman parte de la familia de invariantes de la homología de Floer de Heegaard; véase homología de Floer para más detalles.

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