multiplicación compleja

En matemáticas , la multiplicación compleja ( MC ) es la teoría de curvas elípticas E que tienen un anillo de endomorfismos mayor que los enteros . ^{[ 1 ]} Dicho de otro modo, contiene la teoría de funciones elípticas con simetrías adicionales, como las que se observan cuando la red periódica es la red entera gaussiana o la red entera de Eisenstein .

Tiene un aspecto propio de la teoría de funciones especiales , ya que dichas funciones elípticas, o funciones abelianas de varias variables complejas , son funciones «muy especiales» que satisfacen identidades adicionales y toman valores especiales explícitamente calculables en puntos particulares. También se ha convertido en un tema central en la teoría algebraica de números , lo que permite extender algunas características de la teoría de campos ciclotómicos a áreas de aplicación más amplias. Se dice que David Hilbert comentó que la teoría de la multiplicación compleja de curvas elípticas no solo era la parte más bella de las matemáticas, sino de toda la ciencia. ^{[ 2 ]}

También existe la teoría de multiplicación compleja de dimensiones superiores de variedades abelianas A que tienen suficientes endomorfismos en un cierto sentido preciso, aproximadamente de modo que la acción sobre el espacio tangente en el elemento identidad de A es una suma directa de módulos unidimensionales .

Consideremos un campo cuadrático imaginario${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$Una función elíptica${\displaystyle f}$Se dice que tiene multiplicación compleja si existe una relación algebraica entre${\displaystyle f(z)}$y${\displaystyle f(\lambda z)}$a pesar de${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle K}$.

Por el contrario, Kronecker conjeturó –en lo que se conoció como el Juventud de Kronecker– que toda extensión abeliana de${\displaystyle K}$podría obtenerse mediante las raíces de la ecuación de una curva elíptica adecuada con multiplicación compleja. Hasta el día de hoy, este sigue siendo uno de los pocos casos del duodécimo problema de Hilbert que se ha resuelto.

Un ejemplo de curva elíptica con multiplicación compleja es

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

donde Z [ i ] es el anillo de enteros gaussianos y θ es cualquier número complejo distinto de cero. Cualquier toro complejo de este tipo tiene los enteros gaussianos como anillo de endomorfismos. Se sabe que las curvas correspondientes pueden escribirse como

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

para algunos${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$, que demuestra tener dos automorfismos conjugados de orden 4 que envían

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

en consonancia con la acción de i sobre las funciones elípticas de Weierstrass .

De forma más general, consideremos la red Λ, un grupo aditivo en el plano complejo, generado por${\displaystyle \omega _ {1}, \ omega _ {2}}$Luego definimos la función de Weierstrass de la variable.${\displaystyle z}$en${\displaystyle \mathbb {C} }$como sigue:

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

y

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Dejar${\displaystyle \wp '}$ser el derivado de${\displaystyle \wp }$Entonces obtenemos un isomorfismo de grupos de Lie complejos:

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

del grupo de toros complejos${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$a la curva elíptica proyectiva definida en coordenadas homogéneas por

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

y donde el punto en el infinito, el elemento cero de la ley de grupo de la curva elíptica, se toma por convención como${\displaystyle (0:1:0)}$. Si la red que define la curva elíptica se conserva realmente bajo la multiplicación por (posiblemente un subanillo propio de) el anillo de los enteros${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$de${\displaystyle K}$, entonces el anillo de automorfismos analíticos de${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$resulta ser isomorfo a este (sub)anillo.

Si reescribimos${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$dónde${\displaystyle \operatorname {Estoy} \tau >0}$y${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$, entonces

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

Esto significa que el invariante j de${\displaystyle E}$es un número algebraico – que se encuentra en${\displaystyle K}$- si${\displaystyle E}$tiene multiplicación compleja.

El anillo de endomorfismos de una curva elíptica puede ser de una de tres formas: los enteros Z ; un orden en un cuerpo ^de números cuadráticos imaginarios ; o un orden en un álgebra de cuaterniones definida sobre Q. [ ^{3 ]}

Cuando el cuerpo de definición es un cuerpo finito , siempre existen endomorfismos no triviales de una curva elíptica, provenientes de la aplicación de Frobenius , por lo que toda curva de este tipo tiene multiplicación compleja (y la terminología no se aplica con frecuencia). Pero cuando el cuerpo base es un cuerpo numérico, la multiplicación compleja es la excepción. Se sabe que, en un sentido general, el caso de la multiplicación compleja es el más difícil de resolver para la conjetura de Hodge .

Kronecker postuló por primera vez que los valores de las funciones elípticas en los puntos de torsión deberían ser suficientes para generar todas las extensiones abelianas de los cuerpos cuadráticos imaginarios, una idea que en algunos casos se remontaba a Eisenstein , e incluso a Gauss . Esto se conoció como el Juventud de Kronecker ; y ciertamente fue lo que motivó el comentario de Hilbert mencionado anteriormente, ya que explicita la teoría de cuerpos de clases de la misma manera que las raíces de la unidad lo hacen para las extensiones abelianas del cuerpo de los números racionales , a través de la ley de reciprocidad de Shimura .

En efecto, sea K un cuerpo cuadrático imaginario con cuerpo de clases H. Sea E una curva elíptica con multiplicación compleja por los enteros de K , definida sobre H. Entonces, la extensión abeliana máxima de K está generada por las coordenadas x de los puntos de orden finito en algún modelo de Weierstrass ^para E sobre H. ^{[ 4} ]

Se han intentado muchas generalizaciones de las ideas de Kronecker; sin embargo, estas se desvían un tanto de la idea principal de la filosofía de Langlands , y actualmente no se conoce ninguna formulación definitiva.

No es casualidad que la constante de Ramanujan , el número trascendental ^{[ 5 ]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

o equivalentemente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

es un casi entero , en el sentido de que está muy cerca de un entero . ^{[ 6 ]} Este hecho notable se explica por la teoría de la multiplicación compleja, junto con algunos conocimientos de formas modulares y el hecho de que

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

es un dominio de factorización único .

Aquí${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$satisface α ² = α − 41 . En general, S [ α ] denota el conjunto de todas las expresiones polinómicas en α con coeficientes en S , que es el anillo más pequeño que contiene a α y S . Debido a que α satisface esta ecuación cuadrática, los polinomios requeridos pueden limitarse a grado uno.

Alternativamente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

una estructura interna debida a ciertas series de Eisenstein , y con expresiones simples similares para los otros números de Heegner .

Los puntos del semiplano superior τ que corresponden a las razones de periodos de curvas elípticas sobre los números complejos con multiplicación compleja son precisamente los números cuadráticos imaginarios. ^{[ 7 ]} Los invariantes modulares correspondientes j ( τ ) son los módulos singulares , provenientes de una terminología más antigua en la que "singular" se refería a la propiedad de tener endomorfismos no triviales en lugar de referirse a una curva singular . ^{[ 8 ]}

La función modular j ( τ ) es algebraica en los números cuadráticos imaginarios τ : ^{[ 9 ]} estos son los únicos números algebraicos en el semiplano superior para los cuales j es algebraica. ^{[ 10 ]}

Si Λ es una red con razón de periodo τ, entonces escribimos j (Λ) para j ( τ ). Si además Λ es un ideal a en el anillo de enteros O _K de un cuerpo imaginario cuadrático K, entonces escribimos j ( a ) para el módulo singular correspondiente. Los valores j ( a ) son entonces enteros algebraicos reales y generan el cuerpo de clases de Hilbert H de K : el grado de extensión del cuerpo [ H : K ] = h es el número de clases de K y H / K es una extensión de Galois con grupo de Galois isomorfo al grupo de clases de ideales de K . El grupo de clases actúa sobre los valores j ( a ) mediante [ b ]  : j ( a ) → j ( ab ).

En particular, si K tiene número de clase uno, entonces j ( a ) = j ( O ) es un entero racional: por ejemplo, j ( Z [i]) = j (i) = 1728.

• Carácter de Hecke algebraico
• Punto Heegner
• El duodécimo problema de Hilbert
• Grupo formal Lubin-Tate , campos locales
• Drinfeld shtuka , caso de campo de función global
• Demostración de Wiles del último teorema de Fermat

• Multiplicación compleja de PlanetMath.org
• Ejemplos de curvas elípticas con multiplicación compleja de PlanetMath.org
• Ribet, Kenneth A. (octubre de 1995). "Representaciones de Galois y formas modulares". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 32 (4): 375– 402. arXiv : math/9503219 . CiteSeerX 10.1.1.125.6114 . doi : 10.1090/s0273-0979-1995-00616-6 . S2CID 16786407 .