variedad abeliana

Un toro complejo de dimensión g es un toro de dimensión real 2g que posee la estructura de una variedad compleja . Siempre se puede obtener como el cociente de un espacio vectorial complejo de dimensión g por un retículo de rango 2g . Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que también es una variedad algebraica proyectiva sobre el cuerpo de los números complejos. Invocando el teorema de incrustación de Kodaira y el teorema de Chow , se puede definir equivalentemente una variedad abeliana compleja de dimensión g como un toro complejo de dimensión g que admite un fibrado lineal positivo. Dado que son toros complejos, las variedades abelianas poseen la estructura de un grupo . Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento identidad para la estructura de grupo. Una isogenia es un morfismo finito a uno.

Cuando un toro complejo posee la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso${\displaystyle g=1}$, la noción de variedad abeliana es la misma que la de curva elíptica , y todo toro complejo da lugar a tal curva; porque${\displaystyle g>1}$Desde Riemann se sabe que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.

El siguiente criterio de Riemann decide si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si puede o no ser incrustado holomorfamente en un espacio proyectivo. Sea X un toro g -dimensional dado como${\displaystyle X=V/L}$donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es una red en V. Entonces X es una variedad abeliana si y solo si existe una forma hermitiana definida positiva en V cuya parte imaginaria toma valores enteros en${\displaystyle L\times L}$Dicha forma en X se suele denominar forma de Riemann (no degenerada) . Al elegir una base para V y L , se puede hacer más explícita esta condición. Existen varias formulaciones equivalentes; todas ellas se conocen como condiciones de Riemann.

Cada curva algebraica C de género${\displaystyle g\geq 1}$está asociada con una variedad abeliana J de dimensión g , mediante una aplicación analítica de C en J. Como toro, J posee una estructura de grupo conmutativa , y la imagen de C genera J como grupo. Más precisamente, J está cubierta por${\displaystyle C^{g}}$: ^{[ 1 ]} cualquier punto en J proviene de una g -tupla de puntos en C . El estudio de las formas diferenciales en C , que dan lugar a las integrales abelianas con las que comenzó la teoría, puede derivarse de la teoría más simple e invariante por traslación de diferenciales en J . La variedad abeliana J se llama variedad jacobiana de C , para cualquier curva no singular C sobre los números complejos. Desde el punto de vista de la geometría birracional , su campo de funciones es el campo fijo del grupo simétrico en g letras que actúan sobre el campo de funciones de${\displaystyle C^{g}}$.

Una función abeliana es una función meromorfa en una variedad abeliana, que puede considerarse, por lo tanto, como una función periódica de n variables complejas con 2 n periodos independientes; equivalentemente, es una función en el cuerpo de funciones de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX hubo mucho interés en las integrales hiperelípticas que pueden expresarse en términos de integrales elípticas. Esto se reduce a preguntar si J es un producto de curvas elípticas, salvo una isogenia.

Un teorema de estructura importante de las variedades abelianas es el teorema de Matsusaka . Este teorema establece que sobre un cuerpo algebraicamente cerrado toda variedad abeliana${\displaystyle A}$es el cociente del jacobiano de alguna curva; es decir, existe alguna sobreyección de variedades abelianas.${\displaystyle J\to A}$dónde${\displaystyle J}$es un jacobiano. Este teorema sigue siendo cierto si el campo base es infinito. ^{[ 2 ]}

A una variedad abeliana A sobre un cuerpo k , se le asocia una variedad abeliana dual.${\displaystyle A^{\vee }}$(sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizada por una k -variedad T se define como un haz de líneas L en${\displaystyle A\times T}$de tal manera que

1. para todo t en T , la restricción de L a${\displaystyle A\times \{t\}}$es un paquete de líneas de grado 0,
2. la restricción de L a${\displaystyle \{0\}\times T}$es un fibrado de líneas trivial (aquí 0 es la identidad de A ).

Luego hay una variedad${\displaystyle A^{\vee }}$y una familia de haces de líneas de grado 0 P , el haz de Poincaré, parametrizado por${\displaystyle A^{\vee }}$de tal manera que una familia L en T está asociada a un morfismo único${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$de modo que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo${\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$. Aplicando esto al caso en que T es un punto, vemos que los puntos de${\displaystyle A^{\vee }}$corresponden a haces de líneas de grado 0 en A , por lo que existe una operación de grupo natural en${\displaystyle A^{\vee }}$dada por el producto tensorial de haces de líneas, lo que la convierte en una variedad abeliana.

Esta asociación es una dualidad en el sentido de que es funtorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos.${\displaystyle f\colon A\to B}$morfismos duales${\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$de forma compatible, y existe un isomorfismo natural entre el doble dual${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$y${\displaystyle A}$(definido mediante el fibrado de Poincaré). La n- torsión de una variedad abeliana y la n- torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general , para todo n , los esquemas de grupo de n- torsión de las variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.

Una polarización de una variedad abeliana es una isogenia de una variedad abeliana a su dual que es simétrica con respecto a la doble dualidad para variedades abelianas y para la cual el retroceso del fibrado de Poincaré a lo largo del morfismo de grafos asociado es amplio (por lo que es análogo a una forma cuadrática definida positiva ). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos de automorfismos finitos . Una polarización principal es una polarización que es un isomorfismo. Los jacobianos de curvas están naturalmente equipados con una polarización principal tan pronto como se elige un punto base racional arbitrario en la curva, y la curva puede reconstruirse a partir de su jacobiano polarizado cuando el género es${\displaystyle >1}$No todas las variedades abelianas polarizadas principalmente son jacobianas de curvas; véase el problema de Schottky . Una polarización induce una involución de Rosati en el anillo de endomorfismos.${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$de A.​

Sobre los números complejos, una variedad abeliana polarizada puede definirse como una variedad abeliana A junto con una elección de una forma de Riemann H. Dos formas de Riemann${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$se denominan equivalentes si existen enteros positivos n y m tales que${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$. Una elección de una clase de equivalencia de formas de Riemann en A se llama una polarización de A ; sobre el número complejo esto es equivalente a la definición de polarización dada anteriormente. Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo${\displaystyle A\to B}$de variedades abelianas tales que la imagen inversa de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A.

Dejar${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$ser tal que${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$no tiene raíces complejas repetidas. Entonces el discriminante${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$es distinto de cero. Sea${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$, entonces${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$es un subesquema abierto de${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. Entonces${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$es un esquema abeliano sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$. Se puede extender a un modelo de Nerón sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$, que es un esquema de grupo fluido sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$, pero el modelo de Nerón no es propio y por lo tanto no es un esquema abeliano sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$.

Viktor Abrashkin ^{[ 3 ]} y Jean-Marc Fontaine ^{[ 4 ]} demostraron independientemente que no existen variedades abelianas no nulas sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$con buena reducción en todos los primos. Equivalentemente, no hay esquemas abelianos no nulos sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. La prueba consiste en demostrar que las coordenadas de${\displaystyle p^{n}}$Los puntos de torsión generan campos numéricos con muy poca ramificación y, por lo tanto, con un discriminante pequeño, mientras que, por otro lado, existen límites inferiores para los discriminantes de los campos numéricos. ^{[ 5 ]}