Punto Heegner

En matemáticas , un punto de Heegner es un punto en una curva modular que es la imagen de un punto imaginario cuadrático del semiplano superior . Los puntos de Heegner fueron definidos por Bryan Birch y nombrados en honor a Kurt Heegner , quien utilizó ideas similares para demostrar la conjetura de Gauss sobre campos cuadráticos imaginarios de clase uno.

El teorema de Gross-Zagier ( Gross y Zagier, 1986 ) describe la altura de los puntos de Heegner en términos de una derivada de la función L de la curva elíptica en el punto s  =  1. En particular, si la curva elíptica tiene rango (analítico) 1, entonces los puntos de Heegner pueden usarse para construir un punto racional en la curva de orden infinito (por lo que el grupo de Mordell-Weil tiene rango al menos 1). De manera más general, Gross, Kohnen y Zagier (1987) demostraron que los puntos de Heegner podían usarse para construir puntos racionales en la curva para cada entero positivo n , y las alturas de estos puntos eran los coeficientes de una forma modular de peso  3/2. Shou-Wu Zhang generalizó el teorema de Gross-Zagier de curvas elípticas al caso de variedades abelianas modulares ( Zhang , 2001 , 2004 ; Yuan , Zhang y Zhang , 2009 ).  

Posteriormente, Kolyvagin utilizó puntos de Heegner para construir sistemas de Euler y los empleó para demostrar gran parte de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para curvas elípticas de rango 1. Brown demostró la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para la mayoría de las curvas elípticas de rango 1 sobre campos globales de característica positiva ( Brown 1994 ) .

Los puntos de Heegner pueden utilizarse para calcular puntos racionales muy grandes en curvas elípticas de rango 1 (véase Watkins , 2006 , para una revisión) que no podrían hallarse mediante métodos ingenuos. Existen implementaciones del algoritmo en Magma , PARI/GP y Sage .

• Birch, B. (2004), "Puntos de Heegner: los comienzos", en Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (eds.), Puntos de Heegner y series L de Rankin (PDF) , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, vol.  49, Cambridge University Press, pp. 1–10 , doi : 10.1017/CBO9780511756375.002 , ISBN  0-521-83659-X, MR 2083207 , archivado del original (PDF) el 1 de septiembre de 2023 , recuperado el 1 de septiembre de 2023 .
• Brown, ML (2004), Módulos de Heegner y curvas elípticas , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1849, Springer-Verlag, doi : 10.1007/b98488 , ISBN 3-540-22290-1, MR 2082815 .
• Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu, eds. (2004), Puntos de Heegner y series L de Rankin , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, vol.  49, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3, MR 2083206 
• Bruto, Benedict H .; Zagier, Don B. (1986), "Puntos de Heegner y derivados de la serie L", Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225– 320, Bibcode : 1986InMat..84..225G , doi : 10.1007/BF01388809 , MR 0833192 , S2CID 125716869  .
• Bruto, Benedict H .; Kohnen, Winfried; Zagier, Don (1987), "Puntos de Heegner y derivadas de la serie L. II", Mathematische Annalen , 278 ( 1– 4): 497– 562, doi : 10.1007/BF01458081 , MR 0909238 , S2CID 121652706  .
• Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227– 253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR 0053135 , S2CID 120109035  .
• Watkins, Mark (2006), Algunas observaciones sobre los cálculos de puntos de Heegner , arXiv : math.NT/0506325v2.
• Brown, Mark (1994), "Sobre una conjetura de Tate para superficies elípticas sobre cuerpos finitos", Proc. London Math. Soc. , 69 (3): 489– 514, doi : 10.1112/plms/s3-69.3.489.
• Yuan, Xinyi ; Zhang, Shou-Wu; Zhang, Wei (2009), "El teorema de Gross-Kohnen-Zagier sobre cuerpos totalmente reales", Compositio Mathematica , 145 (5): 1147–1162 , doi : 10.1112/S0010437X08003734 , S2CID 17981061 .
• Zhang, Shou-Wu (2001), "Fórmula de Gross-Zagier para GL2", Asian Journal of Mathematics , 5 (2): 183–290 , doi : 10.4310/AJM.2001.v5.n2.a1.
• Zhang, Shou-Wu (2004), "Fórmula de Gross-Zagier para GL(2) II" , en Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (eds.), Puntos de Heegner y series L de Rankin , Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas , vol.  49, Cambridge University Press , pp. 191–214 , doi : 10.1017/CBO9780511756375 , ISBN  978-0-521-83659-3, MR 2083206 .