Casi entero

En matemáticas recreativas , un número casi entero (o cercano a un entero ) es cualquier número que no es entero pero está muy cerca de uno. Los números casi enteros pueden resultar interesantes cuando aparecen en un contexto inesperado.

Algunos ejemplos de números casi enteros son potencias elevadas de la proporción áurea.${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$, Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}}$

El hecho de que estas potencias se aproximen a números enteros no es casual, porque la proporción áurea es un número de Pisot-Vijayaraghavan .

Las proporciones de los números de Fibonacci o Lucas también pueden formar números casi enteros, por ejemplo:

• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Fibonacci} (360)}{\operatorname {Fibonacci} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195}$
• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.00000000000000000000000000000497}$

Los ejemplos anteriores pueden generalizarse mediante las siguientes secuencias, que generan números casi enteros que se aproximan a los números de Lucas con una precisión creciente:

• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Fibonacci} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fibonacci} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})}$
• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)}$

A medida que n aumenta, el número de nueves o ceros consecutivos que comienzan en el lugar de las décimas de a ( n ) se acerca al infinito.

Otras ocurrencias de números casi enteros no coincidentes involucran los tres números de Heegner más grandes :

• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 8847\,36743.99977\,7466}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 14\,71979\,52743.99999\,86624\,54}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262\,53741\,26407\,68743.99999\,99999\,99250\,07}$

donde la no coincidencia se puede apreciar mejor cuando se expresa en la forma simple común: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744\ -\ 2.225\ldots \cdot 10^{-4}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744\ -\ 1.337\ldots \cdot 10^{-6}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744\ -\ 7.499\ldots \cdot 10^{-13}}$

dónde

${\displaystyle 21=3\cdot 7,\quad 231=3\cdot 7\cdot 11,\quad 744=24\cdot 31}$

y la razón de los cuadrados se debe a ciertas series de Eisenstein . La constante${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ A veces se la conoce como la constante de Ramanujan .

Los números casi enteros que involucran las constantes matemáticas π y e a menudo han desconcertado a los matemáticos. Un ejemplo es:${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.99909\,99791\,89\ldots }$ Esto se puede explicar utilizando una suma relacionada con las funciones theta de Jacobi de la siguiente manera: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ El primer término domina ya que la suma de los términos para${\displaystyle k\geq 2}$total${\displaystyle \sim 0.00034\,36.}$Por lo tanto, la suma puede truncarse a ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$ donde resolver para${\displaystyle e^{\pi }}$da${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$ Reescribiendo la aproximación para${\displaystyle e^{\pi }}$y utilizando la aproximación para${\displaystyle 7\pi \approx 22}$da $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ Por lo tanto, reordenando los términos se obtiene${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$Irónicamente, la aproximación burda para${\displaystyle 7\pi }$proporciona un orden de magnitud adicional de precisión. ^{[ 1 ]}

Otro ejemplo que involucra estas constantes es:${\displaystyle e+\pi +e\pi +e^{\pi }+\pi ^{e}=59.99945\,90558\ldots }$

• 744 (número)
• Número esquizofrénico

• JS Markovitch: Coincidencia, compresión de datos y el concepto de economía del pensamiento de Mach.