Siegel cero

Para un entero q ≥ 1 , un carácter de Dirichlet módulo q es una función aritmética.${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$que satisfacen las siguientes propiedades:

• Completamente multiplicativo :${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$para cada m , n ;
• Periódico :${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$para cada n ;
• Apoyo:${\textstyle \chi (n)=0}$si y solo si${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$.

Es decir, χ es el levantamiento de un homomorfismo.${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$.

El carácter trivial es el carácter módulo 1, y el carácter principal módulo q , denotado${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$, es el levantamiento del homomorfismo trivial${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$.

Un personaje${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$Se denomina imprimitivo si existe algún número entero${\textstyle d\neq q}$con${\textstyle d\mid q}$de tal manera que el homomorfismo inducido${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$factores como

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

para algún personaje${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$; de lo contrario,${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$se llama primitivo .

Un personaje${\textstyle \chi }$es real (o cuadrática ) si es igual a su conjugado complejo.${\displaystyle {\overline {\chi }}}$(definido como${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$), o equivalentemente si${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$Los caracteres primitivos de Dirichlet reales se corresponden uno a uno con los símbolos de Kronecker.${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$para${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$un discriminante fundamental (es decir, el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático ). ^{[ 2 ]} Una forma de definir${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$es como la función aritmética completamente multiplicativa determinada por (para p primo):

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

Por lo tanto, es común escribir${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$, que son caracteres primitivos reales módulo${\textstyle |D|}$.

La función L de Dirichlet asociada a un carácter${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$se define como la continuación analítica de la serie de Dirichlet${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$definido para${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$, donde s es una variable compleja . Para${\displaystyle \chi }$No principal, esta continuación es completa ; de lo contrario, tiene un polo simple de residuo.${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$en s = 1 como su única singularidad. Para${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$Las funciones L de Dirichlet se pueden expandir en un producto de Euler.${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$, de donde se deduce que${\textstyle L(s,\chi )}$no tiene ceros en esta región. El teorema de los números primos para progresiones aritméticas es equivalente (en cierto sentido) a${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$(${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$). Además, mediante la ecuación funcional , podemos reflejar estas regiones a través de${\textstyle s\mapsto 1-s}$para concluir que, con la excepción de los enteros negativos de la misma paridad que χ , ^{[ 3 ]} todos los demás ceros de${\textstyle L(s,\chi )}$debe yacer dentro${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$Esta región se denomina banda crítica , y los ceros en esta región se denominan ceros no triviales .

El teorema clásico sobre regiones libres de ceros (Grönwall, ^{[ 4 ]} Landau, ^{[ 5 ]} Titchmarsh ^{[ 6 ]} ) establece que existe un número real efectivamente computable${\textstyle A>0}$de tal manera que, escribiendo${\displaystyle s=\sigma +it}$para la variable compleja, la función${\textstyle L(s,\chi )}$no tiene ceros en la región

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{\log q+\log(|t|+2)}}}$

si${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$no es real. Si${\textstyle \chi }$Si es real, entonces hay como máximo un cero en esta región, que necesariamente debe ser real y simple . Este posible cero es el llamado cero de Siegel .

La hipótesis generalizada de Riemann (GRH) afirma que para cada${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$, todos los ceros no triviales de${\textstyle L(s,\chi )}$tumbarse en la línea${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$.

Problema sin resolver en matemáticas

Está ahí${\textstyle \delta >0}$para qué${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$para cada discriminante fundamental D proporcionado${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$¿

Más problemas sin resolver en matemáticas

La definición de ceros de Siegel, tal como se presenta, la vincula a la constante A en la región libre de ceros. Esto suele dificultar el manejo de estos objetos, ya que en muchas situaciones el valor particular de la constante A es de poca importancia. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, es habitual trabajar con afirmaciones más definitivas, ya sea que afirmen o nieguen la existencia de una familia infinita de tales ceros, como en:

• Conjetura ("sin ceros de Siegel"): Si${\textstyle \beta _{D}}$denota el cero real más grande de${\textstyle L(s,\chi _{D})}$, entonces${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.}$

La posibilidad de existencia o no existencia de ceros de Siegel tiene un gran impacto en temas estrechamente relacionados de la teoría de números, y la conjetura de "no hay ceros de Siegel" sirve como un sustituto más débil (aunque potente y, a veces, completamente suficiente) de la hipótesis de Riegel generalizada (véase más adelante un ejemplo que involucra el teorema de Siegel-Tatsuzawa y el problema del número idónico ). Una formulación equivalente de "no hay ceros de Siegel" que no hace referencia explícita a los ceros es la siguiente afirmación:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

La equivalencia se puede deducir, por ejemplo, utilizando las regiones libres de ceros y las estimaciones clásicas para el número de ceros no triviales de${\textstyle L(s,\chi )}$hasta cierta altura. ^{[ 7 ]}

En 1951, Tikao Tatsuzawa demostró una versión "casi" efectiva del teorema de Siegel, ^{[ 10 ]} mostrando que para cualquier fijo${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$, si${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$entonces

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },}$

con la posible excepción de, como máximo, un discriminante fundamental. Utilizando la «efectividad casi absoluta» de este resultado, PJ Weinberger (1973) ^{[ 11 ]} demostró que la lista de Euler de 65 números idóneos está completa, excepto por, como máximo, dos elementos. ^{[ 12 ]}

En cierto sentido, la dificultad asociada al fenómeno de los ceros de Siegel en general se limita exclusivamente a extensiones cuadráticas. Es consecuencia del teorema de Kronecker-Weber , por ejemplo, que la función zeta de Dedekind${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$de un campo numérico abeliano${\textstyle K/\mathbb {Q} }$puede escribirse como un producto de funciones L de Dirichlet. ^{[ 14 ]} Por lo tanto, si${\textstyle \zeta _{K}(s)}$tiene un cero de Siegel, debe haber algún subcampo${\textstyle F\subseteq K}$con${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$de tal manera que${\textstyle \zeta _{F}(s)}$tiene un Siegel cero.

Mientras que para el caso no abeliano${\textstyle \zeta _{K}(s)}$solo se puede factorizar en funciones L de Artin más complicadas , lo mismo es cierto:

• Teorema ( Stark , 1974) . ^{[ 15 ]} Sea${\textstyle K/\mathbb {Q} }$Sea un cuerpo numérico de grado n > 1. Hay una constante${\textstyle c(n)}$(${\textstyle =4}$si${\textstyle K/\mathbb {Q} }$es normal,${\textstyle =4n!}$de lo contrario) de tal manera que, si hay un real${\textstyle \beta }$en el rango

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

con${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$, entonces hay un subcampo cuadrático${\textstyle F\subseteq K}$de tal manera que${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$. Aquí,${\textstyle \Delta _{K}}$es el campo discriminante de la extensión${\textstyle K/\mathbb {Q} }$.

En 1918, Erich Hecke demostró que "no hay ceros de Siegel" para${\textstyle D<0}$implica que${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$^{[ 5 ]} (véaseel problema del número de clasespara comparar). Esto puede extenderse a una equivalencia, ya que es una consecuencia del Teorema 3 enGranville–Stark(2000): ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

donde la suma se extiende sobre las formas cuadráticas binarias reducidas${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$de discriminante${\textstyle D}$. Utilizando esto, Granville y Stark demostraron que una determinada formulación uniforme de la conjetura abc para cuerpos numéricos implica "ningún cero de Siegel" para discriminantes negativos.

En 1976, Dorian Goldfeld ^{[ 17 ]} demostró la siguiente cota inferior efectiva incondicional para${\textstyle h(D)}$:

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

Otra equivalencia para "sin ceros de Siegel" para${\textstyle D<0}$se puede dar en términos de cotas superiores para las alturas de los módulos singulares :

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

dónde:

• ${\textstyle h}$es la altura logarítmica ingenua absoluta para campos numéricos;
• ${\textstyle j}$es la función j-invariante ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

El número${\textstyle j(\tau _{D})}$genera el campo de clases de Hilbert de${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$, que es su máxima extensión abeliana no ramificada. ^{[ 18 ]} Esta equivalencia es una consecuencia directa de los resultados en Granville–Stark (2000), ^{[ 16 ]} y puede verse en C. Táfula (2019). ^{[ 19 ]}

Pierre Colmez (1993, ^{[ 20 ]} 1998 ^{[ 21 ]} ) obtuvo una relación precisa entre las alturas y los valores de las funciones L , demostrando que, para una curva elíptica${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$con multiplicación compleja por${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$, tenemos

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

dónde${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$denota la altura de Faltings . ^{[ 22 ]} Usando las identidades${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$^{[ 23 ]} y${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$, ^{[ 24 ]} El teorema de Colmez también proporciona una prueba de la equivalencia anterior.

Un resultado sorprendente en esta dirección es el resultado de Roger Heath-Brown de 1983 ^{[ 25 ]} que, siguiendo a Terence Tao , ^{[ 26 ]} puede enunciarse de la siguiente manera:

• Teorema (Heath-Brown, 1983) . Al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: (1) No hay ceros de Siegel. ( 2) Hay infinitos primos gemelos .

El problema de la paridad en la teoría de cribas se refiere, en términos generales, al hecho de que los argumentos de cribado no pueden determinar si un número entero tiene un número par o impar de divisores primos. Esto conlleva que muchas cotas superiores en las estimaciones de cribas, como la de la criba lineal ^{[ 27 ],} se desvíen por un factor de 2 del valor esperado. En 2020, Granville ^{[ 28 ]} demostró que, bajo el supuesto de la existencia de ceros de Siegel, las cotas superiores generales para el problema del cribado de intervalos son óptimas, lo que significa que el factor adicional de 2 derivado del fenómeno de la paridad no constituiría una limitación artificial del método.