Función completamente multiplicativa

En teoría de números , las funciones de enteros positivos que respetan productos son importantes y se denominan funciones completamente multiplicativas o totalmente multiplicativas . También es importante una condición más débil, que solo respeta productos de números coprimos , y dichas funciones se denominan funciones multiplicativas . Fuera del ámbito de la teoría de números, el término "función multiplicativa" se suele considerar sinónimo de "función completamente multiplicativa", tal como se define en este artículo.

Una función completamente multiplicativa (o función totalmente multiplicativa) es una función aritmética (es decir, una función cuyo dominio son los enteros positivos ), tal que f (1) = 1 y f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) se cumple para todos los enteros positivos a y b . ^{[ 1 ]}

En notación lógica: f (1) = 1 y ∀ a , b ∈ dominio( f ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

Sin el requisito de que f (1) = 1 , se podría tener f (1) = 0 , lo que implicaría f ( a ) = f (1 ⋅ a ) = f (1) ⋅ f ( a ) = 0 ⋅ f ( a ) = 0 para todos los enteros positivos a , un caso trivial que está excluido por la definición elegida.

La definición anterior puede reformularse utilizando el lenguaje del álgebra: Una función completamente multiplicativa es un homomorfismo del monoide.${\displaystyle (\mathbb {Z} _ {>0},\cdot )}$(es decir, los enteros positivos bajo la multiplicación) a algún otro monoide.

El ejemplo más sencillo de una función completamente multiplicativa es un monomio con coeficiente principal 1: Para cualquier entero positivo n , definimos f ( a ) = a ⁿ . Entonces f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c ) , y f (1) = 1 ⁿ = 1 .

La función de Liouville es un ejemplo no trivial de una función completamente multiplicativa, al igual que los caracteres de Dirichlet , el símbolo de Jacobi y el símbolo de Legendre .

Una función completamente multiplicativa está completamente determinada por sus valores en los números primos, consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Así, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p ^a q ^b ... , entonces f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

Si bien la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es multiplicativa, la convolución de Dirichlet de dos funciones completamente multiplicativas no necesariamente lo es. Las funciones aritméticas que pueden escribirse como la convolución de Dirichlet de dos funciones completamente multiplicativas se denominan funciones cuadráticas o, especialmente, funciones multiplicativas. Son funciones aritméticas racionales de orden (2, 0) y cumplen la identidad de Busche-Ramanujan.

Existen diversas afirmaciones sobre una función que son equivalentes a que sea completamente multiplicativa. Por ejemplo, si una función f es multiplicativa, entonces es completamente multiplicativa si y solo si su inversa de Dirichlet es μ ⋅ f , donde μ es la función de Möbius . ^{[ 2 ]}

Las funciones completamente multiplicativas también satisfacen una ley distributiva. Si f es completamente multiplicativa, entonces $${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h),}$$ donde * denota el producto de Dirichlet y ⋅ denota la multiplicación punto por punto . ^{[ 3 ]} Una consecuencia de esto es que para cualquier función completamente multiplicativa f se tiene $${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$$ lo cual se puede deducir de lo anterior al poner ambos g = h = 1 , donde 1( n ) = 1 es la función constante . Aquí τ es la función divisora .

• Función aritmética
• Función L de Dirichlet
• Serie de Dirichlet
• Función multiplicativa

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• Apostol, Tom (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Springer. ISBN 0-387-90163-9.
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• Langford, E. ( 1973), "Distributividad sobre el producto de Dirichlet y funciones aritméticas completamente multiplicativas", Amer. Math. Monthly , 80 : 411–414
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• Yocom, KL (1973), "Funciones totalmente multiplicativas en anillos de convolución regulares", Canad. Math. Bull. , 16 : 119– 128