Haz de módulos

En matemáticas, un haz de O -módulos o simplemente un O -módulo sobre un espacio anillado ( X , O ) es un haz de grupos abelianos F tal que, para cualquier subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un O ( U )-módulo y los mapas de restricción F ( U )  → F ( V ) son compatibles con los mapas de restricción O ( U ) → O ( V ): la restricción de fs es la restricción de f por la restricción de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ).   

El caso estándar es cuando X es un esquema y O su haz de estructura. Si O es el haz constante${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$, entonces un haz de O -módulos es lo mismo que un haz de grupos abelianos (es decir, un haz abeliano ).

Si X es el espectro primo de un anillo R , entonces cualquier R -módulo define un O _X -módulo (llamado haz asociado ) de forma natural. De manera similar, si R es un anillo graduado y X es el Proj de R , entonces cualquier módulo graduado define un O _X -módulo de forma natural. Los O -módulos que surgen de esta manera son ejemplos de haces cuasi-coherentes , y de hecho, en esquemas afines o proyectivos, todos los haces cuasi-coherentes se obtienen de esta forma.

Los haces de módulos sobre un espacio anillado forman una categoría abeliana . ^{[ 1 ]} Además, esta categoría tiene suficientes inyectivos , ^{[ 2 ]} y, en consecuencia, se puede definir y se define la cohomología de haces.${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$como el i -ésimo functor derivado derecho del functor de sección global${\displaystyle \Gamma (X,-)}$. ^{[ 3 ]}

• Dado un espacio anillado ( X , O ), si F es un O -submódulo de O , entonces se le llama haz de ideales o haz de ideales de O , ya que para cada subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un ideal del anillo O ( U ).
• Sea X una variedad lisa de dimensión n . Entonces el haz tangente de X es el dual del haz cotangente.${\displaystyle \Omega _{X}}$y el haz canónico${\displaystyle \omega _{X}}$es la n -ésima potencia exterior ( determinante ) de${\displaystyle \Omega _{X}}$.
• Un haz de álgebras es un haz de módulos que también es un haz de anillos.

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Si F y G son O -módulos, entonces su producto tensorial, denotado por

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$o${\displaystyle F\otimes G}$,

es el módulo O que es el haz asociado al prehaz${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _ {O(U)}G(U).}$(Para ver que la cesación no se puede evitar, calcule las secciones globales de${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$donde O (1) es el haz retorcido de Serre en un espacio proyectivo.)

De manera similar, si F y G son O -módulos, entonces

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

denota el O -módulo que es el haz${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _ {O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$. ^{[ 4 ]} En particular, el módulo O

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

se denomina módulo dual de F y se denota por${\displaystyle {\check {F}}}$. Nota: para cualesquiera O -módulos E , F , existe un homomorfismo canónico

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

lo cual es un isomorfismo si E es un haz localmente libre de rango finito. En particular, si L es localmente libre de rango uno (dicho L se denomina haz invertible o fibrado lineal ), ^{[ 5 ]} entonces esto se lee:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

lo que implica que las clases de isomorfismo de haces invertibles forman un grupo. Este grupo se llama grupo de Picard de X y se identifica canónicamente con el primer grupo de cohomología.${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$(según el argumento estándar con la cohomología de Čech ).

Si E es un haz localmente libre de rango finito, entonces existe una aplicación O -lineal.${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _ {O}(E)\to O}$dado por el emparejamiento; se llama mapa de trazas de E.

Para cualquier O -módulo F , el álgebra tensorial , el álgebra exterior y el álgebra simétrica de F se definen de la misma manera. Por ejemplo, la k -ésima potencia exterior

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

es la gavilla asociada a la pregavilla${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$. Si F es localmente libre de rango n , entonces${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$se denomina fibrado lineal determinante (aunque técnicamente haz invertible ) de F , denotado por det( F ). Existe un emparejamiento perfecto natural:

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

Sea f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) un morfismo de espacios anillados. Si F es un O -módulo, entonces el haz de imágenes directas${\displaystyle f_{*}F}$es un O' - módulo a través del mapa natural O ' → f _* O (dicho mapa natural forma parte de los datos de un morfismo de espacios anillados).

Si G es un O' - módulo, entonces la imagen inversa del módulo${\displaystyle f^{*}G}$de G es el O -módulo dado como el producto tensorial de módulos:

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

dónde${\displaystyle f^{-1}G}$es el haz de imágenes inversas de G y${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$se obtiene de${\displaystyle O'\to f_{*}O}$por adjunción .

Existe una relación adjunta entre${\displaystyle f_{*}}$y${\displaystyle f^{*}}$: para cualquier módulo O F y módulo O ' G ,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

como grupo abeliano. También existe la fórmula de proyección : para un O -módulo F y un O' - módulo localmente libre E de rango finito,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Se dice que un O -módulo F está generado por secciones globales si existe una sobreyección de O -módulos:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

Explícitamente, esto significa que hay secciones globales s _i de F tales que las imágenes de s _i en cada tallo F _x generan F _x como O _x -módulo.

Un ejemplo de este tipo de haz es el asociado en geometría algebraica a un R -módulo M , donde R es cualquier anillo conmutativo , sobre el espectro de un anillo Spec ( R ). Otro ejemplo: según el teorema A de Cartan , cualquier haz coherente sobre una variedad de Stein está generado por secciones globales. (Véase el teorema A de Serre más adelante). En la teoría de esquemas , una noción relacionada es el fibrado lineal amplio . (Por ejemplo, si L es un fibrado lineal amplio, alguna potencia del mismo está generada por secciones globales).

Un O -módulo inyectivo es flasque (es decir, todos los mapas de restricciones F ( U ) → F ( V ) son sobreyectivos). ^{[ 6 ]} Dado que un haz flasque es acíclico en la categoría de haces abelianos, esto implica que el i -ésimo functor derivado derecho del functor de sección global${\displaystyle \Gamma (X,-)}$en la categoría de O -módulos coincide con la cohomología usual del i -ésimo haz en la categoría de haces abelianos. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo sobre un anillo${\displaystyle A}$. Poner${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$y escribir${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$. Para cada par${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$Por la propiedad universal de localización, existe un mapa natural.

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

tener la propiedad que${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$. Entonces

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

es un functor contravariante de la categoría cuyos objetos son los conjuntos D ( f ) y morfismos las inclusiones de conjuntos a la categoría de grupos abelianos . Se puede demostrar ^{[ 8 ]} que de hecho es un B-haz (es decir, satisface el axioma de pegado) y por lo tanto define el haz${\displaystyle {\widetilde {M}}}$en X llamado el haz asociado a M.

El ejemplo más básico es el haz de estructuras en X ; es decir,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$. Además,${\displaystyle {\widetilde {M}}}$tiene la estructura de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$-módulo y así se obtiene el functor exacto${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$desde Mod _A , la categoría de módulos sobre A a la categoría de módulos sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$Define una equivalencia de Mod _A a la categoría de haces cuasi-coherentes en X , con la inversa.${\displaystyle \Gamma (X,-)}$, el functor de sección global . Cuando X es noetheriano , el functor es una equivalencia de la categoría de A -módulos finitamente generados a la categoría de haces coherentes en X.

La construcción tiene las siguientes propiedades: para cualesquiera A -módulos M , N y cualquier morfismo${\displaystyle \varphi :M\to N}$,

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^{[ 9 ]}
• Para cualquier ideal primo p de A ,${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$como O _p = A _p -módulo.
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^{[ 10 ]}
• Si M está presentado de forma finita ,${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$. ^{[ 10 ]}
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, ya que existe equivalencia entre Mod _A y la categoría de haces cuasi-coherentes en X.
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^{[ 11 ]} en particular, tomando una suma directa y ~ conmutar.
• Una secuencia de módulos A es exacta si y solo si la secuencia inducida por${\displaystyle \sim }$es exacto. En particular,${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$.

Hay un análogo graduado de la construcción y equivalencia en la sección anterior. Sea R un anillo graduado generado por elementos de grado uno como R ₀ -álgebra ( R ₀ significa la pieza de grado cero) y M un R -módulo graduado . Sea X el Proj de R (por lo que X es un esquema proyectivo si R es noetheriano ). Entonces hay un O -módulo${\displaystyle {\widetilde {M}}}$de tal manera que para cualquier elemento homogéneo f de grado positivo de R , existe un isomorfismo natural

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

como haces de módulos en el esquema afín${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$; ^{[ 12 ]} de hecho, esto define${\displaystyle {\widetilde {M}}}$pegando.

Ejemplo : Sea R (1) el R -módulo graduado dado por R (1) _n = R _{n +1} . Entonces${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$Se denomina haz retorcido de Serre , que es el dual del fibrado lineal tautológico si R es finitamente generado en grado uno.

Si F es un O -módulo en X , entonces, escribiendo${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$, existe un homomorfismo canónico:

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

que es un isomorfismo si y solo si F es cuasi-coherente.

La cohomología de haces tiene fama de ser difícil de calcular. Por ello, el siguiente hecho general es fundamental para cualquier cálculo práctico:

El teorema de desaparición de Serre ^{[ 13 ]} establece que si X es una variedad proyectiva y F un haz coherente sobre ella, entonces, para n suficientemente grande , la torsión de Serre F ( n ) es generada por un número finito de secciones globales. Además,

1. Para cada i , H ⁱ ( X , F ) es finitamente generado sobre R ₀ , y
2. Existe un entero n ₀ , que depende de F , tal que $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

Sea ( X , O ) un espacio anillado, y sean F y H haces de O- módulos sobre X. Una extensión de H por F es una sucesión exacta corta de O- módulos.

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Al igual que con las extensiones de grupo, si fijamos F y H , entonces todas las clases de equivalencia de extensiones de H por F forman un grupo abeliano (cf. suma de Baer ), que es isomorfo al grupo Ext.${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$, donde el elemento identidad en${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$corresponde a la extensión trivial.

En el caso en que H es O , tenemos: para cualquier i ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

ya que ambos lados son funtores derivados derechos del mismo funtor${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Nota : Algunos autores, en particular Hartshorne, omiten el subíndice O.

Supongamos que X es un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Sean F y G haces coherentes sobre X e i un entero. Entonces existe n _{≥ 0} tal que

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {Ext}}_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$,

dónde${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{O}}$denota los functores derivados de${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{O}}$. ^{[ 17 ]}

• Módulo D (en lugar de O , también se puede considerar D , el haz de operadores diferenciales).
• ideal fraccional
• fibrado vectorial holomorfo
• libertad genérica

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . SEÑOR 0217083 . 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan (2021). Paquetes Ulrich . doi : 10.1515/9783110647686 . ISBN 9783110647686.
• «Vínculos con la cohomología de haces». Cohomología local . Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge. Cambridge University Press. 2012. págs. 438–479 . doi : 10.1017/CBO9781139044059.023 . ISBN  9780521513630.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197– 278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , señor 0068874