functor derivado

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , ciertos funtores pueden derivarse para obtener otros funtores estrechamente relacionados con los originales. Esta operación, si bien es bastante abstracta, unifica diversas construcciones en matemáticas.

Se ha observado en diversos contextos muy diferentes que una sucesión exacta corta suele dar lugar a una "secuencia exacta larga". Los functores derivados aclaran y generalizan muchas de estas observaciones.

Supongamos que se nos da un functor exacto izquierdo covariante.${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$entre dos categorías abelianas${\displaystyle \mathbf {A} }$y${\displaystyle \mathbf {B} }$. Si

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

es una secuencia corta exacta en${\displaystyle \mathbf {A} }$luego aplicando${\displaystyle F}$produce la secuencia exacta

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$,

y uno podría preguntarse cómo continuar esta secuencia hacia la derecha para formar una secuencia exacta larga.

Estrictamente hablando, esta pregunta está mal planteada, ya que siempre hay numerosas maneras diferentes de continuar una secuencia exacta dada hacia la derecha. Sin embargo, resulta que si${\displaystyle \mathbf {A} }$es "suficientemente bueno", hay una forma canónica de hacerlo, dada por los functores derivados correctos de${\displaystyle F}$. Por cada${\displaystyle i\geq 1}$, hay un functor${\displaystyle R^{i}F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$y la secuencia anterior continúa así:

${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to R^{2}F(B)\to \cdots }$

De esto vemos que${\displaystyle F}$es un functor exacto si y solo si${\displaystyle R^{1}F=0}$; así que en cierto sentido los functores derivados correctos de${\displaystyle F}$medir "qué tan lejos"${\displaystyle F}$es por ser exacto.

Si el objeto${\displaystyle A}$En la secuencia exacta corta anterior, si es inyectiva , entonces la secuencia se divide . Aplicar cualquier functor aditivo a una secuencia dividida da como resultado una secuencia dividida, por lo que en particular${\displaystyle R^{1}F(A)=0}$. Funtores derivados derechos (para${\displaystyle i>0}$) son cero en inyectivas: esta es la motivación para la construcción que se muestra a continuación.

La suposición crucial que debemos hacer sobre nuestra categoría abeliana A es que tiene suficientes inyectivos , lo que significa que para cada objeto A en A existe un monomorfismo A → I donde I es un objeto inyectivo en A.

Los functores derivados derechos del functor covariante exacto izquierdo F  : A → B se definen entonces de la siguiente manera. Partimos de un objeto X de A. Como hay suficientes inyectivos, podemos construir una larga sucesión exacta de la forma

${\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }$

donde los I ⁱ son todos inyectivos (esto se conoce como una resolución inyectiva de X ). Aplicando el functor F a esta secuencia y eliminando el primer término, obtenemos el complejo de cocadenas. 

${\displaystyle 0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots }$

Nota: en general, esta ya no es una secuencia exacta. Pero podemos calcular su cohomología en el i -ésimo lugar (el núcleo del mapa de F ( I ⁱ ) módulo la imagen del mapa a F ( I ⁱ )); llamamos al resultado R ⁱ F ( X ). Por supuesto, hay que comprobar varias cosas: el resultado no depende de la resolución inyectiva dada de X , y cualquier morfismo X → Y produce naturalmente un morfismo R ⁱ F ( X ) → R ⁱ F ( Y ), de modo que efectivamente obtenemos un functor. Nótese que la exactitud izquierda significa que 0 → F ( X ) → F ( I ⁰ ) → F ( I ¹ ) es exacto, por lo que R ⁰ F ( X ) = F ( X ), así que solo obtenemos algo interesante para i >0.

(Técnicamente, para producir derivadas bien definidas de F , tendríamos que fijar una resolución inyectiva para cada objeto de A. Esta elección de resoluciones inyectivas produce entonces functores R ⁱ F. Diferentes elecciones de resoluciones producen functores isomorfos de forma natural , por lo que, en última instancia, la elección no importa realmente).

La propiedad antes mencionada de convertir secuencias exactas cortas en secuencias exactas largas es una consecuencia del lema de la serpiente . Esto nos dice que la colección de functores derivados es un δ-functor .

Si X es inyectiva, podemos elegir la resolución inyectiva 0 → X → X → 0, y obtenemos que R ⁱ F ( X ) = 0 para todo i ≥ 1. En la práctica, este hecho, junto con la propiedad de secuencia exacta larga, se usa a menudo para calcular los valores de los functores derivados derechos.

Una forma equivalente de calcular R ⁱ F ( X ) es la siguiente: tome una resolución inyectiva de X como la anterior, y sea K ⁱ la imagen del mapa I ^{i -1} → I ⁱ (para i =0, defina I ^{i -1} =0), que es lo mismo que el núcleo de I ⁱ → I ^{i +1} . Sea φ _i  : I ^{i -1} → K ⁱ el mapa sobreyectivo correspondiente. Entonces R ⁱ F ( X ) es el conúcleo de F (φ _i ). 

Si se parte de un functor covariante exacto por la derecha${\displaystyle G}$y la categoría A tiene suficientes proyectivos (es decir, para cada objeto)${\displaystyle A}$de A existe un epimorfismo${\displaystyle P\rightarrow A}$dónde${\displaystyle P}$es un objeto proyectivo ), entonces se pueden definir análogamente los functores derivados por la izquierda${\displaystyle L_{i}G}$. Para un objeto${\displaystyle X}$de A primero construimos una resolución proyectiva de la forma

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}$

donde el${\displaystyle P_{i}}$son proyectivos. Aplicamos${\displaystyle G}$a esta secuencia, recorta el último término y calcula la homología para obtener${\displaystyle L_{i}G(X)}$. Como antes,${\displaystyle L_{0}G(X)=G(X)}$.

En este caso, la secuencia exacta larga crecerá "hacia la izquierda" en lugar de hacia la derecha:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

se convierte en

${\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}$.

Los functores derivados por la izquierda son cero en todos los objetos proyectivos.

También se puede comenzar con un functor exacto por la izquierda contravariante.${\displaystyle F}$; los functores derivados por la derecha resultantes son también contravariantes. La secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

se convierte en la secuencia exacta larga

${\displaystyle 0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots }$

Estos functores derivados por la derecha son cero en proyectivos y, por lo tanto, se calculan mediante resoluciones proyectivas.

• Si${\displaystyle A}$es una categoría abeliana, entonces su categoría de morfismos${\displaystyle A^{\{\ast \to \ast \}}}$También es abeliano. El functor${\displaystyle \ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A}$que asigna cada morfismo a su núcleo es exacto por la izquierda. Sus functores derivados por la derecha son

${\displaystyle R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Dualmente el functor${\displaystyle \operatorname {coker} }$es exacto por la derecha y sus functores derivados por la izquierda son

${\displaystyle L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}}$

Esta es una manifestación del lema de la serpiente .

Los functores derivados y las secuencias exactas largas son "naturales" en varios sentidos técnicos.

Primero, dado un diagrama conmutativo de la forma

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}}$

(donde las filas son exactas), las dos secuencias exactas largas resultantes están relacionadas por cuadrados conmutativos:

Segundo, supongamos que η  : F → G es una transformación natural del functor exacto izquierdo F al functor exacto izquierdo G. Entonces se inducen transformaciones naturales R ⁱ η  : R ⁱ F → R ⁱ G , y de hecho R ⁱ se convierte en un functor de la categoría de functores de todos los functores exactos izquierdos de A a B a la categoría de functores completa de todos los functores de A a B. Además, este functor es compatible con las secuencias exactas largas en el siguiente sentido: si $${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$$ es una secuencia exacta corta, luego un diagrama conmutativo

se induce.

Ambas naturalidades se derivan de la naturalidad de la secuencia proporcionada por el lema de la serpiente .

Por el contrario, se cumple la siguiente caracterización de functores derivados: dada una familia de functores R ⁱ : A → B , que satisfacen lo anterior, es decir, que mapean secuencias exactas cortas a secuencias exactas largas, de tal manera que para cada objeto inyectivo I de A , R ⁱ ( I )=0 para cada i positivo , entonces estos functores son los functores derivados derechos de R ⁰ .

El enfoque más moderno (y más general) de los functores derivados utiliza el lenguaje de las categorías derivadas .

En 1968, Quillen desarrolló la teoría de las categorías modelo , que proporciona un sistema abstracto de teoría de categorías para fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Típicamente, el interés reside en la categoría de homotopía subyacente , obtenida al localizar frente a las equivalencias débiles. Una adjunción de Quillen es una adjunción entre categorías modelo que desciende a una adjunción entre las categorías de homotopía. Por ejemplo, tanto la categoría de espacios topológicos como la categoría de conjuntos simpliciales admiten estructuras modelo de Quillen, cuya adjunción de nervios y realizaciones da lugar a una adjunción de Quillen que, de hecho, es una equivalencia de categorías de homotopía. Los objetos particulares en una estructura modelo poseen «propiedades interesantes» (relacionadas con la existencia de elevaciones frente a morfismos particulares), los objetos «fibrantes» y «cofibrantes», y cada objeto es débilmente equivalente a una «resolución» fibrante-cofibrante.

Aunque originalmente se desarrolló para manejar la categoría de espacios topológicos, las estructuras de modelos de Quillen aparecen en numerosos lugares de las matemáticas; en particular, la categoría de complejos de cadenas de cualquier categoría abeliana (módulos, haces de módulos en un espacio topológico o esquema , etc.) admite una estructura de modelo cuyas equivalencias débiles son aquellos morfismos entre complejos de cadenas que preservan la homología. A menudo tenemos un functor entre dos de estas categorías de modelos (por ejemplo, el functor de secciones globales que envía un complejo de haces abelianos al complejo obvio de grupos abelianos) que preserva las equivalencias débiles dentro de la subcategoría de objetos "buenos" (fibrantes o cofibrantes) . Al tomar primero una resolución fibrante o cofibrante de un objeto y luego aplicar ese functor, hemos logrado extenderlo a toda la categoría de tal manera que las equivalencias débiles siempre se preservan (y por lo tanto desciende a un functor de la categoría de homotopía). Este es el "functor derivado". Los “funtores derivados” de la cohomología de haces, por ejemplo, son las homologías del resultado de este funtor derivado. Al aplicarlos a un haz de grupos abelianos interpretado de la manera obvia como un complejo concentrado en homología, miden el fracaso del funtor de secciones globales para preservar las equivalencias débiles de tales, su falta de “exactitud”. La teoría general de estructuras modelo demuestra la unicidad de esta construcción (que no depende de la elección de la resolución fibrante o cofibrante, etc.).