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functor delta

En álgebra homológica , un δ-functor entre dos categorías abelianas A y B es una colección de functores de A a B junto con una colección de morfismos que satisfacen propiedades ...

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En álgebra homológica , un δ-functor entre dos categorías abelianas A y B es una colección de functores de A a B junto con una colección de morfismos que satisfacen propiedades que generalizan las de los functores derivados . Un δ-functor universal es un δ-functor que satisface una propiedad universal específica relacionada con la extensión de morfismos más allá del "grado 0". Estas nociones fueron introducidas por Alexander Grothendieck en su " artículo de Tohoku " para proporcionar un marco adecuado para los functores derivados. [ 1 ] En particular, los functores derivados son δ-functores universales.

Los términos δ-functor homológico y δ-functor cohomológico se utilizan a veces para distinguir entre el caso en que los morfismos "descienden" ( homológico ) y el caso en que "ascienden" ( cohomológico ). En particular, uno de estos modificadores siempre está implícito, aunque a menudo no se menciona explícitamente.

Definición

Dadas dos categorías abelianas A y B, un δ-functor cohomológico covariante entre A y B es una familia { T n } de functores aditivos covariantes T n : A → B indexados por los enteros no negativos , y para cada secuencia exacta corta 

0→METRO′→METRO→METRO′′→0{\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}

una familia de morfismos

δnorte:Tnorte(METRO′′)→Tnorte+1(METRO′){\displaystyle \delta ^{n}:T^{n}(M^{\prime \prime })\rightarrow T^{n+1}(M^{\prime })}

indexados por los enteros no negativos que satisfacen las dos propiedades siguientes:

  1. Para cada secuencia exacta corta como la anterior, existe una secuencia exacta larga.
  2. Para cada morfismo de secuencias exactas cortas

    y para cada n no negativo , el cuadrado inducido

    es conmutativa (el δ n de arriba es el que corresponde a la secuencia exacta corta de M , mientras que el de abajo corresponde a la secuencia exacta corta de N ).

La segunda propiedad expresa la funtorialidad de un δ-functor. El modificador "cohomológico" indica que el δ n eleva el índice en T . Un δ-functor homológico covariante entre A y B se define de manera similar (y generalmente usa subíndices), pero con δ n un morfismo T n ( M '' ) → T n-1 ( M' ). Las nociones de δ-functor cohomológico contravariante entre A y B y δ-functor homológico contravariante entre A y B también pueden definirse "invirtiendo las flechas" según corresponda.

Morfismos de δ-functores

Un morfismo de δ-funtores es una familia de transformaciones naturales que, para cada sucesión exacta corta, conmutan con los morfismos δ. Por ejemplo, en el caso de dos δ-funtores cohomológicos covariantes denotados S y T , un morfismo de S a T es una familia F n  : S n → T n de transformaciones naturales tales que para cada sucesión exacta corta

0→METRO′→METRO→METRO′′→0{\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}

El siguiente diagrama conmuta:

functor δ universal

Un δ-functor universal se caracteriza por la propiedad ( universal ) de que dar un morfismo F de él a cualquier otro δ-functor (entre A y B ) es equivalente a dar simplemente F 0 . Si S denota un δ-functor cohomológico covariante entre A y B , entonces S es universal si dado cualquier otro δ-functor (cohomológico covariante) T (entre A y B ), y dada cualquier transformación natural

F0:S0→T0{\displaystyle F_{0}:S^{0}\rightarrow T^{0}}

Existe una secuencia única F n indexada por los enteros positivos tal que la familia { F n } n ≥ 0 es un morfismo de δ-functores.

Véase también

Notas

Referencias

  • Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , segunda serie, 9 ( 2– 3), MR 0102537