Muestreo (procesamiento de señales)

En el procesamiento de señales , el muestreo es la reducción de una señal de tiempo continuo a una señal de tiempo discreto . Un ejemplo común es la conversión de una onda sonora a una secuencia de "muestras". Una muestra es un valor de la señal en un punto en el tiempo y/o el espacio; esta definición difiere del uso del término en estadística , que se refiere a un conjunto de dichos valores. ^{[ A ]}

Un muestreador es un subsistema u operación que extrae muestras de una señal continua . Un muestreador ideal teórico produce muestras equivalentes al valor instantáneo de la señal continua en los puntos deseados.

La señal original se puede reconstruir a partir de una secuencia de muestras, hasta el límite de Nyquist , haciendo pasar la secuencia de muestras a través de un filtro de reconstrucción .

Se pueden muestrear funciones del espacio, del tiempo o de cualquier otra dimensión, y de forma similar en dos o más dimensiones.

Para funciones que varían con el tiempo, dejemos${\displaystyle s(t)}$Sea una función continua (o "señal") que se va a muestrear, y el muestreo se realizará midiendo el valor de la función continua cada vez.${\displaystyle T}$segundos, que se denomina intervalo de muestreo o período de muestreo . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Entonces, la función muestreada viene dada por la secuencia:

${\displaystyle s(nT)}$, para valores enteros de${\displaystyle n}$.

La frecuencia de muestreo o tasa de muestreo ,${\displaystyle f_{s}}$es el número promedio de muestras obtenidas en un segundo, por lo tanto${\displaystyle f_{s}=1/T}$, con la unidad muestras por segundo , a veces denominada hercios , por ejemplo 48  kHz son 48.000 muestras por segundo .

La reconstrucción de una función continua a partir de muestras se realiza mediante algoritmos de interpolación. La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon es matemáticamente equivalente a un filtro paso bajo ideal cuya entrada es una secuencia de funciones delta de Dirac moduladas (multiplicadas) por los valores de las muestras. Cuando el intervalo de tiempo entre muestras adyacentes es constante${\displaystyle (T)}$, la secuencia de funciones delta se llama peine de Dirac . Matemáticamente, el peine de Dirac modulado es equivalente al producto de la función peine con${\displaystyle s(t)}$Esa abstracción matemática a veces se denomina muestreo por impulsos . ^{[ 3 ]}

La mayoría de las señales muestreadas no se almacenan y reconstruyen simplemente. La fidelidad de una reconstrucción teórica es una medida común de la efectividad del muestreo. Esa fidelidad se reduce cuando${\displaystyle s(t)}$contiene componentes de frecuencia cuya duración de ciclo (período) es menor que 2 intervalos de muestra (ver Aliasing ). El límite de frecuencia correspondiente, en ciclos por segundo ( hertz ), es${\displaystyle 0.5}$ciclo/muestra  ×${\displaystyle f_{s}}$muestras/segundo =${\displaystyle f_{s}/2}$, conocida como la frecuencia de Nyquist del muestreador. Por lo tanto,${\displaystyle s(t)}$Suele ser la salida de un filtro de paso bajo , conocido funcionalmente como filtro anti-aliasing . Sin un filtro anti-aliasing, las frecuencias superiores a la frecuencia de Nyquist influirán en las muestras de una manera que será malinterpretada por el proceso de interpolación. ^{[ 4 ]}

En la práctica, la señal continua se muestrea mediante un convertidor analógico-digital (ADC), un dispositivo con diversas limitaciones físicas. Esto produce desviaciones respecto a la reconstrucción teóricamente perfecta, denominadas colectivamente distorsión .

Pueden producirse diversos tipos de distorsión, entre ellos:

• Aliasing . Cierto grado de aliasing es inevitable, ya que solo las funciones teóricas infinitamente largas pueden carecer de contenido de frecuencia por encima de la frecuencia de Nyquist. El aliasing puede reducirse arbitrariamente utilizando un orden suficientemente grande del filtro anti-aliasing.
• El error de apertura se debe a que la muestra se obtiene como un promedio temporal dentro de una región de muestreo, en lugar de ser simplemente igual al valor de la señal en el instante de muestreo. ^{[ 5 ]} En un circuito de muestreo y retención basado en condensadores , los errores de apertura se introducen por múltiples mecanismos. Por ejemplo, el condensador no puede seguir instantáneamente la señal de entrada, ni puede aislarse instantáneamente de la señal de entrada.
• Fluctuación o desviación de los intervalos de tiempo de muestreo precisos.
• Ruido , incluyendo ruido de sensores térmicos, ruido de circuitos analógicos , etc.
• Error en el límite de velocidad de cambio , causado por la incapacidad del valor de entrada del convertidor analógico-digital (ADC) para cambiar con la suficiente rapidez.
• La cuantización es consecuencia de la precisión finita de las palabras que representan los valores convertidos.
• Error debido a otros efectos no lineales del mapeo del voltaje de entrada al valor de salida convertido (además de los efectos de la cuantización).

Aunque el sobremuestreo puede eliminar por completo el error de apertura y el aliasing al desplazarlos fuera de la banda de paso, esta técnica no es práctica por encima de unos pocos GHz y puede resultar prohibitivamente cara a frecuencias mucho más bajas. Además, si bien el sobremuestreo puede reducir el error de cuantización y la no linealidad, no puede eliminarlos por completo. En consecuencia, los convertidores analógico-digitales (ADC) prácticos en frecuencias de audio no suelen presentar aliasing ni error de apertura, y no están limitados por el error de cuantización. En su lugar, predomina el ruido analógico. En frecuencias de radiofrecuencia y microondas, donde el sobremuestreo no es práctico y los filtros son caros, el error de apertura, el error de cuantización y el aliasing pueden representar limitaciones importantes.

La fluctuación, el ruido y la cuantización se analizan a menudo modelándolos como errores aleatorios añadidos a los valores de la muestra. Los efectos de integración y retención de orden cero pueden analizarse como una forma de filtrado de paso bajo . Las no linealidades de los convertidores analógico-digitales (ADC) o digitales (DAC) se analizan sustituyendo la función lineal ideal por una función no lineal propuesta .

Cuando una señal de paso de banda se muestrea a una velocidad inferior a su frecuencia de Nyquist , las muestras resultan indistinguibles de las muestras de un alias de baja frecuencia de la señal de alta frecuencia. Esto se suele hacer deliberadamente para que el alias de menor frecuencia cumpla el criterio de Nyquist , ya que la señal de paso de banda sigue estando representada de forma única y es recuperable. Este submuestreo también se conoce como muestreo de paso de banda , muestreo armónico , muestreo de FI y conversión directa de FI a digital. ^{[ 29 ]}

El sobremuestreo se utiliza en la mayoría de los convertidores analógico-digitales modernos para reducir la distorsión introducida por los convertidores digital-analógicos prácticos , como una retención de orden cero en lugar de idealizaciones como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . ^{[ 30 ]}

El muestreo complejo (o muestreo I/Q ) es el muestreo simultáneo de dos formas de onda diferentes, pero relacionadas, lo que da como resultado pares de muestras que posteriormente se tratan como números complejos . ^{[ C ]} Cuando una forma de onda,${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$, es la transformada de Hilbert de la otra forma de onda,${\displaystyle s(t)}$, la función de valor complejo,${\displaystyle s_{a}(t)\triangleq s(t)+i\cdot {\hat {s}}(t)}$, se denomina señal analítica , cuya transformada de Fourier es cero para todos los valores negativos de frecuencia. En ese caso, la tasa de Nyquist para una forma de onda sin frecuencias ≥ B se puede reducir a solo B (muestras complejas/seg), en lugar de ${\displaystyle 2B}$(muestras reales/seg). ^{[ D ]} Más aparentemente, la forma de onda de banda base equivalente ,${\displaystyle s_{a}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}t}}$, también tiene una tasa de Nyquist de${\displaystyle B}$, porque todo su contenido de frecuencia no nula se desplaza al intervalo${\displaystyle [-B/2,B/2]}$.

Aunque las muestras de valores complejos se pueden obtener como se describió anteriormente, también se crean manipulando muestras de una forma de onda de valor real. Por ejemplo, la forma de onda de banda base equivalente se puede crear sin calcular explícitamente${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$, procesando la secuencia del producto,${\displaystyle \left[s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {B}{2}}Tn}\right]}$, ^{[ E ]} a través de un filtro digital de paso bajo cuya frecuencia de corte es${\displaystyle B/2}$. ^{[ F ]} Calcular solo una de cada dos muestras de la secuencia de salida reduce la tasa de muestreo proporcional a la tasa de Nyquist reducida. El resultado es la mitad de muestras de valor complejo que el número original de muestras reales. No se pierde información y la original${\displaystyle s(t)}$La forma de onda se puede recuperar, si es necesario.

• Frecuencias de osciladores de cristal
• Submuestreo
• Sobremuestreo
• Abundancia de la muestra
• Muestreo multidimensional
• Componentes en fase y en cuadratura y datos I/Q
• Conversión de frecuencia de muestreo
• Digitalización
• Muestra y retención
• Codificador beta
• factor de Kell
• Tasa de bits
• Frecuencia normalizada

• Matt Pharr, Wenzel Jakob y Greg Humphreys, Renderizado basado en la física: De la teoría a la implementación, 3.ª ed. , Morgan Kaufmann, noviembre de 2016. ISBN 978-0128006450El capítulo sobre muestreo ( disponible en línea ) está muy bien escrito, con diagramas, teoría básica y ejemplos de código.

• Revista dedicada a la teoría del muestreo.
• Datos I/Q para principiantes : una página que intenta responder a la pregunta ¿Por qué datos I/Q? 
• Muestreo de señales analógicas : una presentación interactiva en una demostración web en el Instituto de Telecomunicaciones de la Universidad de Stuttgart.