Anillo de coordenadas homogéneas

En geometría algebraica , el anillo de coordenadas homogéneas es un cierto anillo conmutativo asignado a cualquier variedad proyectiva . Si V es una variedad algebraica dada como una subvariedad del espacio proyectivo de una dimensión N dada , su anillo de coordenadas homogéneas es por definición el anillo cociente.

R = K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ] / I

donde I es el ideal homogéneo que define V , K es el cuerpo algebraicamente cerrado sobre el cual se define V , y

K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ]

es el anillo de polinomios en N + 1 variables X _i . El anillo de polinomios es, por lo tanto, el anillo de coordenadas homogéneas del espacio proyectivo mismo, y las variables son las coordenadas homogéneas , para una elección dada de base (en el espacio vectorial subyacente al espacio proyectivo). La elección de la base implica que esta definición no es intrínseca, pero puede hacerse así mediante el uso del álgebra simétrica .

La definición imita el anillo de coordenadas tal como se introduce para las variedades afines.

Dado que V se supone una variedad, y por lo tanto un conjunto algebraico irreducible , el ideal I puede elegirse como un ideal primo , y así R es un dominio de integridad . La misma definición puede usarse para ideales homogéneos generales, pero los anillos de coordenadas resultantes pueden contener elementos nilpotentes distintos de cero y otros divisores de cero . Desde el punto de vista de la teoría de esquemas, estos casos pueden tratarse en igualdad de condiciones mediante la construcción Proj .

El ideal irrelevante J generado por todos los X _i corresponde al conjunto vacío, ya que no todas las coordenadas homogéneas pueden anularse en un punto del espacio proyectivo.

El Nullstellensatz proyectivo da una correspondencia biyectiva entre variedades proyectivas e ideales homogéneos I que no contienen a J.

En la aplicación de técnicas de álgebra homológica a la geometría algebraica, desde David Hilbert (aunque la terminología moderna difiere) se ha utilizado tradicionalmente la resolución libre de R , considerada como un módulo graduado sobre el anillo de polinomios. Esto proporciona información sobre sizigias , es decir, relaciones entre generadores del ideal I. Desde una perspectiva clásica, dichos generadores son simplemente las ecuaciones que se escriben para definir V. Si V es una hipersuperficie , solo se necesita una ecuación, y para intersecciones completas, el número de ecuaciones puede tomarse como la codimensión; pero la variedad proyectiva general no posee un conjunto de ecuaciones definitorias tan transparente. Estudios detallados, por ejemplo, de curvas canónicas y las ecuaciones que definen variedades abelianas , demuestran el interés geométrico de las técnicas sistemáticas para abordar estos casos. El tema también surgió de la teoría de la eliminación en su forma clásica, en la que se supone que la reducción módulo I se convierte en un proceso algorítmico (actualmente manejado en la práctica por bases de Gröbner ).

Por razones generales, existen resoluciones libres de R como módulo graduado sobre K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ]. Una resolución se define como mínima si la imagen en cada módulo es un morfismo de módulos libres.

φ: F _i → F _{i − 1}

en la resolución reside en JF _{i − 1,} donde J es el ideal irrelevante. Como consecuencia del lema de Nakayama , φ entonces toma una base dada en F _i a un conjunto mínimo de generadores en F _{i − 1.} El concepto de resolución libre mínima está bien definido en un sentido fuerte: único salvo isomorfismo de complejos de cadena y aparece como un sumando directo en cualquier resolución libre. Dado que este complejo es intrínseco a R , se pueden definir los números de Betti graduados β _{i, j} como el número de imágenes de grado j que provienen de F _i (más precisamente, pensando en φ como una matriz de polinomios homogéneos, el recuento de entradas de ese grado homogéneo incrementado por las graduaciones adquiridas inductivamente desde la derecha). En otras palabras, los pesos en todos los módulos libres se pueden inferir de la resolución, y los números de Betti graduados cuentan el número de generadores de un peso dado en un módulo dado de la resolución. Las propiedades de estos invariantes de V en una incrustación proyectiva dada plantean cuestiones de investigación activas, incluso en el caso de curvas. ^{[ 1 ]}

Existen ejemplos en los que se conoce explícitamente la resolución libre mínima. Para una curva normal racional, se trata de un complejo de Eagon-Northcott . Para curvas elípticas en el espacio proyectivo, la resolución puede construirse como un cono de mapeo de complejos de Eagon-Northcott. ^{[ 2 ]}

La regularidad de Castelnuovo-Mumford puede leerse a partir de la resolución mínima del ideal I que define la variedad proyectiva. En términos de los "desplazamientos" imputados a _{i , j} en el i -ésimo módulo F _i , es el máximo sobre i de los a _{i , j} − i ; por lo tanto, es pequeño cuando los desplazamientos aumentan solo en incrementos de 1 a medida que nos movemos hacia la izquierda en la resolución (solo sizigias lineales). ^{[ 3 ]}

La variedad V en su incrustación proyectiva es proyectivamente normal si su anillo de coordenadas homogéneas es integralmente cerrado . Esta condición implica que V es una variedad normal , pero no a la inversa: la propiedad de normalidad proyectiva no es independiente de la incrustación proyectiva, como se muestra con el ejemplo de una curva cuártica racional en tres dimensiones. ^{[ 4 ]} Otra condición equivalente está en términos del sistema lineal de divisores en V cortado por el dual del fibrado de líneas tautológico en el espacio proyectivo, y sus d -ésimas potencias para d = 1, 2, 3, ...  ; cuando V es no singular , es proyectivamente normal si y solo si cada uno de dichos sistemas lineales es un sistema lineal completo . ^{[ 5 ]} Alternativamente, se puede pensar en el dual del fibrado de líneas tautológico como el haz de torsión de Serre O (1) en el espacio proyectivo, y usarlo para torcer el haz de estructura O _V cualquier número de veces, digamos k veces, obteniendo un haz O _V ( k ). Entonces V se llama k -normal si las secciones globales de O ( k ) se mapean sobreyectivamente a las de O _V ( k ), para un k dado , y si V es 1-normal se llama linealmente normal . Una variedad no singular es proyectivamente normal si y solo si es k -normal para todo k ≥ 1. La normalidad lineal también puede expresarse geométricamente: V como variedad proyectiva no puede obtenerse mediante una proyección lineal isomorfa desde un espacio proyectivo de dimensión superior, excepto de la manera trivial de estar en un subespacio lineal propio. La normalidad proyectiva puede traducirse de manera similar, usando suficientes mapeos de Veronese para reducirla a condiciones de normalidad lineal.

Si analizamos el problema desde el punto de vista de un fibrado lineal muy amplio dado que da lugar a la incrustación proyectiva de V , se dice que dicho fibrado lineal ( haz invertible ) es normalmente generado si V, tal como está incrustado, es proyectivamente normal. La normalidad proyectiva es la primera condición N ₀ de una secuencia de condiciones definidas por Green y Lazarsfeld. Para ello,

${\displaystyle \bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})}$

se considera como un módulo graduado sobre el anillo de coordenadas homogéneas del espacio proyectivo, y se toma una resolución libre mínima. La condición N _p se aplica a los primeros p números de Betti graduados, requiriendo que se anulen cuando j > i + 1. ^{[ 6 ]} Para curvas, Green demostró que la condición N _p se satisface cuando deg( L ) ≥ 2 g + 1 + p , lo cual para p = 0 fue un resultado clásico de Guido Castelnuovo . ^{[ 7 ]}

• Variedad proyectiva
• polinomio de Hilbert

• Oscar Zariski y Pierre Samuel , Álgebra conmutativa Vol. II (1960), págs.  168–172.