divisor cero

En álgebra abstracta , un elemento a de un anillo R se llama divisor de cero por la izquierda si existe un x distinto de cero en R tal que ax = 0 , ^{[ 1 ]} o equivalentemente si la aplicación de R a R que envía x a ax no es inyectiva . ^{[ a ]} De manera similar, un elemento a de un anillo se llama divisor de cero por la derecha si existe un y distinto de cero en R tal que ya = 0. Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos . Un elemento que es divisor de cero por la izquierda o por la derecha se llama simplemente divisor de cero . ^{[ 2 ]} Un elemento a que es divisor de cero tanto por la izquierda como por la derecha se llama divisor de cero bilateral (el x distinto de cero tal que ax = 0 puede ser diferente del y distinto de cero tal que ya = 0 ). Si el anillo es conmutativo , entonces los divisores de cero por la izquierda y por la derecha son iguales. 

Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero por la izquierda (respectivamente, no es un divisor de cero por la derecha) se llama regular por la izquierda o cancelable por la izquierda (respectivamente, regular por la derecha o cancelable por la derecha ). Un elemento de un anillo que es cancelable por la izquierda y por la derecha, y por lo tanto no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable , ^{[ 3 ]} o un divisor distinto de cero . ( Nota: En "divisor distinto de cero", el prefijo "no-" se entiende que modifica "divisor de cero" en su conjunto en lugar de solo la palabra "cero". En algunos textos, "divisor de cero" se escribe como "divisor de cero" y "divisor distinto de cero" como "divisor distinto de cero" ^{[ 4 ]} o "divisor distinto de cero" ^{[ 5 ]} para mayor claridad). Un divisor de cero que no es cero se llama divisor de cero distinto de cero o divisor de cero no trivial . Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio .

• En el ring${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, la clase de residuos${\displaystyle {\overline {2}}}$es un divisor de cero ya que${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$.
• El único divisor cero del anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros es${\displaystyle 0}$.
• Un elemento nilpotente de un anillo no nulo es siempre un divisor de cero bilateral.
• Un elemento idempotente${\displaystyle e\neq 1}$de un anillo siempre es un divisor de cero bilateral, ya que${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$.
• El anillo de matrices n × n sobre un cuerpo tiene divisores de cero distintos de cero si n ≥ 2. Aquí se muestran ejemplos de divisores de cero en el anillo de matrices 2 × 2 (sobre cualquier anillo distinto de cero):

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• Un producto directo de dos o más anillos distintos de cero siempre tiene divisores de cero distintos de cero. Por ejemplo, en${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$con cada${\displaystyle R_{i}}$distinto de cero,${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$, entonces${\displaystyle (1,0)}$es un divisor de cero.
• Dejar${\displaystyle K}$ser un campo y${\displaystyle G}$ser un grupo . Supongamos que${\displaystyle G}$tiene un elemento${\displaystyle g}$de orden finito${\displaystyle n>1}$. Luego en el anillo del grupo${\displaystyle K[G]}$uno tiene${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$, sin que ninguno de los factores sea cero, por lo tanto${\displaystyle 1-g}$es un divisor de cero distinto de cero en${\displaystyle K[G]}$.

• El anillo de enteros módulo un número primo no tiene divisores de cero distintos de cero. Dado que cada elemento distinto de cero es una unidad , este anillo es un cuerpo finito .
• En términos más generales, un anillo de división no tiene divisores de cero distintos de cero.
• Un anillo conmutativo no nulo cuyo único divisor de cero es 0 se llama dominio de integridad .

• En el anillo de matrices n × n sobre un cuerpo, los divisores de cero izquierdo y derecho coinciden; son precisamente las matrices singulares . En el anillo de matrices n × n sobre un dominio de integridad , los divisores de cero son precisamente las matrices con determinante cero.
• Los divisores cero por la izquierda o por la derecha nunca pueden ser unidades , porque si a es invertible y ax = 0 para algún x distinto de cero , entonces 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , una contradicción.
• Un elemento es cancelable en el lado en el que es regular. Es decir, si a es un elemento regular izquierdo, ax = ay implica que x = y , y de forma similar para los elementos regulares derechos.

No es necesario establecer una convención separada para el caso a = 0 , ya que la definición también se aplica en este caso:

• Si R es un anillo distinto del anillo cero , entonces 0 es un divisor cero (bilateral), porque cualquier elemento distinto de cero x satisface 0 x = 0 = x 0 .
• Si R es el anillo cero, en el que 0 = 1 , entonces 0 no es un divisor de cero, porque no hay ningún elemento distinto de cero que cuando se multiplica por 0 dé como resultado 0 .

Algunas referencias incluyen o excluyen el 0 como divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego sufren al tener que introducir excepciones en afirmaciones como la siguiente:

• En un anillo conmutativo R , el conjunto de divisores distintos de cero es un conjunto multiplicativo en R. (Esto, a su vez, es importante para la definición del anillo cociente total ). Lo mismo ocurre con el conjunto de divisores distintos de cero por la izquierda y el conjunto de divisores distintos de cero por la derecha en un anillo arbitrario, sea conmutativo o no.
• En un anillo noetheriano conmutativo R , el conjunto de divisores de cero es la unión de los ideales primos asociados de R.

Sea R un anillo conmutativo, sea M un R - módulo y sea a un elemento de R. Se dice que a es M -regular si la función "multiplicación por a " cumple la condición.${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$es inyectiva, y que a es un divisor de cero en M en caso contrario. ^{[ 6 ]} El conjunto de elementos M -regulares es un conjunto multiplicativo en R . ^{[ 6 ]}

Al especializar las definiciones de " M -regular" y "divisor de cero en M " al caso M = R, se recuperan las definiciones de "regular" y "divisor de cero" dadas anteriormente en este artículo.

• Propiedad de producto cero
• Glosario de álgebra conmutativa (Divisor de cero exacto)
• Gráfico del divisor de cero
• Sedeniones , que tienen divisores cero

• "Divisor de cero" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladímir V. Kirichenko. (2004), Álgebras, anillos y módulos , vol.  1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0