Mapa de Veronese

El mapa veronese de grado 2 es un mapeo desde${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$al espacio de matrices simétricas${\displaystyle (n+1){\times }(n+1)}$definido por la fórmula: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle V\colon (x_{0},\dots ,x_{n})\to {\begin{pmatrix}x_{0}\cdot x_{0}&x_{0}\cdot x_{1}&\dots &x_{0}\cdot x_{n}\\x_{1}\cdot x_{0}&x_{1}\cdot x_{1}&\dots &x_{1}\cdot x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}\cdot x_{0}&x_{n}\cdot x_{1}&\dots &x_{n}\cdot x_{n}\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle V(x)=V(-x)}$para cualquier${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$.

En particular, la restricción de${\displaystyle V}$a la esfera unitaria${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$factores a través del espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$, que define la incrustación veronesa de${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$. La imagen de la incrustación de Veronese se llama subvariedad de Veronese , y para${\displaystyle n=2}$Se la conoce como la superficie veronesa . ^{[ 2 ]}

• Las matrices en la imagen de la incrustación de Veronese corresponden a proyecciones sobre subespacios unidimensionales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$Se pueden describir mediante las siguientes ecuaciones:

  ${\displaystyle A^{T}=A,\quad \mathrm {tr} \,A=1,\quad A^{2}=A.}$

En otras palabras, las matrices en la imagen de${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$tienen traza unitaria y norma unitaria. Específicamente, se cumple lo siguiente:

• La imagen se encuentra en un espacio afín de dimensión${\displaystyle n+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}}}$.
• La imagen está sobre una${\displaystyle (n-1+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}})}$-esfera con radio${\displaystyle r_{n}={\sqrt {1-{\tfrac {1}{n+1}}}}}$.
  • Además, la imagen forma una subvariedad mínima en esta esfera.

• La incrustación de Veronese induce una métrica riemanniana.${\displaystyle 2\cdot g}$, dónde${\displaystyle g}$denota la métrica canónica en${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$.
• Los mapas de incrustación de Veronese asignan cada geodésica en${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$a un círculo con radio${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$.
  • En particular, todas las curvaturas normales de la imagen son iguales a${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• La variedad de Veronese es extrínsecamente simétrica , lo que significa que la reflexión en cualquiera de sus espacios normales proyecta la variedad sobre sí misma.

Se construyen incrustaciones de Veronese análogas para espacios proyectivos complejos y cuaterniónicos, así como para el plano de Cayley .

• Cecil, TE; Ryan, PJ Inmersiones ajustadas y tensas de variedades Res. Notes in Math., 107, 1985.
• K. Sakamoto, Inmersiones geodésicas planares, Tohoku Math. J., 29 (1977), 25–56.