Cono de mapeo (álgebra homológica)

En álgebra homológica , el cono de mapeo es una construcción sobre un mapeo de complejos de cadena inspirada en la construcción análoga en topología . En la teoría de categorías trianguladas es una especie de núcleo y conúcleo combinados : si los complejos de cadena toman sus términos en una categoría abeliana , de modo que podemos hablar de cohomología , entonces el cono de un mapeo f es acíclico significa que el mapeo es un cuasi-isomorfismo ; si pasamos a la categoría derivada de complejos, esto significa que f es un isomorfismo allí, lo que recuerda la propiedad familiar de los mapeos de grupos , módulos sobre un anillo o elementos de una categoría abeliana arbitraria, de modo que si el núcleo y el conúcleo se anulan, entonces el mapeo es un isomorfismo. Si estamos trabajando en una t-categoría , entonces de hecho el cono proporciona tanto el núcleo como el conúcleo de los mapeos entre objetos de su núcleo.

El cono puede definirse en la categoría de complejos de cocadenas sobre cualquier categoría aditiva (es decir, una categoría cuyos morfismos forman grupos abelianos y en la que podemos construir una suma directa de cualesquiera dos objetos). Sea${\displaystyle A,B}$sean dos complejos, con diferenciales${\displaystyle d_{A},d_{B};}$es decir,

${\displaystyle A=\dots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d_{A}^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d_{A}^{n}}}A^{n+1}\to \cdots }$

y asimismo para${\displaystyle B.}$

Para un mapa de complejos${\displaystyle f:A\to B,}$definimos el cono, a menudo denotado por${\displaystyle \operatorname {Cono} (f)}$o${\displaystyle C(f),}$ser el siguiente complejo:

${\displaystyle C(f)=A[1]\oplus B=\dots \to A^{n}\oplus B^{n-1}\to A^{n+1}\oplus B^{n}\to A^{n+2}\oplus B^{n+1}\to \cdots }$en términos,

con diferencial

${\displaystyle d_{C(f)}={\begin{pmatrix}d_{A[1]}&0\\f[1]&d_{B}\end{pmatrix}}}$(actuando como si se tratara de vectores columna ).

Aquí${\displaystyle A[1]}$es el complejo con${\displaystyle A[1]^{n}=A^{n+1}}$y${\displaystyle d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}}$. Nótese que el diferencial en${\displaystyle C(f)}$es diferente del diferencial natural en${\displaystyle A[1]\oplus B}$y que algunos autores utilizan una convención de signos diferente.

Así, si por ejemplo nuestros complejos son de grupos abelianos, el diferencial actuaría como

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix }}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}}$

Supongamos ahora que trabajamos sobre una categoría abeliana , de modo que la homología de un complejo esté definida. El uso principal del cono es identificar cuasi-isomorfismos : si el cono es acíclico , entonces la aplicación es un cuasi-isomorfismo. Para ver esto, usamos la existencia de un triángulo.

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

donde los mapas${\displaystyle B\to C(f),C(f)\to A[1]}$están dados por los sumandos directos (véase la categoría de homotopía de los complejos de cadena ). Dado que se trata de un triángulo, da lugar a una larga sucesión exacta en los grupos de homología :

${\displaystyle \dots \to H_{i-1}(C(f))\to H_{i}(A){\xrightarrow {f^{*}}}H_{i}(B)\to H_{i}(C(f))\to \cdots }$

y si${\displaystyle C(f)}$es acíclico entonces por definición, los términos externos anteriores son cero. Dado que la secuencia es exacta, esto significa que${\displaystyle f^{*}}$induce un isomorfismo en todos los grupos de homología y, por lo tanto (nuevamente por definición), es un cuasi-isomorfismo.

Este hecho recuerda la caracterización alternativa habitual de los isomorfismos en una categoría abeliana como aquellos mapas cuyo núcleo y conúcleo se anulan. Esta aparición de un cono como núcleo y conúcleo combinados no es accidental; de hecho, bajo ciertas circunstancias el cono literalmente encarna ambos. Digamos, por ejemplo, que estamos trabajando sobre una categoría abeliana y${\displaystyle A,B}$tienen solo un término distinto de cero en grado 0:

${\displaystyle A=\dots \to 0\to A_{0}\to 0\to \cdots ,}$

${\displaystyle B=\dots \to 0\to B_{0}\to 0\to \cdots ,}$

y por lo tanto${\displaystyle f\colon A\to B}$es solo${\displaystyle f_{0}\colon A_{0}\to B_{0}}$(como un mapa de objetos de la categoría abeliana subyacente). Entonces el cono es simplemente

${\displaystyle C(f)=\dots \to 0\to {\underset {[-1]}{A_{0}}}{\xrightarrow {f_{0}}}{\underset {[0]}{B_{0}}}\to 0\to \cdots .}$

(El texto subrayado indica el grado de cada término.) La homología de este complejo es entonces

${\displaystyle H_{-1}(C(f))=\operatorname {ker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{0}(C(f))=\operatorname {coker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{i}(C(f))=0{\text{ para }}i\neq -1,0.\ }$

Esto no es un accidente y, de hecho, ocurre en todas las categorías t .

Una noción relacionada es el cilindro de mapeo : sea${\displaystyle f\colon A\to B}$ser un morfismo de complejos de cadena, dejar más${\displaystyle g\colon \operatorname {Cono} (f)[-1]\to A}$sea ​​el mapa natural. El cilindro de mapeo de f es por definición el cono de mapeo de g .

Este complejo se denomina cono por analogía con el cono de mapeo (topología) de un mapeo continuo de espacios topológicos.${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$: el complejo de cadenas singulares del cono topológico${\displaystyle cono(\phi )}$es homotópicamente equivalente al cono (en el sentido de cadena-complejo) del mapa inducido de cadenas singulares de X a Y. El cilindro de mapeo de un mapa de complejos está relacionado de manera similar con el cilindro de mapeo de mapas continuos.

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259  
• Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1( Véase el capítulo 9 )